Chapitre 3.5.7
Réſolution du probléme par Monſieur de la Hire.
MOnſieur de la Hire après avoir vû par les termes de la propoſition que la droite donnée A D eſt égale à l’axe H L ou A I de la Parabole que l’on cherche & au quart de ſon parametre, a envoyé cette élégante & facile ſolution à l’Académie.
Ayant du point D, mené la droite D G parallele A B & rencontrant la droite B C prolongée en G, puis du point A & de l’intervalle A D décrit un arc de cercle D M m, & du point C & de l’intervalle C G ou un autre arc G M m, (qui ſe couperont en deux points comme M m ſi le probléme à deux ſolutions, ou ſe toucheront s’il n’en a qu’une, ou ne ſe recontreront point s’il eſt impoſſible.) Il dit que les points de leur rencontre M m, ſeront foyers des Paraboles que l’on demande ; enſorte que menant par ces points les droits K M L, k m l paralleles à A D, & coupant K M, k m en deux également en H, h ; en ces points ſeront les ſommets des paraboles A H C O, A h C o qui du point A paſſeront par C & auront le quadruple de K H : k h : pour parametres.
Quoi que cette proprieté de la Parabole ait êté démontrée par d’autres ; à cauſe néanmoins que la démonſtration peut donner une connoiſſance plus parfaite de cette matiére, j’ai bien voulu la raporter en cét endroit. Parce que la droite tirée du point A en M, où les cercles ſe coupent, eſt égale à A D, leurs quarrez ſeront auſſi égaux ; mais le quarré A D où K L eſt égal aux deux quarrez K M L ; & le quarré A M eſt égal aux deux quar. A L, M L. OTant le quarré M L commun ; le quarré A L ſera égal au quarré K M, c’eſt-à-dire à quatre quarrez H M, & à deux rectangles K M L c’eſt-à-dire à quatre rectangles H M L ; mais quatre quarrez H M & quatre rectangles H M L ſont égaux à quatre rectangles L H M ou L H K ; donc le quarré A L eſt égal à quatre rectangles L H K. Par la même raiſon nous démontrerons que le quarré de l’ordonnée C N au même axe H L eſt égal à quatre rectangles N H K ; & partant dans la Parabole dont le ſommet eſt H, l’axe H L égal à A I, & les ordonnées
A L & C N : le parametre eſt quadruple de K H ou I D.
Je dis de plus que coupant l’arc D M en deux également en P, la droite A P R ſera la tangente en A de la Parabole A H O. Car ayant mené la corde du même arc D M elle ſera coupée en deux également en Q tant par la droite H I, (à cauſe des triangles ſemblables D Q I, H Q M & de l’égalité des côtez D I ou K H & H M, (que par la droite A P : & partant A P paſſera par le point Q où elle coupera H I en deux parties égales : & dans les triangles ſemblables A Q I : R Q H, la droite A I ou H L ſera égale à H R.
