III

Quoi qu’il en soit des diverses considérations que nous avons développées dans la première partie de ce travail, il est incontestable que c’est à l’épreuve que l’on discerne le mieux les bonnes méthodes comme les bons ouvriers. C’est pourquoi, dans cette troisième partie, nous allons essayer de montrer en quoi consiste l’emploi des mathématiques en économie politique et les résultats que cet emploi permet d’obtenir. Mais du fait même de la concision qui fait adopter l’analyse mathématique pour traiter les questions trop complexes pour être abordées par la logique ordinaire, les théories établies par cette voie ne sont généralement pas de nature à être résumées comme des théories littéraires. Aussi, sans viser aucunement à rédiger un « abrégé » d’économie mathématique, laisserons-nous de côté tous les détails — qu’il est toujours loisible de retrouver dans les ouvrages auxquels nous nous référerons — pour nous borner à faire voir, dans les grandes lignes, comment les mathématiques ont permis d’apporter la lumière dans la théorie de l’échange, ainsi que dans sa filiale la théorie de la production, qui constitue la théorie centrale de l’économie pure. L’échange en effet est toujours, en dernière analyse, le seul phénomène objectif, c’est-à-dire susceptible d’être étudié scientifiquement, que l’on rencontre à la base des diverses questions qui font l’objet des quatre vieilles divisions de l’économie politique : la production, la distribution, la circulation et la consommation.

Dans cet exposé schématique nous n’envisagerons d’ailleurs pas de plano l’emploi des mathématiques en économie politique dans toute sa généralité. Nous commencerons par indiquer les solutions de problèmes simplifiés, qui ont été fournies par les fondateurs de l’économie pure ; nous montrerons ensuite comment la généralisation de ces solutions a permis aux économistes mathématiciens contemporains d’élucider progressivement des questions de plus en plus compliquées, conformément à ce que nous avons vu dans la seconde partie. Après avoir rappelé comment Jevons a donné la première expression rigoureuse de la valeur d’échange, nous dirons comment Walras a modifié cette expression de manière à pouvoir l’étendre à un marché quelconque de produits ou de services producteurs ; puis nous mentionnerons comment M. Edgeworth a introduit dans la science la notion d’indépendance des biens économiques ; et enfin nous exposerons comment, après que MM. Irving Fisher et Pareto eurent affranchi l’économie pure de toute hypothèse métaphysique relative à la nature du plaisir, ce dernier est parvenu à établir dans son ensemble la théorie de l’équilibre économique sous les différents régimes que l’on peut envisager. Passant ainsi du simple au composé, nous pourrons rendre plus clairement compte de la structure des théories les plus générales, en montrant les améliorations qu’elles présentent sur celles qui les ont précédées, de même que l’on facilite la description des machines jouissant de tous les perfectionnements dus à l’industrie moderne en la faisant précéder de celle de machines de types primitifs dont l’économie est plus directement saisissable.

La « théorie de l’utilité finale » est trop connue aujourd’hui pour qu’il y ait lieu de la reproduire ici. Mais, comme elle est, la plupart du temps, exposée sous une forme purement littéraire, qui ne laisse pas apercevoir nettement la communauté de base des recherches de Jevons et des principaux travaux d’économie politique postérieurs, nous ne croyons pas superflu de rappeler comment cet éminent économiste a été amené à poser, pour la première fois, les conditions de l’équilibre de l’échange de deux marchandises, qui ont constitué, d’après ce que nous avons vu, l’embryon d’où sont sorties, par voie d’extension et de généralisation, les conditions générales de l’équilibre économique dont l’étude fait l’objet de l’économie pure.

Selon la définition de J.-B. Say, l’utilité c’est la faculté qu’ont les choses de pouvoir servir à l’homme.

Ce n’est donc pas une qualité absolue, mais une qualité relative qui dépend des besoins de l’homme : « L’utilité ne dénote pas une qualité intrinsèque des choses que nous qualifions d’utiles ; elle exprime seulement leur rapport aux efforts et aux plaisirs de l’humanité » (Senior). Par suite, l’utilité d’une marchandise doit être considérée « comme mesurée ou même tout à fait identique » à ce que la consommation de cette marchandise ajoute au bonheur de celui qui la consomme. Or, au fur et à mesure que se poursuit la consommation d’une quantité de marchandise déterminée, l’intensité de la jouissance produite et réciproquement le degré d’utilité, c’est-à-dire l’utilité « spécifique » de la marchandise considérée, sont des grandeurs variables, qui finissent en général par devenir constamment décroissantes, de telle sorte que chaque élément de marchandise successivement consommé est caractérisé par une utilité élémentaire différente de celles des autres éléments. L’utilité totale correspondant à la totalité de la quantité de marchandise envisagée est donc, non pas proportionnelle à cette quantité totale, mais égale à la somme des utilités élémentaires des éléments successivement consommés ou, en d’autres termes, à l’intégrale, entre des limites convenables, du degré d’utilité de la marchandise en question considéré comme fonction de la quantité consommée.

Cela étant, mettons en présence deux échangistes porteurs l’un d’une quantité a d’une marchandise (A) et l’autre d’une quantité b d’une marchandise (B), marchandises dont les degrés d’utilité sont respectivement représentés par les fonctions φ1 et ψ1, pour le premier individu, et φ2 et ψ2 pour le second.

Pour que, après échange d’une certaine quantité x de la marchandise (A) contre une certaine quantité y de la marchandise (B), chacun des échangistes puisse se déclarer satisfait, il faut que l’échange supplémentaire d’un élément dx de la marchandise (A) contre un élément dy de la marchandise (B) ne soit pas susceptible de modifier l’utilité totale dont jouit chacun d’eux, c’est-à-dire que l’on ait :

φ1(a−x).dx=ψ1(y).dy
et

φ2(b−y).dy=ψ2(x).dx
ou

dydx=φ(a−x)ψ(y)=φ2(x)ψ2(b−y)
ce qui signifie que le rapport d’échange des deux derniers éléments échangés doit être égal, pour chacun des échangistes, au rapport des degrés d’utilité de ces derniers éléments, auxquels Jevons a donné le nom de degrés finals d’utilité (ou, plus simplement, d’utilités finales). Or, comme il ne saurait y avoir simultanément sur un marché régi par la libre concurrence plusieurs rapports d’échange différents pour deux marchandises données, le rapport d’échange des quantités totales est nécessairement ; égal au rapport d’échange des derniers éléments échangés. Il résulte donc des deux relations ci-dessus que les quantités échangées satisfont aux deux équations suivantes :

yx=φ1(a−x)ψ1(y)=φ1=2(x)ψ2(b−y)

qui sont précisément l’expression de la proposition qui constitue, d’après Jevons, ainsi que nous l’avons dit (II, II, 2), « la clé de voûte de toute la Théorie de l’Échange et des principaux problèmes de l’Économique », à savoir que « Le rapport d’Échange de deux produits quel conques sera inversement proportionnel au rapport des degrés finals d’utilité des quantités de produits disponibles pour la consommation après que l’échange est achevé. »

Ces équations — qui sont devenues célèbres sous le nom de « équations de Jevons » — étant en nombre égal à celui des inconnues x et y du problème d’échange envisagé, elles déterminent entièrement ce problème et offrent ainsi, dans un cas particulièrement simple il est vrai, le premier exemple d’une représentation mathématique des conditions d’un équilibre économique.

Le principe de cette théorie ayant été exposé par Walras dans un mémoire lu à l’Académie des sciences morales et politiques, aux séances des 16 et 23 août 1873, dont il envoya un exemplaire à Jevons, celui-ci adressa en retour au professeur de Lausanne un compte rendu de sa communication au Congrès de Cambridge de la British Association, qu’il accompagna des commentaires suivants, dans une lettre en date du 12 mai 1874 :

« … Vous trouverez, je pense, que votre théorie coïncide au fond avec la mienne et la confirme, quoique les notations soient choisies d’une autre manière et qu’il y ait des différences de détail. Vous verrez que la théorie tout entière repose sur l’idée (§ 8 du travail) que l’utilité d’une marchandise n’est pas proportionnelle à sa quantité ; ce que vous appelez rareté d’une marchandise apparaît comme étant exactement ce que j’ai appelé d’abord coefficient d’utilité, puis ensuite degré d’utilité, et qui, comme je l’ai expliqué aussi, est réellement le coefficient différentiel [dérivée] de l’utilité considérée comme une fonction de la quantité de marchandise.

La théorie de l’échange est donnée au § 14 de mon travail, et peut être considérée comme étant contenue dans une seule proposition : « Une équation peut ainsi être établie de part et d’autre entre l’utilité obtenue et sacrifiée, à la raison d’échange de la totalité des marchandises, sur les derniers incréments échangés. »

« Maintenant, dans mon livre de 1871, je montre pleinement comment cette théorie peut être exprimée en notations. Soient deux personnes A et B, desquelles A détient la quantité a d’une marchandise, et B détient b d’une autre, alors je donne l’équation d’échange dans la forme :

φ1(a−x)ψ1(y)=yx=φ2(x)ψ2(b−y)

dans laquelle x est la quantité inconnue que A donne à B en échange de y. Il s’ensuit que yx est équivalent à votre pa ou pb, c’est-à-dire au prix courant ou à la raison d’échange. De plus φ1(a−x) représente le degré d’utilité de la première marchandise restant à A, et ψ1(y) représente le degré d’utilité de ce qu’il a reçu de B. D’ailleurs, ces degrés d’utilité sont exactement équivalents à vos raretés, et votre équation pa=ra,1rb,1 a identiquement le même sens que ma propre formule En effet, le sens des termes une fois expliqué, on voit que vôtre proposition : « Les prix courants du prix d’équilibre sont égaux aux rapports des raretés, » coïncide précisément avec ma théorie ».

Or, Walras a reconnu avec la meilleur grâce du monde le bien-fondé des revendications de Jevons : « Il est évident », dit-il, « que votre coefficient ou degré d’utilité, qui est « le coefficient différentiel de l’utilité considérée comme une fonction de la quantité des marchandises », est identique à mon intensité d’utilité ou à ma rareté, qui est « la dérivée de l’utilité effective par rapport à la quantité possédée ; » que votre raison d’échange n’est, autre chose que mon prix courant ; « et qu’enfin votre équation d’échange se confond avec « mon équation de satisfaction maximum ».

Il semble donc qu’en nous référant, mutatis mutandis, à notre exposé de la théorie de Jevons, nous n’ayons pas lieu de nous arrêter longuement à l’exposé de celle de Walras telle qu’elle est présentée dans la dernière édition des Éléments, étant donné que « ce volume… est bien l’édition définitive du volume de 1874-1877. J’entends par là que ma doctrine d’aujourd’hui est bien la même que ma doctrine d’alors ». Mais si la « condition de satisfaction maximum w, qui est le point de départ de la théorie de Walras, est rigoureusement identique à l’« équation d’échange » de Jevons, cette relation n’est pas introduite de la même façon par les deux auteurs, qui, en outre, ne l’utilisent pas de la même manière. Or, bien que nous ayons cru devoir exposer d’abord la théorie de Jevons, parce qu’elle offre un réel intérêt historique du fait qu’elle rattache en quelque sorte l’économie mathématique à l’économie littéraire, il n’en est pas moins vrai que c’est uniquement la théorie de Walras qui a donné naissance à l’économie pure. C’est pourquoi, malgré son analogie avec la précédente, nous croyons indispensable d’entrer dans quelques détails au sujet de cette théorie, pour être à même ultérieurement d’en suivre le développement et aussi d’examiner les objections qu’elle a soulevées, objections dont l’importance est accrue par la fécondité même des idées qui les ont provoquées.

Dans le problème de l’échange de deux marchandises entre elles, Walras recourt à la méthode de réduction, la plus compatible avec l’emploi des figures géométriques, « qui, en représentant les grandeurs par des lignes et des surfaces, a l’immense avantage de peindre en quelque sorte l’enchaînement des phénomènes ».

Il suppose que sur un marché ne comportant que deux produits et entièrement soustrait aux influences étrangères une certaine quantité d’une marchandise (A) soit à échanger contre une certaine quantité d’une marchandise (B), et que chaque propriétaire de (A), se trouvant dans l’impossibilité de venir en personne, envoie un agent en lui indiquant ses dispositions à l’enchère, c’est-à-dire combien il serait disposé à acheter de (B) et à vendre de (A) à chacun des cours possibles. Les prix de (B) sont évalués en (A) pris comme numéraire, et ceux de (A) en (B), ce qui signifie que si dans un échange on obtient a de (A) contre b de (B), le prix de (A) en (B) est, ba et celui de (B) en (A), ab ; en d’autres termes, le prix d’une marchandise en une autre est représenté par le rapport inverse des quantités échangées. Ces dispositions à l’enchère, qui pourraient être également fournies sous la forme arithmétique d’un tableau à double entrée ou sous la forme algébrique d’une équation d=f(p), sont figurées par une courbe de demande dont les abscisses représentent les prix, et les ordonnées les quantités demandées à ces prix. Ces courbes de demande ont en général l’allure indiquée dans la figure 3, le point de rencontre avec l’axe des abscisses pouvant d’ailleurs être rejeté à l’infini, tandis que le point, correspondant à la satiété, qui est situé sur l’axe des ordonnées est toujours à distance finie.

La courbe de demande d’une marchandise (A) en fonction du prix pa de (A) en (B) une fois connue, il est facile d’en déduire la courbe d’offre de la marchandise (B). En effet, à un prix déterminé, l’offre Ob de (B) est, par définition, égale à la demande da de la marchandise (A) multipliée par le prix pa de (A) en (B),

Ob=dapa

Si donc l’équation de la courbe de demande de (A) est :

da=f(pa)

celle de la courbe d’offre de (B) sera :

Ob=f(pa)pa

ou bien, les prix des deux marchandises étant réciproques entre eux,

Ob=f(1pb)1pb

Il résulte d’ailleurs de la forme générale des courbes de demande précédemment indiquée que les courbes d’offre, dont le point de départ est à l’origine quand le point de rencontre avec l’axe des abscisses de la courbe de demande corrélative est à l’infini, offrent habituellement les dispositions représentées sur la figure 4.

Dès lors on a immédiatement la solution du problème suivant, qui est le problème fondamental au point de vue de l’échange de deux marchandises entre elles :

Étant donné deux marchandises (A) et (B) et les courbes de demande de ces deux marchandises l’une en l’autre, déterminer les prix respectifs d’équilibre.

En effet, un prix d’équilibre étant celui qui correspond au cas où la demande totale et l’offre totale de chacune des deux marchandises sont égales, on voit que pour déterminer un tel prix, il suffit de mesurer l’abscisse du point d’intersection de la courbe de demande totale et de la courbe d’offre totale, que l’on obtient en ajoutant respectivement les ordonnées des courbes individuelles de demande et d’offre. Il convient néanmoins d’observer que, en réalité, la solution du problème ne se présente pas toujours sous un aspect aussi simple que celui que nous venons d’envisager, car il arrive fréquemment que la courbe de demande totale et la courbe d’offre totale présentent, non pas un, mais plusieurs points d’intersection correspondant à des positions d’équilibre alternativement stables ou instables. Ces deux courbes peuvent effectivement offrir dans le voisinage d’un point d’intersection l’une des deux dispositions indiquées sur les figures 5 et 6 :

Or, il suffit d’examiner ces deux figures pour se rendre compte que, dans le premier cas, l’équilibre légèrement troublé tend à se rétablir, tandis que dans le second il se détruit complètement. En général les points d’intersection ne sont d’ailleurs pas en nombre supérieur à trois, deux d’entre eux correspondant à des positions d’équilibre stable, et le troisième à une position d’équilibre instable séparant les deux positions d’équilibre stable.

Quoi qu’il en soit, après avoir ainsi établi comment les prix résultent des courbes de demande, qui ne sont en réalité que des données auxiliaires, L. Walras reprend, en quelque sorte en sous œuvre, son étude pour rechercher le substratum hédonique de ces courbes de demande.

Pour que dans l’échange précédemment étudié les divers trafiquants réalisent le maximum de satisfaction possible, il faut que pour chacun d’eux la somme des utilités totales (Walras dit utilités effectives), relatives à chacune des marchandises soit maximum. Cela étant, Walras pose en principe que l’intensité du dernier besoin satisfait par la consommation du dernier élément d’une quantité de marchandise donnée est une fonction décroissante de cette quantité, ce qui revient à admettre, avec Jevons, que l’utilité du dernier élément consommé, c’est-à-dire l’utilité finale (qu’il désigne sous le nom de rareté) de la marchandise considérée est une fonction décroissante de cette même quantité. Il est dès lors à peu près évident que le maximum d’utilité totale a lieu pour chaque échangiste lorsque le rapport des derniers besoins satisfaits ou le rapport des utilités finales est égal au prix. Tant en effet que cette égalité n’est pas atteinte, il y a avantage pour l’échangiste à vendre de la marchandise dont l’utilité finale est moindre que le produit de son prix par l’utilité finale de l’autre, pour acheter celle dont l’utilité finale est plus grande que le produit de son prix par l’utilité finale de la première. Analytiquement, en désignant par pa le prix de (A) en (B), et par ra,1 et rb,1 les utilités finales (raretés) des marchandises (A) et (B) pour l’échangiste (I), la condition de satisfaction maximum que nous venons d’exposer, et dont Walras donne deux démonstrations qui semblent tout au moins superflues, s’exprime par la relation

pa=ra,1rb,1

qui peut s’écrire en remplaçant ra,1 et rb,1 par les valeurs correspondantes des fonctions d’utilité φa,1 et φb,1 et en désignant par qb la quantité de marchandise (B) dont dispose au début l’individu considéré :

pa=φa,1(da)φb,1(qb−Ob)

ou encore, en vertu de l’égalité :

Ob=pada

pa=φa,1(da)φb,1(qb−pada)

Or cette dernière équation donne da en fonction de pa. Si on la suppose résolue par rapport à la première de ces variables, elle prend la forme :

da=fa,1(pa)

c’est-à-dire qu’elle fournit l’équation de la courbe de demande de (A) en (B) pour l’échangiste (I). On voit ainsi que les courbes de demande pour deux marchandises (A) et (B) résultent de l’utilité de chacune de ces deux marchandises pour chacun des échangistes et de la quantité de chacune d’elles possédée par chacun d’eux. Les fonctions d’utilité, ou les courbes qui les représentent, sont donc, en dernière analyse, les seuls éléments qui sont nécessaires à la détermination des prix d’équilibre.

Il sortirait du cadre de notre travail d’entrer dans les détails de constructions géométriques et de discuter les divers cas qui peuvent se produire.

Pour en terminer avec la Théorie de l’échange de deux marchandises entre elles, nous nous bornerons à dire quelques mots de la 10 leçon des Éléments, intitulée « de la rareté ou de la cause de la valeur d’échange », qui a donné lieu à bien des critiques. Dans cette leçon, après avoir rappelé la définition qu’il avait donnée de la rareté au début de l’ouvrage, à savoir que les choses rares sont celles qui sont utiles (ent. propres à un usage quelconque même nuisible) et limitées en quantités, puis montré que cette définition est compatible avec celle qui consiste à désigner sous ce nom l’intensité du dernier besoin satisfait par la consommation d’un bien ou, ce qui revient au même, l’utilité finale de ce bien, Walras énonce cette proposition quelque peu surprenante : « Il est certain que la rareté est la cause de la valeur d’échange ». Or on ne comprend guère, à première vue, que le professeur de Lausanne — qui est justement celui qui a le plus concouru à dissiper les idées erronées des anciens économistes, qui voulaient voir des rapports de cause à effet là où il n’y a que des rapports d’interdépendance — prétende lui-même avoir découvert la cause de la valeur, d’autant plus qu’il déclare explicitement par ailleurs que « théoriquement toutes les inconnues du problème économique dépendent de toutes les équations de l’équilibre économique. » Pour s’expliquer une telle contradiction, il faut admettre, avec M. Pareto, « que Walras s’est laissé tromper par les notations accessoires du mot rareté. Dans ses formules, comme il l’accorde lui-même, c’est le Grenznutzen des Allemands, le final degree of utility des Anglais, ou bien notre ophélimité élémentaire ; mais dans le texte, de-ci, de-là, il s’y ajoute de façon peu précise, cette idée que la marchandise est rare pour les besoins à satisfaire, par suite des obstacles à surmonter pour l’obtenir. On entrevoit aussi vaguement une notion des obstacles, et cette proposition que « la rareté est la cause de la valeur d’échange » en devient moins inexacte. La faute de ces confusions n’est pas à ce savant éminent ; elle appartient entièrement au mode de raisonnement en usage dans la science économique ; mode de raisonnement que les travaux de M. Walras ont précisément contribué à rectifier ».

Ayant ainsi terminé l’exposé des conceptions de Walras dans le cas particulièrement simple que nous venons d’envisager, nous croyons opportun, avant de montrer comment le professeur de Lausanne a généralisé les principes que nous venons de rencontrer, d’examiner au préalable quelques polémiques qui se sont élevées à leur sujet. C’est ce que nous allons faire dans le paragraphe suivant.

D’après ce que nous venons de voir, Walras a fait reposer toute sa théorie sur l’existence d’une « courbe d’utilité » ou « courbe de rareté », dont la notion procède directement de ce fait expérimental que le plaisir procuré par la consommation d’un produit donné décroît en fonction de la quantité déjà consommée, et ce de moins en moins rapidement au fur et à mesure que cette quantité augmente. Si le professeur de Lausanne, se contentant d’une représentation en quelque sorte schématique de ce phénomène, s’en était tenu à une conception générale de la courbe d’utilité, il n’y aurait rien à objecter ; mais il a cru devoir apporter plus de précision dans son exposé de la question. « Cette analyse », dit-il, « est incomplète, et, au premier abord, il semble qu’il soit impossible de la pousser plus loin, à cause de ce fait que l’utilité absolue d’intensité [point de vue subjectif] nous échappe parce qu’elle n’est ni avec le temps ni avec l’espace dans un rapport direct et mesurable comme l’utilité d’extension [point de vue objectif] et comme la quantité possédée. Eh bien ! cette difficulté n’est pas insurmontable. Supposons que ce rapport existe, et nous allons pouvoir nous rendre un compte exact et mathématique de l’influence respective de l’utilité d’extension, de l’utilité d’intensité et de la quantité possédée sur les prix ».

« Je suppose donc qu’il existe un étalon de mesure de l’intensité des besoins ou de l’utilité intensive, commun non seulement aux unités similaires d’une même espèce de la richesse mais aux unités différentes des espèces diverses de la richesse. »

En raisonnant ainsi, l’auteur a attribué à « la courbe de rareté » la signification d’une représentation quantitative des variations de l’utilité (ou de la satisfaction) en fonction des quantités consommées. Or, il faut reconnaître, avec certains critiques et à la suite du professeur Irving Fisher, qui semble être le premier à en avoir suggéré l’observation, qu’il est purement gratuit de considérer l’utilité (ou la satisfaction) comme une grandeur mesurable. En effet, s’il est certain que la satisfaction est une grandeur, puisque l’expérience journalière nous montre qu’elle est susceptible de plus ou de moins, il n’en est pas moins vrai qu’en l’état actuel de la science on n’a pas encore réussi à montrer qu’on peut la mesurer et encore moins à trouver comment on pourrait s’y prendre pour le faire.

Rien ne saurait donc justifier l’hypothèse de Walras, et l’œuvre du savant professeur de Lausanne présente ainsi un point faible. Mais il ne faut pas exagérer l’importance de l’objection que nous venons de signaler, car, bien qu’elle semble toucher à une question de principe, elle ne porte en réalité que sur le mode d’exposition. Ce point faible n’aurait constitué un défaut fondamental que si l’auteur des Principes s’était proposé de résoudre un problème pratique tel que le suivant :

Étant donné deux marchandises et leurs courbes d’utilité (ou les équations de ces dernières) pour chaque échangiste, ainsi que les quantités possédées par chacun d’eux, déterminer les courbes de demande (ou leurs équations).

Or, telle n’a pas été l’intention de Walras, ainsi qu’il a pris le soin de le spécifier lui-même : « Ce serait nous faire une objection bien mal fondée que de nous parler de la difficulté d’établir les courbes d’échange ou leurs équations. L’avantage qu’il pourrait y avoir, dans certains cas, à dresser en totalité ou en partie la courbe de demande ou d’offre d’une marchandise déterminée, et la possibilité ou l’impossibilité de le faire, est une question que nous réservons tout entière. Pour le moment, nous étudions le problème de l’échange en général, et la conception pure et simple des courbes d’échange qui nous est à la fois suffisante et indispensable ». Qu’importe dès lors, au point de vue de la substance même de la doctrine, que la satisfaction ne constitue pas une grandeur mesurable ! Une grandeur non-mesurable n’est nullement par cela seul exclue de toute spéculation mathématique, ainsi que Henri Poincaré l’expose nettement dans une lettre qu’il écrivit à Walras à propos de la question qui nous occupe : « La température par exemple (au moins jusqu’à l’avènement de la thermodynamique qui a donné un sens au mot température absolue), était une grandeur non-mesurable. C’est arbitrairement qu’on la définissait et la mesurait par la dilatation du mercure. On aurait pu tout aussi légitimement la définir par la dilatation de tout autre corps et la mesurer par une fonction quelconque de cette dilatation pourvu que cette fonction fût constamment croissante. « De même ici, vous pouvez définir la satisfaction par une fonction arbitraire, pourvu que cette fonction croisse toujours en même temps que la satisfaction qu’elle représente ». Ainsi donc, il importe fort peu, au point de vue exclusivement théorique, que le plaisir ne soit pas une grandeur mesurable et que par conséquent les courbes d’utilité ne soient pas déterminables mathématiquement, pourvu, ce qui se produit en fait, que l’on soit suffisamment renseigné sur la forme de ces courbes pour être à même de discuter les résultats susceptibles d’en être déduits. Par suite, la seule chose que l’on puisse être fondé à reprocher à Walras, c’est l’introduction dans son exposé d’une hypothèse douteuse dont il aurait-pu se dispenser sans faire subir de modifications essentielles à sa théorie, comme l’a récemment montré M. Antonio Osorio. Du reste, rien ne s’oppose — tout au moins dans une première approximation — à ce que l’on considère l’hypothèse de Walras comme un postulatum, qui se trouve justifié par ses conséquences, car, conformément à ce que nous avons dit, M. Irving Fisher a obtenu, à l’abri de toute objection, des résultats concordants avec ceux du professeur de Lausanne, et M. Pareto est arrivé, ainsi que nous le verrons, avec un point de départ tout différent, à des conclusions foncièrement identiques. On peut donc dire, avec M. Osorio, que la vieille méthode de Jevons et de Walras est encore debout.

Parmi les critiques soulevées par les théories de Walras, les plus fameuses sont, sans conteste, celles que formula Joseph Bertrand, car elles n’ont pas tardé à servir de leit-motiv à tous ceux qui, pour jeter le discrédit sur l’économie mathématique, qu’ils n’étaient pas susceptibles d’apprécier, n’ont trouvé rien de mieux que d’étayer leurs prétentions du nom d’un mathématicien illustre, dont les objections sont au demeurant d’ordre presque exclusivement économique et en quelque sorte étrangères aux mathématiques, ce qui donne toute liberté de les censurer à loisir sans s’exposer à être pour cela taxé de présomption.

Les critiques formulées par Bertrand peuvent être divisées en deux catégories comprenant, d’une part, celles qui portent sur la détermination du prix d’équilibre en tant qu’abscisse du point d’intersection d’une courbe de demande totale et d’une courbe d’offre totale, d’autre part, celles qui sont relatives à la théorie de l’utilité.

Les premières sont absolument dénuées de fondement, car leur auteur n’a été conduit à les présenter que parce qu’il s’est placé à un point de vue entièrement différent de celui de Walras. Non seulement il a substitué des questions pratiques, basées sur des hypothèses plus ou moins réalisables, au problème d’économie pure dont Walras avait, comme s’il se fût agi de mécanique rationnelle, le droit d’assujettir la solution à telles conditions qu’il jugeait convenables, mais encore et surtout il a envisagé des questions de dynamique, tandis que le professeur de Lausanne s’était borne à étudier le problème économique dans le voisinage de ses positions d’équilibre.

C’est ainsi qu’il commence l’exposé de ses objections en prenant en considération le cas où la demande excéderait l’offre, ou inversement, alors que sur le marché théorique il ne saurait y avoir lieu de se préoccuper d’un tel état de choses, étant donné que le libre jeu de la hausse et de la baisse doit nécessairement avoir pour conséquence d’y amener l’égalité entre ces deux quantités. C’est ainsi qu’ensuite il s’attache à faire ressortir que les courbes d’offre et de demande sont susceptibles de déformations au cours d’un même marché, et qu’il ajoute, craignant de n’avoir pas mis suffisamment en évidence ce fait et l’importance qu’il lui attribue : « Un dernier argument, s’il subsistait des doutes, les fera disparaître complètement. Supposons que, d’après les intentions connues des acheteurs et des vendeurs, le cours d’équilibre calculé une heure avant l’ouverture du marché, à l’aide du théorème discuté, soit 25 francs l’hectolitre. [Bertrand suppose que les deux marchandises échangées sont de l’argent et du blé.] Un nouvel acheteur se présente : au-dessous de 25 francs il veut acheter sans limite, et ne rien prendre ni a ce cours ni a fortiori au-dessus. Sa présence, si on en croit la règle de M. Walras, n’exercerait aucune influence ; elle relève en effet jusqu’à l’infini la courbe des demandes pour les points dont l’abscisse est inférieure à 25, sans la changer en rien pour les autres ; l’intersection, dont on a fait dépendre le résultat, restera la même et correspondra toujours à l’abscisse 25. Peut-on admettre une telle conclusion ? Le cours de 25 francs, en supposant qu’il tende à s’établir, ne sera ni le seul, ni le premier ; les prix oscilleront autour de lui ; chaque fois qu’ils lui seront inférieurs, l’acheteur nouveau se présentera, et ceux qui lui vendront, ayant écoulé tout ou partie de leur marchandise, n’offriront plus au cours de 25 francs ce qu’ils avaient offert au début… » Et tout cela sans s’apercevoir qu’il a ainsi simplement découvert que, en général, la statique n’est pas appropriée à la solution de problèmes de dynamique. « Les objections de J. Bertrand », fait observer judicieusement M. Pareto, « s’appliquent mot à mot à la détermination de l’équilibre mécanique. Un point matériel est posé sur un plan ; des forces lui sont appliquées, dont la résultante, normale au plan, presse le point contre ce plan. La statique nous dit qu’il demeurera en équilibre. Ce n’est pas vrai, répondrons-nous avec J. Bertrand. Supposons qu’on ait pratiqué une coupure dans le plan à une très petite distance du point (c’est l’acheteur qui achète sans limite au-dessous de 25 francs, et qui n’achète rien au-dessus). L’équilibre du point ne s’établira pas immédiatement ; il oscillera autour de sa position d’équilibre, et quand il arrivera à la coupure (quand les prix seront inférieurs à 25 francs) il quittera le plan, et l’équilibre sur ce plan n’aura plus lieu. Ce qu’il y a de vrai dans les observations de Bertrand, autant pour l’économie pure que pour la mécanique rationnelle, c’est qu’on ne peut pas transporter ipso facto aux cas pratiques les résultats de ces théories ».

Quant aux critiques qui sont relatives à la théorie de l’utilité, il est à peine besoin de s’y arrêter, car Bertrand est tombé à leur propos dans de graves erreurs matérielles, qui ne peuvent s’expliquer de la part d’un mathématicien aussi éminent que par une connaissance extrêmement superficielle de l’œuvre de Walras. Il commence en effet par déclarer que, d’après Walras, lorsque la quantité d’une marchandise possédée par un individu passe de x à x+dx, l’avantage qui en résulte pour lui est représenté par φ(x)dx, φ étant une fonction qui varie d’un individu à l’autre, et il ajoute : « Si l’on nomme p le prix de chaque unité achetée ou vendue, il est clair qu’en payant pdx l’accroissement dx, qui, pour lui, représente une satisfaction mesurée par φ(x), celui dont nous parlons fera une bonne affaire, si φ(x) est >p, et une mauvaise si φ(x) est < que p ; il devra acheter ou vendre une certaine quantité de la marchandise qu’il possède selon que l’une ou l’autre de ces conditions sera remplie, et cesser ses achats ou ses ventes quand on aura φ(x)=p. Si x=a est la racine de cette équation, a est ce que M. Walras nomme la rareté de la marchandise pour la personne considérée. » Or, il résulte à l’évidence de la simple lecture du début de la Théorie mathématique de la richesse sociale, que Walras n’a jamais professé une telle hérésie, et que c’est au contraire la valeur finale de la fonction φ(x), qu’il désigne sous le nom de rareté, cependant que l’équation d’équilibre de Bertrand est une pure fantaisie qui ne peut s’expliquer qu’en supposant qu’il s’est cru autorisé à considérer comme constante l’utilité de la monnaie, ce qui ne saurait être admis.

Quant à la dernière critique de Bertrand, à savoir que si la considération de l’utilité des marchandises peut servir à expliquer la demande des produits par les consommateurs, elle ne peut pas servir à expliquer leur demande par les commerçants qui n’en ont pas besoin pour leur usage personnel, elle disparaît instantanément dès que l’on prend en considération toute l’œuvre de Walras, au lieu de se borner à n’examiner que sa théorie de l’échange.

Telles sont les plus importantes critiques adressées aux éléments mêmes de la théorie de Walras ; nous en examinerons plus loin d’autres qui portent sur l’ensemble de cette théorie.

Après avoir étudié la théorie de l’échange de deux marchandises entre elles, en supposant, ainsi que nous l’avons fait précédemment, que chaque échangiste n’était porteur que d’une seule marchandise, Walras a cru, vraisemblablement dans un but didactique, devoir prendre en considération un certain nombre d’autres cas particuliers avant d’aborder la théorie générale. Mais comme l’analyse de l’œuvre du professeur de Lausanne dans tous ses détails nous entraînerait trop loin, et que nous désirons simplement en indiquer les grandes lignes, nous nous abstiendrons de nous arrêter à ces cas spéciaux, pour exposer immédiatement la solution du problème le plus général. Nous ne continuerons d’ailleurs pas à suivre dans cet exposé l’ordre choisi par Walras dans ses Éléments, parce qu’il nous semble préférable, pour un exposé synthétique, de procéder dans l’ordre inverse, qui est du reste celui que le professeur de Lausanne adopta dans le mémoire qu’il communiqua en décembre 1875 à la Société vaudoise des sciences naturelles (de Lausanne), sans doute parce que se croyant alors obligé de renoncer à la représentation géométrique des dispositions à l’enchère de chaque échangiste, dès que le nombre des marchandises est supérieur à trois, il estima la méthode de déduction plus appropriée à un exposé algébrique que la méthode de réduction.

Considérons donc n échangistes sur un marché régi par la libre concurrence absolue comportant m produits (A),(B),(C),… et proposons-nous de déterminer les conditions susceptibles d’assurer à chacun de ces individus le maximum de satisfaction possible, en fonction de l’utilité de chacune de ces marchandises pour chacun des échangistes et des quantités primitivement possédées par chacun d’eux.

Supposons que tous Les prix soient évalués en fonction d’une seule marchandise (A), par exemple, choisie comme numéraire, ce qui ne restreint en aucune mesure la généralité de la question étant donné que sur un marché en état d’équilibre, le prix de l’une des marchandises en l’une quelconque des autres est unique et égal au rapport des prix de ces deux marchandises en une troisième. Pour qu’un échangiste (I), porteur à l’ouverture du marché des quantités qa,i de (A), qb,i de (B),… réalise le maximum de satisfaction possible en faisant varier ces quantités respectivement de xi,yi,… (positifs ou négatifs suivant qu’il s’agit d’achats ou de ventes), il faut évidemment, comme dans le cas de deux marchandises, que les prix soient proportionnels aux raretés, c’est-à-dire que l’on ait :