Correspondance · CORRESPONDANCE I TESSIER À SOPHIE GERMAIN

Le 17 pluviose.

Duodi, c’est-à-dire dimanche prochain, il y aura chez moi un dîner, pas de tous hommes. La majeure partie des convives ne vous est point étrangère. Vous leur feriez grand plaisir et vous combleriez de bontés le maître de la maison, si vous vouliez bien être de la partie. Point de M***, puisque vous ne vous êtes pas encore raccommodée avec lui. Vous trouverez dans ma Chartreuse du beurre frais, des pommes de terre, des betteraves, des mâches et quelque autre aliment qui n’irritera pas votre palais. Je compte sur une de mes parentes, excellente femme, pour laquelle je vous demanderai indulgence plénière, car elle ne connaît de géométrie que les figures les plus naturelles. Vous en jugerez par l’échantillon de son travail que j’aurai l’honneur de vous présenter. Comme j’ai bien à cœur de ne me point brouiller avec monsieur votre père, vous pourriez lui promettre d’avance que vous serez reconduite chez lui en sûreté, à l’heure qu’il désirerait. Quand vous verrez M Lherbette, je vous prie de l’assurer de mon respect, en lui disant que je la trouve une bien bonne commissionnaire. Je désirerais réussir aussi bien qu’elle dans la commission dont je m’acquitte aujourd’hui pour mon propre compte.

Je suis avec respect, Mademoiselle, votre très humble serviteur.

Tessier.

Paris, 4 novembre.

Le citoyen Cousin sollicite l’honneur de vous être présenté ainsi qu’à mademoiselle votre fille, si vous daignez l’agréer. J’attends vos ordres. Il espère que ses occupations lui permettront d’aller vous présenter ses respects le 8 novembre, sur les six heures du soir. Je vous prie de me faire dire si cette heure ne vous est pas importune. Nous aurions l’honneur de nous rendre au moment qui vous serait plus convenable. M. Cousin se félicite d’avoir une occasion de vous offrir, ainsi qu’à mademoiselle Germain, l’hommage de son respect et de lui offrir toutes les facilités qui dépendront de lui dans la carrière des sciences qu’elle cultive avec tant de succès. Je serai bien flatté d’avoir pu concourir à vous offrir quelque témoignage de mon zèle et de ma sincère admiration pour votre idole.

Recevez, Madame, je vous prie, pour elle et pour vous, l’assurance de mon parfait attachement.

Bernard, libraire.

Malgré la proscription fatale dont vous avez frappé un célèbre astronome et ses amis, je n’ai pas pu me dispenser de rendre hommage à la vérité, et je me suis empressé de vous offrir les prémisses d’une pièce de vers latins de ma composition qui va paraître ces jours-ci dans le Magasin encyclopédique. Vous y verrez page 239 une faible partie de la justice que je vous rends, Mademoiselle, et qui vous est due à tant de titres. Je serais trop heureux si vous vouliez présenter à Mademoiselle votre sœur et agréer l’hommage de l’admiration et du respect avec lequel je suis, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur,

d’Ansse de Villoison.

Ce lundi soir à minuit, 12 juillet 1802.

Madame, je trouve en rentrant la lettre dont vous m’honorez et m’empresse de vous donner sur-le-champ ma parole d’honneur que vos ordres et ceux de Mademoiselle votre fille sont déjà ponctuellement exécutés ; que j’ai brûlé ma pièce de vers grecs et voudrais pouvoir anéantir de même les latins ; que je me contenterai d’admirer désormais Mademoiselle votre fille dans le plus respectueux silence, et de vous regarder comme la plus heureuse des mères, et la plus digne d’envie. J’oserai prendre la liberté de prier Mademoiselle Sophie d’agréer un exemplaire de la seconde édition de Paris, qui va paraître sous très peu de jours avec l’addition que j’ai eu l’honneur de lui communiquer et qu’on m’annonce, Madame, devoir être incessamment suivie d’une traduction en vers français dont s’occupe maintenant une dame que je n’ai pas l’avantage de connaître. Je me reprocherai toute ma vie d’avoir composé cette pièce qui a pu blesser l’excessive modestie de Mademoiselle votre fille. Je la supplie, ainsi que Mademoiselle sa sœur, de vouloir bien recevoir mes excuses et les assurances du vif et éternel regret et du respect avec lequel je suis, Madame, votre très humble et très obéissant serviteur,

d’Ansse de Villoison.

Ce 14 juillet 1802.

J’ose prendre la liberté de vous offrir ci-joint un exemplaire de la nouvelle édition de ma malheureuse pièce, avec les corrections et additions que je vous avais annoncées. M. Pougens, Mademoiselle, l’avait insérée dans le troisième numéro de la troisième année de sa Bibliothèque française, avant que je pusse soupçonner que l’hommage de la vérité choquerait votre modestie aussi rare que vos talents. Je vous réitère, avec mes excuses et l’expression de mes vifs et éternels regrets, ma parole d’honneur que je ne me permettrai de parler de vous, Mademoiselle, dans aucun écrit, et que mon admiration sera toujours muette et enchaînée par le désir d’obtenir mon pardon d’une erreur ou d’une faute involontaire, et par le profond respect que j’ai voué à Madame votre mère et à Mademoiselle votre sœur, et avec lequel j’ai l’honneur d’être, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur,

d’Ansse de Villoison.

P. S. — Vous m’avouerez, Mademoiselle, que si vous êtes la seule demoiselle qui possède si supérieurement les mathématiques, vous êtes aussi la seule qui ait connu et redouté le danger d’un poème grec. En conscience, j’en appelle à Mademoiselle votre sœur, qui est si bonne, ne pourriez-vous pas m’accorder ma grâce, ne fût-ce que pour la singularité du fait ?

Monsieur, vos Disquisitiones arithmeticæ font depuis longtemps l’objet de mon admiration et de mes études. Le dernier chapitre de ce livre renferme, entre autres choses remarquables, le beau théorème contenu dans l’équation
4 (x — 1)/(x — 1) = Y ± nZ ; je crois qu’il peut être généralisé ainsi :
4 (x — 1)/(x — 1) = Y ± nZ , n étant toujours un nombre premier et s un nombre quelconque. Je joins à ma lettre deux démonstrations de cette généralisation. Après avoir trouvé la première j’ai cherché comment la méthode que vous avez employée art. 357 pouvait être appliquée au cas que j’avais à considérer. J’ai fait ce travail avec d’autant plus de plaisir qu’il m’a fourni l’occasion de me familiariser avec cette méthode qui, je n’en doute pas, sera encore dans vos mains l’instrument de nouvelles découvertes. J’ai ajouté à cet article quelques autres considérations. La dernière est relative à la célèbre équation de Fermat x + y = z dont l’impossibilité en nombres entiers n’a encore été démontrée que pour n = 3 et n = 4. Je crois être parvenu à prouver cette impossibilité pour n = p — 1, p étant un nombre premier de la forme de 8K7. Je prends la liberté de soumettre ces essais à votre jugement, persuadé que vous ne dédaignerez pas d’éclairer de vos avis un amateur enthousiaste de la science que vous cultivez avec de si brillants succès.

Rien n’égale l’impatience avec laquelle j’attends la suite du livre que j’ai entre les mains. Je me suis fait informer que vous y travaillez en ce moment ; je ne négligerai rien pour me la procurer aussitôt qu’elle paraîtra.

Malheureusement, l’étendue de mon esprit ne répond pas à la vivacité de mes goûts, et je sens qu’il y a une sorte de témérité à importuner un homme de génie, lorsqu’on n’a d’autre titre à son attention qu’une admiration nécessairement partagée par tous ses lecteurs.

En relisant le mémoire de M. Lagrange Berlin 1775) j’ai vu avec étonnement qu’il n’a pas su réduire la quantité
s — 11(s — 4sr + 7sr — 5sr + r)r (page 252)
à la forme : t — 11n ;
car
s — 11(s — 4sr + 7s — 5sr + r)r
= r — 211sr + (5 + 6)rs — 11(s — 6sr + 9rs — 2rs

Cette remarque est une nouvelle preuve de l’avantage de votre méthode, qui, s’appliquant à toutes les valeurs de n, donne pour chaque cas, des valeurs de Y et Z indépendantes du tâtonnement.

Si, connaissant les valeurs de Y et Z, dans l’équation 4 (x — 1)/(x — 1) = Y ± nZ , on voulait avoir celles de Y’ et Z’ dans l’équation 4 (x + 1)/(x + 1) = Y’ ± nZ’, il est clair qu’il suffirait de changer les signes de tous les termes de Y et Z qui contiennent des puissances de x, dont l’exposant est impair.

Je n’ai pas voulu fatiguer votre attention en multipliant les remarques dont votre livre a été pour moi l’occasion. Si je puis espérer que vous accueilliez favorablement celles que j’ai l’honneur de vous communiquer et que vous ne les trouviez pas entièrement indignes de réponse, veuillez l’adresser à M. Silvestre de Sacy, membre de l’Institut national, rue Hautefeuille à Paris. Croyez au prix que j’attacherais à un mot d’avis de votre part, et agréez l’assurance du profond respect de votre très humble serviteur et très assidu lecteur.

le blanc.

Brunswick, 16 juin 1806.

Monsieur, il me faut vous demander mille fois pardon d’avoir laissé six mois sans réponse l’obligeante lettre dont vous m’avez honoré. Certainement, je me serais empressé de vous témoigner tout de suite combien m’est cher l’intérêt que vous prenez aux recherches auxquelles j’ai dévoué la plus belle partie de ma jeunesse, qui ont été la source de mes jouissances les plus délicieuses et qui me seront toujours plus chères qu’aucune autre science. Mais je me flattais, de temps en temps, de pouvoir gagner assez de loisir pour mettre en ordre et vous communiquer par écrit l’une ou l’autre de mes autres recherches arithmétiques, pour vous rendre en quelque sorte le plaisir que vous m’avez fait par vos communications. Mon espérance a été vaine. Ce sont surtout mes occupations astronomiques qui, à présent, absorbent presque tout mon temps. Je me réserve pourtant de m’entretenir avec vous des mystères de mon arithmétique chérie, aussitôt que je serai assez heureux d’y pouvoir retourner.

J’ai lu avec plaisir les choses que vous m’avez bien voulu communiquer ; je me félicite que l’arithmétique acquiert en vous un ami assez habile. Surtout votre nouvelle démonstration pour les nombres premiers, dont 2 est résidu ou non résidu, m’a extrêmement plu ; elle est très fine, quoiqu’elle semble être isolée et ne pouvoir s’appliquer à d’autres nombres. J’ai très souvent considéré avec admiration l’enchaînement singulier des vérités arithmétiques. Par exemple, le théorème que je nomme fondamental (art. 131) et les théorèmes particuliers concernant les résidus 1 ± 2, s’entrelacent à une foule d’autres vérités, où l’on ne les aurait jamais cherchés. Outre les deux démonstrations que j’ai données dans mon ouvrage, je suis en possession de deux ou trois autres, qui du moins ne le cèdent pas à celles-là en question d’élégance.

Je remarque avec beaucoup de regret que les autres occupations où je suis engagé ne me permettent point du tout de me livrer, à présent, à mon amour pour l’arithmétique. Ce ne sera peut-être qu’après plusieurs années que je pourrai penser à la publication de la suite de mes recherches, qui rempliront aisément un ou deux volumes semblables au premier. Mais je croirais n’avoir pas assez vécu, si je mourais sans avoir achevé toutes les recherches intéressantes auxquelles je me suis une fois livré. Au reste, chez nous, en Allemagne, la publication d’un tel ouvrage a ses difficultés quoi qu’on en dise, le goût pour les mathématiques pures, si l’on cherche de la profondeur, n’est pas trop général. Nos libraires ne se mêlent guère de ces sortes de livres, et je ne suis pas assez riche pour faire a mes frais l’impression et me soumettre à la malhonnêteté des libraires étrangers, comme il m’est arrivé à l’occasion du premier volume. Un monsieur Duprat, par exemple, qui se nomme libraire pour le bureau des longitudes à Paris, a reçu de moi, il y a presque trois ans, des exemplaires pour la valeur de six cent quatre-vingts francs ; mais jamais je n’ai reçu un sou de lui, et il ne s’est même pas donné la peine de répondre à mes lettres. Peut-être vous pourriez me donner des renseignements par quel moyen on pourrait engager cet homme à faire son devoir.

Agréez, Monsieur, l’expression de ma haute considération.

Ch.-F. Gauss.

Brunswick, 20 août 1805.

Je profite de la complaisance de M. Grégoire pour vous offrir, avec beaucoup de remerciements pour toutes les communications de votre dernière lettre, un exemplaire d’un petit mémoire que j’ai publié en 1799 et qui probablement vous sera encore inconnu. Vous souhaitiez de savoir tout ce que j’ai écrit en latin. Cette pièce est la seule, outre mes recherches arithmétiques, et en même temps celle qui a paru la première, quoique alors l’impression de mes Disquisitiones eut été portée au-delà de la moitié.

Je suis à présent occupé à perfectionner quelques méthodes nouvelles par rapport au calcul des perturbations planétaires celles-ci et les méthodes dont je me suis servi pour calculer les éléments elliptiques des différentes nouvelles planètes, fourniront probablement les matériaux pour mon premier ouvrage.

Je vous salue cordialement.

Ch.-F. Gauss.

Je dois vous paraître bien coupable d’avoir tardé si longtemps à vous remercier de la lettre dont vous m’avez honoré, et de l’envoi du mémoire que vous avez bien voulu y joindre. Cependant il n’y a pas de ma faute : le paquet ne m’a été remis qu’il y a huit jours. M. de Sacy était en voyage depuis plus de deux mois et on avait négligé chez lui de me le faire tenir. Il est vrai que, n’espérant pas de vous une réponse si prompte, je n’avais mis aucun soin à m’informer des lettres qui m’étaient adressées.

Votre mémoire m’a fait d’autant plus de plaisir que je le connaissais déjà par une lecture rapide que m’avait procurée l’un des savants auxquels vous l’avez envoyé, il y a déjà longtemps, et qu’ayant toujours eu le désir d’étudier comme on doit le faire tous les ouvrages qui sortent de votre plume, je l’avais inutilement fait demander à Leipzig d’où j’avais reçu pour réponse que l’édition était épuisée. L’indulgence que vous continuez de me témoigner m’encourage à vous communiquer encore quelques-unes de mes nouvelles recherches.

Après avoir réduit, suivant que vous l’indiquez, les formes ternaires dont la déterminante est zéro aux formes binaires, j’ai cherché si cette propriété ne s’étendait pas aux formes quaternaires, c’est-à-dire si ces formes n’étaient pas susceptibles de se réduire aux formes ternaires lorsque leur déterminante est zéro, et j’ai examiné ensuite quelques autres propriétés de ces formes et de leurs adjointes.

Je crois qu’en général D étant la déterminante d’une forme composée d’un nombre de variables, D est la déterminante de l’adjointe de cette forme. C’est ainsi que vous avez trouvé D pour la déterminante de l’adjointe ternaire et que, d’après mes calculs, D est la déterminante de l’adjointe quaternaire. Cette analogie n’est sans doute pas suffisante pour établir la généralité de la proposition de la forme. Mais on voit au moins que la déterminante étant composée de produits de l’ordre n et les coefficients de son adjointe l’étant de produits de l’ordre n-l, D est du même ordre que la déterminante de l’adjointe, c’est-à-dire de l’ordre n (n-1). Ces deux propositions, savoir que l’adjointe est de l’ordre n et les coefficients de l’adjointe déterminante de l’ordre n-1, m’ont paru résulter de la nature générale des formes et de leurs adjointes.

Je regarde comme une faveur la permission que vous voulez bien m’accorder de vous communiquer mes faibles essais, persuadé que vous aurez assez de bonté pour m’avertir des erreurs qui pourraient m’échapper dans un genre de recherches où vous êtes le seul juge éclairé que l’on puisse consulter.

Les nouveaux renseignements que j’ai pris au sujet du libraire Duprat ne sont rien moins que satisfaisants. Son successeur a dit avoir depuis longtemps terminé ses paiements dont le produit a été aussitôt dissipé. Il est retiré dans une petite ville ou il vit du revenu d’un médiocre emploi, et l’avis général de toutes les personnes que j’ai consultées a été qu’il est à peu près impossible de tirer de l’argent de lui.

Je n’avais pas jugé nécessaire de vous communiquer ces résultats, parce que je ne vois pas que l’on puisse en tirer bon parti, et que j’attendais, pour vous écrire de nouveau, que vous m’en eussiez donné la permission. Le retard qu’a occasionné la remise de votre lettre m’a privé de vous faire plus tôt tous mes remerciements et les protestations de mon profond respect.

X
Bunswick, ce 27 novembre 1806.

À Monsieur le général Pernety, chef de l’Etat-major général
de l’artillerie de l’armée.

Àpeine arrivé dans cette ville, je me suis occupé de remplir votre commission. J’ai demandé à plusieurs personnes l’habitation de Monsieur Gauss, chez qui je fus pour prendre de ses nouvelles de votre part, et de celle de mademoiselle Sophie Germain. Il me répondit ne pas avoir eu l’honneur de vous connaître ainsi que la demoiselle, mais qu’il avait bien connaissance de Madame Lalande à Paris.

Après avoir parlé de différents articles contenus dans votre instruction à moi remise, il me parut un peu confus, et me chargea de vous remercier infiniment des attentions que vous preniez à son égard. Je lui demandai, s’il voulait écrire à Paris, de me remettre la lettre, que je vous l’aurais fait tenir, que vous vous chargiez de la faire rendre à sa destination. Il ne répondit ni oui ni non sur cet article. Je sortis pour lors de chez lui en le laissant avec madame son épouse et son enfant. Je fus chez M. le général de division Buisson, gouverneur de cette ville, pour le recommander, et surtout que j’avais en l’honneur de connaître M. le général de division Buisson d’ancienne date. Ce général me répondit pour lors de faire tout pour lui, en m’invitant à dîner avec M. Gauss. M. le commandant de la place qui se trouvait là dans ce moment me dit que cet homme lui avait déjà été recommandé par plusieurs personnes de mérite. Je me suis licencié (sic) et je retournai chez M. Gauss pour le prier de vouloir bien venir dîner avec moi chez le gouverneur. Me l’ayant promis, dans une heure d’ici je passerai le prendre et nous irons ensemble. Le fait est qu’il aura de M. le gouverneur et du commandant de la place toute l’estime et les douceurs qui seront à leur pouvoir. Chemin faisant je tâcherai de lui parler afin qu’il vous écrive de la manière dont je me suis acquitté de ma mission, et en même temps qu’il écrive à Paris, s’il le juge ; je lui laisse à cet effet votre adresse. La sienne est : à Monsieur le docteur Gauss logé chez Ritter, Steinweg n 1917 à Brunswick. Il jouit d’une bonne santé et me dit qu’il craignait un peu au moment où les troupes étaient rentrées, mais qu’il est resté à Brunswick tranquille. Je l’ai rassuré, et puis je ne doute pas que M. le gouverneur ainsi que le commandant de la place le rassureront bien mieux sur cet article. J’ai couru la poste nuit et jour jusqu’à ce moment. Cette circonstance m’oblige à rester ici cet après-midi et demain matin de bonne heure je pars pour me rendre à ma destination.

Daignez agréer, mon général, les sentiments du plus profond respect avec lequel j’ai l’honneur d’être, etc.

Chantel,

Chef de bataillon.

Cotel, près Breslau, 23 décembre 1806.

Je ne puis mieux répondre aux demandes que votre amour pour les savants m’a faites, qu’en vous envoyant la lettre de l’officier d’artillerie que j’avais chargé de savoir des nouvelles de M. Gauss, à Bruuswick. Je désire qu’elle satisfasse vos vœux pour cet émule d’Archimède, mieux traité que lui, comme vous le verrez. J’espère que cela me mettra dans le cas d’être chargé quelquefois de vos intéressantes commissions. Je m’en acquitterai mieux certainement que celles d’achats de chiffons des pays étrangers, qu’à tort parfois on me confie.

Me voici faisant un siège, entendant et faisant gronder le ou les tonnerres, brûlant des maisons, des églises, car les clochers sont de bons points de mire pour les bombes, enfin faisant par réflexion tout le mal que je peux à qui jamais ne m’en fit aucun, et que je ne connais pas ; mais c’est le métier. On m’accable à mon tour de boulets, d’obus et de bombes, et tout va le mieux du monde. Enfin cet obstiné gouverneur de Breslau prendra peut-être un jour son parti, et il fera bien pour la ville et pour nous.

Je me flatte que votre santé est améliorée et que celles de vos parents, ainsi que de mademoiselle votre sœur, se maintiennent en bon état. Tels sont du moins les vœux les plus sincères de votre dévoué serviteur et admirateur.

J. Pernety.

XII
SOPHIE GERMAIN À GAUSS
À Monsieur le docteur Gauss,
logé chez Ritter, Steinweg, Nr. 1917 à Brunswick.

« Monsieur, l’intérêt dû aux hommes supérieurs suffit pour expliquer le soin que j’ai pris de prier le général Pernety de faire savoir, à qui il jugerait convenable, que vous avez droit à l’estime de tout gouvernement éclairé.

« En me rendant compte de l’honorable mission dont je l’avais chargé, M. Pernety m’a mandé qu’il vous avait fait connaître mon nom : cette circonstance me détermine à vous avouer que je ne vous suis pas aussi parfaitement inconnue que vous le croyez ; mais que, craignant le ridicule attaché au titre de femme savante, j’ai autrefois emprunté le nom de M. Le Blanc pour vous écrire et vous communiquer des notes qui, sans doute, ne méritaient pas l’indulgence avec laquelle vous avez bien voulu y répondre.

« La reconnaissance que je vous dois pour l’encouragement que vous m’avez accordé, en me témoignant que vous me comptiez au nombre des amateurs de l’arithmétique sublime dont vous avez développé les mystères, était pour moi un motif particulier de m’informer de vos nouvelles dans un moment où les troubles de la guerre pouvaient inspirer quelques craintes, et j’ai appris avec une véritable satisfaction que vous êtes resté dans vos foyers aussi tranquille que les circonstances le permettaient. Je crains cependant que les suites de ces grands événements ne nous privent encore longtemps des ouvrages que vous préparez sur l’astronomie et, surtout, de la continuation de vos recherches arithmétiques ; car cette partie de la science a pour moi un attrait particulier et j’admire toujours avec un nouveau plaisir l’enchaînement des vérités exposées dans votre livre ; malheureusement, la faculté de penser avec force est un attribut réservé à un petit nombre d’esprits privitégiés, et je suis bien sûre de ne rencontrer aucun des développements qui, pour vous, semblent une suite inévitable de ce que vous avez fait connaître.

« Je joins à ma lettre une note destinée à vous témoigner que j’ai conservé pour l’analyse le goût qu’a développé en moi la lecture de votre ouvrage, et qui m’a autrefois inspiré la confiance de vous adresser mes faibles essais, sans autre recommandation auprès de vous que la bienveillance accordée par les savants aux admirateurs de leurs travaux.

« J’espère que la singntarité, dont je fais aujourd’hui l’aveu, ne me privera pas de l’honneur que vous m’avez accordé sous un nom emprunté, et que vous ne dédaignerez pas de consacrer quelques instants à me donner directement de vos nouvelles ; croyez, Monsieur, à l’intérêt que j’y attache et recevez l’assurance et la sincère admiration avec laquelle j’ai l’honneur d’être,

« Votre très humble servante,

Sophie Germain.

« Paris, le 20 février 1807.

« P. S. Mon adresse est : M Germain, chez son père, rue Sainte-Croix-de-la-Bretonnerie, n 23, à Paris ».

XII
Lettera inedita di Carlo Federico Gauss a Sofia Germain, pubblicata la B. Boncompagni (Firenze, 1879)
GAUSS À SOPHIE GERMAIN.

Votre lettre du 20 février, mais qui ne m’est parvenue que le 12 mars, a été pour moi la source d’autant de plaisir que de surprise. Combien l’acquisition d’une amitié aussi flateuse et précieuse est-elle douce à mon cœur ! L’intérêt vif que vous avez pris à mon sort pendant cette guerre funeste, mérite la plus sincère reconnaissance. Assurément, votre lettre au général Pernety m’eût été fort utile, si j’avais été dans le cas d’avoir recours à une protection spécielle de la part du gouvernement françois. Heureusement les evenements et les suites de la guerre ne m’ont pas touché de trop près jusqu’ici, bien que je sois persuadé qu’elles auront une grande influence sur le plan futur de ma vie. Mais comment vous décrire mon admiration et mon étonnement, en voïant se metamorphoser mon correspondant estimé M. Leblanc en cette illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j’aurois peine de croire. Le goût pour les sciences abstraites en général et surtout pour les mysteres des nombres est fort rare : on ne s’en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se decelent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir. Mais lorsqu’une personne de ce sexe, qui, par nos mœurs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d’obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ses recherches epineuses, sait neansmoins franchir ces entraves et penétrer ce qu’elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu’elle ait le plus noble courage, des talens tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. En effet rien ne pourroit me prouver d’une manière plus flatteuse et moins équivoque, que les attraits de cette science, qui ont embelli ma vie de tant de jouissances, ne sont pas chimériques, que la predilection, dont vous l’avez honorée.

Le notes savantes, dont toutes vos lettres sont si richement remplies, m’ont donné mille plaisirs. Je les ai étudiées avec attention, et j’admire la facilité avec laquelle vous avez pénétré toutes les branches de l’Arithmetique, et la sagacité avec laquelle vous les avez su généraliser et perfectionner. Je vous prie d’envisager comme une preuve de cette attention, si j’ose ajouter une remarque à un endroit de votre dernière lettre. Il me semble, que la proposition inverse, savoir « si la somme des puissances n de deux nombres quelconques est de la forme hh + nff, la somme de ces nombres eux-mêmes sera de la meme forme » est énoncée un peu trop generalement. Voici un exemple où cette règle est en défaut :

Néanmoins 15 + 8 = 23 ne peut se reduire sous la forme xx + 11yy.

Il en est de même de la proposition : si l’un des facteurs de la formule yy + n zz (n étant un nombre premier) est de la forme (1, 0, n), l’autre appartient nécessairement à la même forme. Votre démonstration ne prouve que ce, qu’aucune autre forme indefinie, que telle qui est équivalente à (1, 0, n), multipliée par la forme (1, 0, n), ne peut donner le produit (1, 0, n), mais cette démonstration ne s’étend pas sur les nombres definis. Soit, pour le déterminante -n, C une classe de formes, quelconque mais ni équivalente à la principale, ni à aucune classe anceps, soit D la classe resultante de la duplication de c (qui sera différente de la principale), enfin soit D’ la classe opposée à D. Il s’ensuit, que de la composition de C + C + D’ resulte la classe principale. Ainsi si les deux nombres f, g peuvent être représentés par une forme de la classe c, et le nombre h par une forme de la classe D’, le produit fg×h peut se réduire à (1, 0, n) ; mais il est facile que fg ne se reduit pas seulement à D ou D’ mais aussi à (1, 0, n). Nous avons donc ici le cas, qu’un facteur fg, et le produit fg.h sont de la forme (1, 0, n), sans que pourtant l’autre facteur y appartienne nécessairement. Au reste on voit facilement que le premier facteur doit être composé, sans cela la proposition serait juste. Dans l’exemple ci-dessus le facteur 1511+81123 enveloppe le diviseur 67.

Depuis cinq ans des travaux astronomiques — auquels pour le dire en passant je dois surtout l’heureuse situation dont j’ai joui pendant la vie de notre duc, le victime malheureux de son attachement fidel à la maison de Prusse — m’ont empêché de me de delivrer autant qu’auparavant à ma predilection pour l’arithmetique et les autres branches de l’analyse. Je n’ai pas pourtant négligé celle-ci tout à fait. Tout au contraire j’ai rassemblé peu à peu un grand nombre de recherches, qui un jour formeront un autre volume — si non deux — certainement pas moins intéressant que le premier. Même dans le dernier hiver j’ai reussi à y ajouter une branche entièrement nouvelle. C’est la théorie des résidus cubiques et des résidus biquarrés, portée à un degré de perfection, égal à celui, qu’a atteint la théorie des résidus quarrés. Je mets cette théorie, qui repand un nouveau jour sur les résidus quarrés parmi les recherches les plus curieuses dont je me sois jamais occupé. Je ne saurais vous en donner une idée sans ecrire un Memoire expres. Voici pourtant quelque theoreme special, qui pourra servir d’un petit echantillon.

I. Soit p un nombre premier de la forme 3n + 1. Je dis, que 2. (c.a.d. +2 et -2) est résidu cubique de p, si p se reduit à la forme xx + 27.yy ; que 2 est non-résidu cubique de p, si 4p se reduit à cette forme. P.E.7.13.19.31.37.43.61.67.73.79.97. Vous ne trouverez que 31 = 4 + 27, 43 = 16 + 27, et 2 = 4 (mod. 31) 2 = (-9) (mod. 43).

II. Soit p un nombre premier de la forme 8n + 1. Je dis que +2 et -2 seront residus ou non-résidus biquarrés de p, suivant ce que p est ou n’est pas de la forme xx + 64 yy. Par exemple parmi les nombres 17.41.73.89.97.113.137 vous ne trouvez que 73 = 9 + 64, 89 = 25 + 64, 113 = 49 + 64, et 25 = 2 (mod. 73), 5 = 2 (mod. 89), 20 = 2 (mod. 113).

La demonstration de ces theoremes et de ceux qui sont plus generaux sont intimement liés à des recherches delicates. — Voici une autre proposition relative aux residus quarrés, dont la demonstration est moins cachée : je ne l’ajoute pas, pour ne pas vous derober le plaisir de la developper vous-même, si vous la trouverez digne d’occuper quelques moments de votre loisir.

Soit p un nombre premier. Soient les p - 1 nombres inférieurs à p partagés en deux classes :

A..... 1, 2, 3, 4....12(p - 1)

B..... 12(p + 1), 12(p + 3), 12(p + 5), ... p - 1

Soit a un nombre quelconque non divisible par p. Multipliés tous les nombres A par a ; prenés-en les moindres residus selon le module p, soient, entre ces residus, α appartenants à A, et ϐ appartenants à B, de sorte que α + ϐ = 12(p - 1). Je dis que a è residu quarré de p lorsque ϐ è pair, non residu lorsque ϐ è impair.

On peut tirer de cette proposition plusieurs consequences remarquables ; entre autres, elle donne le moien d’etendre l’induction, par laquelle on rassemble des cas speciels du theoreme fondamental aussi loin qu’on veut, ce qui ne pourrait se faire par les methodes exposés art. 106-124.

J’ai donné dans mon ouvrage deux demonstrations rigoureuses de ce fameux theoreme, et j’en possède encor trois autres toutes entierement differentes entre elles ; deux d’entre elles même peuvent être conduites de deux differentes manieres chaqu’une ; ainsi je pourrois soutenir que je peus le demontrer de sept manieres differentes. Les autres demonstrations que je prefererois pour l’elegance aux deux données dans mon ouvrage, seront publiées aussitôt que j’y trouverai l’occasion. A propos, dans la première demonstration qui se trouve dans la IV section il s’est glissé une faute legere que je n’ai aperçue, qu’apres que je ne pouvois plus l’indiquer. Il faut donc faire la correction suivante : p. 146 (cas.(4)) 1.21 lisés comme il suit « Facile vero perspicitur, exista aequatione deduci poste haec a’pRh..... (α), ± a h R a’.... (ϐ), ± a h R p..... (γ). Ex. (α) sequitur, perinde ut in (e), h vel utruiusque a’, p vel neutrius residuum esse. Sed casus prior ideo est impossibilis, quod ex h R a’ et (ϐ) sequeretur a R a’ contra hypoth. Quamobrem necessario est h N p adeoque, per (γ) a N p. Q.E.D. »

Au reste à la page 144 il se trouve une faute d’impression non indiquée, savoir art. 139 ligne 3 au lieu de ± aNp il faut lire ± aRp.

J’aurois repondu plus tôt a votre lettre, mais la découverte d’une nouvelle planète par M. Olbers m’a un peu distrait. Par le premier essai que j’ai fait sur son orbite, je trouve son mouvement considerablement plus vite que celui de Cérès, Pallas et Junon, savoir 978″ par jour. L’inclinaison de l’orbite 7° 6′. L’excentricité 0,1. Cette planete a beaucoup plus de clarté que Ceres, Pallas et Junon et j’espere la trouver parmi les observations de l’histoire celeste, peut être même parmi celles de Humstead. Je viens d’achever un ouvrage étendu sur les methodes, qui me sont propres, à determiner les orbites des planètes. Mais quoique je l’aie ecrit en allemand, je trouve beaucoup de difficulté d’y engager un libraire. La guerre a suspendu tout commerce, plusieurs de nos plus grands libraires l’ont refusé. Je suis à present à traiter avec un autre qui se montre un peu plus courageux. S’il trouvera son conte à cette entreprise, peut-être il sera encouragé par la à risquer la publication d’un second volume de mes disquisitiones.

Continuez, Mademoiselle, de me favoriser de votre amitié et de votre correspondance, qui font mon orgueil, et soïes persuadée, que je suis et serai toujours avec la plus haute estime,

Votre plus sincere admirateur,

Ch. Fr. Gauss.

Bronsvic, ce 30 Avril 1807, jour de ma naissance.

Göttingue, ce 19 janvier 1808.

En vous remerciant de tout mon cœur pour votre dernière lettre et les intéressantes communications que vous m’y faites, Mademoiselle, je vous prie mille fois pardon d’y répondre aussi tard. Cette négligence est, pour la plus grande partie, une suite des changements qui se sont faits dans ma situation. J’ai changé ma demeure, pour accepter la place de professeur d’astronomie a Gottingue qu’on m’avait offerte depuis longtemps. Je ne vous dis rien des circonstances fâcheuses qui m’ont enfin déterminé à faire ce pas, ni des nouvelles tracasseries auxquelles je me trouve exposé ici ; j’espère que l’interposition de l’Institut où j’ai en recours y mettra fin. Ne contemplons à présent que la belle perspective que j’ai de pouvoir, avec plus d’aisance, du moins dans la suite, veiller à mes travaux, surtout arithmétiques, et de les publier successivement dans les mémoires de la Société de Gottingue. J’ai le plaisir de vous en envoyer les prémisses lesquelles, comme j’espère, vous feront quelque plaisir. Vous me pardonnerez que cette fois je ne puis m’étendre davantage sur la belle démonstration de mes théorèmes arithmétiques. J’admire la sagacité avec laquelle vous avez pu en si peu de temps y parvenir. J’espère de pouvoir bientôt publier toute la théorie dont ces propositions élégantes font partie, avec une foule d’autres choses. Que mes occupations arithmétiques me rendent heureux dans un temps où je ne vois autour de moi que le malheur et le désespoir ! Ce ne sont que les sciences, le sein de sa famille et la correspondance avec ses amis chéris, où l’on puisse se dédommager et se reposer de l’affliction générale.

L’ouvrage sur le calcul des orbites des planètes, dont je vous ai parlé dans ma dernière lettre, est enfin sous presse. J’espère qu’il sera achevé dans quelques mois. Je n’ai pas redouté la peine de le traduire en latin ; afin qu’il puisse trouver un plus grand nombre de lecteurs.

Soyez toujours aussi heureuse, ma chère amie, que vos rares qualités d’esprit et de cœur le méritent, et continuez de temps en temps de me renouveler la douce assurance que je puis me compter parmi le nombre de vos amis, titre duquel je serai toujours orgueilleux.

Ch. Fr. Gauss.

XII
Le trésorier de l’Université Impériale à Mademoiselle Sophie Germain.

Paris, ce lundi 14 mai 1810.

Par une lettre que je viens de recevoir de M. Gauss, je suis chargé d’une commission sur laquelle il m’engage à prendre votre avis. Dans toute autre circonstance, je n’eusse pas manqué de saisir avec empressement cette occasion pour vous porter mes hommages. Je viens de rendre les derniers devoirs à la mère de ma femme. Ce triste événement, joint à toutes mes autres occupations, ne me laissera de quelque temps aucun moment dont je puisse disposer.

Sur la somme de 500 fr., valeur de la médaille fondée par Lalande et qui vient de lui être décernée, M. Gauss désire avoir une pendule ; voici les termes de sa lettre :

Il me paraît que c’est une pendule et non une montre que désire M. Gauss. Il a traduit par montre à pendule, l’expression allemande Pendeluhr. Il s’agit donc de lui choisir une Pendule du prix de 60 à 300 fr. ; mais il veut qu’elle soit élégante et je craindrais de ne pas deviner bien juste le goût de Madame Gauss. Veuillez donc, Mademoiselle, m’informer si je puis me flatter d’être aidé de vos conseils et me faire parvenir vos ordres.

J’espère avoir plus de liberté dans quelques jours, et j’en profiterai pour aller apprendre le résultat de vos idées ou de vos soins, et je m’occuperai aussitôt après de faire partir la pendule pour Göttingue en profitant, s’il en est temps encore, des occasions qu’il m’a indiquées.

Agréez l’hommage des sentiments respectueux avec lesquels j’ai l’honneur d’être, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur.

Delambre.

Sans date.

L’équation sin. ½ω = 0 n’est pas une conséquence nécessaire de l’équation à résoudre ; elle vient d’un facteur qui a été introduit par la multiplication, et qui est étranger à la solution du problème.

En effet, la première forme de l’équation générale (page 154) étant

si on y fait λ=12, elle devient

Or, celle-ci n’est pas satisfaite par la supposition sin⁡12ω=0; elle le serait seulement par la supposition 12ω=0, ou 12ω égal à un infiniment petit, cas dont on fait abstraction.

La solution sin⁡12ω=0, ou 12ω=Kπ est d’ailleurs inadmissible, puisqu’elle donne des valeurs infinies pour les coefficients γ, γ′, δ′, page 153 (et toujours en faisant λ=12). C’est ce qu’aurait dû remarquer Euler, lorsqu’il dit, page 156 : Multiplicemus omnes coefficientes per sin⁡.12ω. On peut bien multiplier l’ordonnée d’une courbe par une constante, afin de rendre cette courbe sensible par une construction géométrique, mais on ne peut pas multiplier par zéro. Il n’y a donc que la seconde solution qui soit légitime, et quant à celle-ci je ne vois rien à lui objecter.

Lorsque M Sophie a voulu considérer le cas général elle est, ce me semble, tombée dans la même erreur qu’Euler, en faisant sin⁡.λω=0. Cette solution est illusoire, elle résulte d’un facteur donné mal à propos à l’équation et elle aurait, comme dans le cas de λ = 12, l’inconvénient de rendre infinis les coefficients γ, γ’, δ’, etc. de la courbe.

Au reste, excepté la première solution qui demande quelque tâtonnement, pour avoir la valeur précise de ω, il est facile de résoudre généralement l’équation d’Euler, page 154, savoir :

En effet, si on a bien saisi l’esprit de la résoIution des six cas principaux, on verra que, passé la première solution, et quelquefois même dans la première solution, la quantité e devient si grande, qu’on peut négliger en toute sûreté e par rapport à e, de même que e par rapport à e. D’après ce principe, l’équation précédente se réduit à celle-ci :

ou simplement :

Or, ayant fait cos.λω = x, cos.(1-λ)ω = y on trouvera aisément, suivant les différentes valeurs de λ, une équation algébrique entre x et y, laquelle combinée avec l’équation x + y = 2, donnera un nombre déterminé de solutions, par exemple :

De ces solutions on formera ensuite les solutions générales :

k étant un nombre à volonté.

Ainsi il y aura pour ω autant de fois de valeurs que l’équation en x aura de racines.

Soit, par exemple, λ=13, il faudra satisfaire à l’équation

Or si l’on fait cos13ω=x, on aura

Et enfin x=2+73 : appelons α et β les deux angles compris entre 0 et 180°, qui donnent cos⁡α=2+73, cos⁡β=2−73 et nous aurons généralement

C’est-à-dire que les valeurs de ω formeront deux suites distinctes :

chacune donnant lieu à une manière d’osciller de Ia Iame.

Dans l’application, il faudrait rechercher plus exactement les deux premiers termes 3α, 3β ; mais les autres seront toujours suffisamment approchés.

Legendre.

Paris, ce 19 janvier 1811.

La multiplication par sin 12ω, contre laquelle je m’étais élevé dans ma première note, s’explique en examinant les choses de plus près, et voici comment.

Avant de faire aucune supposition sur la valeur de ω, l’auteur (page 154) trouve le rapport

αα′=eλω−eω(2−λ)eλω−e−λω d’où il conclut

α=eλω−eω(2−λ);α′=eλω−e−λω ;

parce qu’en effet il peut multiplier tous les coefficients α, β, γ, δ, par un même nombre, puisqu’il reste encore un coefficient arbitraire C qui multiplie le tout. Mais comme par suite la valeur 12ω=0, on trouve α=0, et α′=0, il s’ensuit qu’on a mal à propos multiplié tous les coefficients α, β, γ, δ, par une quantité infinie, puisqu’un coefficient α, qui, sans cette multiplication aurait été zéro, est devenue une quantité finie.

Pour rectifier cette erreur, il faut donc supprimer le facteur infini, ou multiplier par sin12ω.

Cette explication laisserait encore quelque obscurité, et il est bien plus simple de refaire le calcul des coefficients dans la supposition de sin⁡12ω=0 ou 12ω=iπ,λ étant 12

Soit donc sin12ω=0, et alors en remontant tout simplement aux équations primitives de la page 152, on trouve sans aucune difficulté α=0,β=0,δ=0,α′=0,β′=0,γ′=0. Il ne reste que γ et γ′ qui ne s’anéantissent pas. Mais les équations dont il s’agit n’en déterminent pas la valeur, et on trouve simplement γ=γ′. À cause du multiplicateur commun C, on peut faire γ=1 et on aura γ′=1. Euler dans son analyse (mal ordonnée) trouve γ′=−γ, mais c’est une erreur manifeste, et les équations III et IV de la page 152 donnent évidemment γ=γ′.

Voilà, une difficulté très vraie et très grave, et voyez les conséquences qui en résultent. Si on a γ=γ′, alors l’équation de la portion de courbe L F (page 157) n’est plus y=−Csin(3+α) mais bien y=+Csin(3+α) comme celle de la portion E L.

Il reste donc à chercher laquelle de ces équations est la vraie. On pourrait croire, au premier coup d’œil, que c’est celle d’Euler qui semble indiquer tout de suite des ordonnées négatives pour la portion L F. Eh bien, point du tout. Euler s’est trompé dans cette équation par suite de son erreur sur le signe de γ′ et la vraie équation de la portion L F est :

y=Csin⁡(3+tω2c23βaa)sin⁡μω

absolument comme celle de la portion E L, c’est-à-dire que ces deux portions ne font qu’une seule et même courbe désignée par la même équation. Résultat qui se rapproche entièrement de la théorie que M Sophie voulait adopter, même en dépit des équations d’Euler et de ma note première.

Il suffit pour s’en convaincre de remarquer que puisque sin⁡μω est zéro lorsqu’on fait μ=12, les deux suppositions μ>12, μ<12 donneront deux résultats de signes contraires pour sin⁡μω, de sorte qu’avant et après le point L, les ordonnées seront de signes différents.

Voilà donc la difficulté entièrement résolue pour ce point ; elle venait de l’erreur de signe qu’a faite Euler dans l’équation γ=γ′.

Je dois aussi ajouter, contre l’opinion que j’avais avancée dans ma première note, que le facteur sin⁡12ω, donne la solution admissible sin⁡12ω=0, ou sin⁡12ω=απ. Quant à l’autre solution contre laquelle je ne vois pas d’objection, il me semble qu’on ne peut la rejeter par cette seule raison que les sons rendus par la lame dans les deux portions ne s’accorderaient pas entre eux. Les oscillations peuvent très bien avoir lieu sans être harmoniques.

J’ai cru, Mademoiselle, ne pas devoir vous faire attendre jusqu’à lundi ces explications que votre discernement appréciera à leur valeur. Je vous les envoie comme une preuve de mon zèle et de mon dévouement.

Legendre.