Correspondance · DU MÊME

28 janvier 1811.

Euler n’a traité qu’en passant et par forme d’exemple son problème § 47 ; il peut s’y être mépris tant en fait de calcul qu’en fait de raisonnement. Il s’est mépris certainement dans le calcul lorsqu’il a trouvé γ=−γ′, puisqu’on doit avoir γ′=γ. Il se peut aussi que la seconde solution soit purement analytique et ne satisfasse pas aux circonstances physiques du problème. C’est ce que je ne déciderai pas, n’ayant pas assez réfléchi sur ces sortes de questions et n’ayant pas le loisir ni le goût de me livrer à un examen plus approfondi. J’aime donc mieux donner cause gagnée à M Sophie que de lutter avec elle sur un sujet qu’elle a beaucoup médité. Voici seulement ce qui me paraît le plus probable.

Avant toute discussion, il faudrait avoir bien fixé le sens du mot Simpliciter fixus qu’emploie Euler. Comme dans ce point, y est toujours zéro, il faut, ce me semble, regarder le stylet comme une aiguille fixe qui traverse la verge au milieu de sa largeur, et autour duquel elle peut tourner dans tous les sens. Je ne vois pas que le mot d’Euler puisse avoir une autre signification.

Cela posé, si l’on a bien déterminé dans le problème IV tous les mouvements que peut prendre une verge élastique dont les extrémités sont simplement fixes parmi tous les mouvements réguliers possibles il y en aura un certain nombre dans lesquels le point milieu de la verge demeurera en repos. Ces derniers mouvements satisferont au problème du § 47, il ne s’agira donc que de retrancher de la solution générale du problème IV, toutes les solutions qui ne satisfont pas à cette condition.

Pareil raisonnement s’applique à tous les autres cas généraux depuis le problème 1 jusqu’au problème VI, et il s’applique encore au cas où le stylet serait appliqué à un autre point que le milieu, ou même aux cas où plusieurs stylets seraient appliqués en différents points de la verge, au moins suivant des distances qui seront dans un rapport rationnel avec la longueur entière de la verge.

Cette explication peut faire disparaître beaucoup de difficultés, mais je ne me dissimule pas qu’elle est sujette à une objection.

Quand on considère dans les problèmes successifs I, II... VI, les différents mouvements de la verge, on suppose qu’elle est entièrement libre dans les points intermédiaires, et qu’ils n’éprouvent dans leurs mouvements aucune résistance. Le cas n’est plus le même lorsqu’on conçoit un ou plusieurs stylets appliqués en différents points. Si ces stylets ne supportent aucune pression dans aucun sens, la solution telle que nous venons de la concevoir pourra être appliquée ; mais s’ils en supportent une, il faudra y avoir égard. Les solutions des problèmes I, II, ...., VI ne sont plus applicables, et tout notre édifice croule.

Permettez, Mademoiselle, que je vous laisse vous dégager comme vous pourrez de ces ruines, moi je me sauve, en vous faisant ma très humble révérence.

Legendre.