Correspondance · _______ XVII DU MÊME

Ce 4 décembre 1811.

Mademoiselle, je n’ai pas de bonnes nouvelles à vous donner de l’examen du Mémoire. On trouve que votre équation principale n’est pas exacte, même en admettant l’hypothèse que l’élasticité en chaque point peut être représentée par 1/y + 1/y. M. de Lagrange a trouvé que, dans cette hypothèse, la vraie équation devrait être de la forme d2zdt2+k2(d4zdx4+2d4zdx2dy2+d4zdy4)=0, en supposant d’ailleurs z très petit. Je n’ai point vérifié ce calcul ; on peut s’en rapporter à son auteur. Mais ce qui du premier coup d’œil confirme son exactitude, c’est qu’en supposant la surface vibrante réduite à une lame d’une largeur constante, ce qui peut s’exprimer en faisant dzdy=0, on retombe sur l’équation d2zdt2+k2d4edx4, qui est, autant qu’il m’en souvient (car je n’ai pas le volume sous la main), l’équation donnée par Euler pour les lames élastiques vibrantes. Votre équation ne donnerait pas ce résultat. La source de votre erreur paraît être dans la manière dont vous avez cru pouvoir déduire l’équation de la surface vibrante de l’équation d’une simple lame ; c’est dans les doubles intégrales que vous vous êtes égarée. Elles ne se prêtent nullement aux substitutions que vous avez employées. Il fallait, pour l’équation de la surface, suivre la méthode indiquée par Lagrange dans la nouvelle édition, page 148, en ajoutant le terme convenable pour représenter la force due à l’élasticité. Au reste, ces choses sont sujettes à des difficultés particulières, qui n’ont pas été encore bien éclaircies, et il y aurait même des objections à faire contre l’analyse de l’article même que je cite.

M. Biot, qui a eu communication de votre Mémoire, prétend avoir trouvé la vraie équation de la surface élastique vibrante. Il m’en a communiqué une qu’il dit avoir montrée il y a longtemps à M. de Laplace, et qui n’est pas la même que celle qu’a trouvée M. de Lagrange d’après votre hypothèse.

Je n’en rends pas moins justice à des efforts qui sont louables en eux-mêmes, quoiqu’ils n’aient pas l’issue que j’aurais désirée ; mais c’est une raison de plus de garder l’incognito, et je vous promets de mon côté de garder le plus profond silence.

J’imagine que la même question sera posée avec un nouveau délai ; ainsi miséricorde n’est pas perdue. Au contraire, il faut plus que jamais songer à emporter la palme.

Agréez, Mademoiselle, les sentiments affectueux de votre dévoué serviteur.

Legendre.