Chapitre 3.5.6
Réſolution du probleme par Monſieur Rômer.
MOnſieur Rômer voïant par cette figure que la droite D V eſt le quart de A B, & V S perpendiculaire à A C ; en a de beaucoup abrégé
la conſtruction. Car il ne fait que mener du point D la droite D V parallele & égale au quart de la ligne A B, & du point V abaiſſer la droite V S perpendiculaire ſur A C ; car cette droite touchera ou coupera le demi-cercle dont le diametre eſt A D en des points comme G, par leſquels en menant des paralleles à A B juſqu’à l’ellipſe, elles y marqueront en H le ſommet des Paraboles.
Sa démonſtration eſt fort aiſée ; ſuppoſant la Parabole décrire A H N dont le ſommet eſt H & l’axe H L, auquel du point V il mene V P parallele coupant I G H en K, A C en O & A B en P ; & continuant la droite C B, il prend B M, égale au quadruple de I D & mene la ligne M N. Puis il dit, l’axe de l’ellipſe E F êtant double du demi-diametre du cercle E D, la droite I H ou A L ſera auſſi double de I G ; & le quarré de A L quadruple du quarré le I G, c’eſt-à-dire du rectangle A I D ; & partant le quarré de A L ſera égal au rectangle ſous A I ou H L & B M quadruple de I D. Maintenant les deux triangles rectangles V S O : V K G : ayant l’angle V commun, ſont ſemblables ; auſſi bien que les deux triangles rectangles V S O : A P O qui ont les angles égaux au ſommet O ; & partant les deux V K G, A P O ou A B C ſont auſſi ſemblables : deplus comme la toute A N eſt quadruple de I G, ainſi que la retranchée A B quadruple de D V ou I K ; le reſte B N ſera auſſi quadruple du reſte K G. Et comme B M eſt auſſi quadruple de I D ou K V : dans les deux triangles rectangles M B N, V K G, la droite B M ſera à B N comme V K à K G. Mais comme V K eſt à K G, ainſi A B eſt à B C ; donc A B eſt à B C comme B M eſt à B N. Et partant les deux rectangles A B N, C B M ſont égaux. Mais nous avons fait voir que le quarré A L c’eſt-à-dire le rectangle A L N étoit auſſi égal au rectangle H L, B M : donc en permutant le rectangle A L N ſera au rectangle A B N, comme le rectangle H L, B M eſt à C B M, c’eſt-à-dire comme la droite H L eſt à C B ; & partant comme il a êté démontré par Archimede, la parabole A H N dont le ſommet eſt dans l’Ellipſe en H & le parametre quadruple de la ligne I D, paſſera par le point donné C.
L’on peut voir que A G eſt la touchante en A de la même Parabole A G N. Car étant continuée en Q, où elle rencontre l’axe L H prolongé, H G
étant égale à I G dans les triangles ſemblables Q H G, A I G, A I ou H L ſera auſſi égale à H Q.
