Le plan, sur lequel doivent être tracées les lignes de
ABAQl ES
niveau des moments de flexion, contient les axes de coordonnées o.v et ot ; prenons donc deux axes rectilignes quelconques o.r, ot
(fig- 16).
domine les convois peuvent circuler dans les deux sens, il
Pôle, des appuis
Fig. iG.
suffit d'obtenir les moments dans une moitié de travée, et Ton aura les limites de l'épure en considérant les valeurs extrêmes de .r et de /.
Pour l'appui appartenant à la moitié de gauche de la poutre, on a .r ~= o, d'où t = o. quelle que soit la portée. L'origine o des axes est donc un pôle commun à tous les appuis.
Pour toutes les sections situées au milieu des travées, on a uniformément / = 1 ; la droite / = 1 parallèle à l'axe o.r est donc la ligne des milieux des travées. Le diagramme se trouvera donc limité entre les deux parallèles os et t = i.
Lorsque l'abscisse s d'une section est définie par la relation particulière
MOMEXTS DE FLEXION I*
la valeur correspondante de / est, d'après la formule :47)
Donc les points correspondant aux sections, qui jouissent de la propriété indiquée par la relation (49), sont distribués sur des lignes parallèles à l'axe ox.
Si l'on attribue à x les valeurs successives
/ 21 'M 4/ ml l
les valeurs correspondantes de t seront
la variation de t est donc plus rapide que celle de .r. Par suite, l'approximation que fournira le tracé pour les sections avoisinant le milieu des travées sera plus grande que pour les sections rapprochées des appuis. Ce résultat est conforme à ce que la pratique peut exiger.
30. — Pour trouver sur l'épure la position du point représentant une section déterminée, on peut employer plusieurs méthodes. Les données directes sont : l'abscisse x l de la section, et la portée /, de la poutre.
1° On peut calculer, parla formule (47), la valeur de /correspondant aux données x t et l r
et le point cherché m { se trouvera a l'intersection des deux droites parallèles aux axes, x = x t et / = f, (fig. 17).
2° Le même point peut encore être obtenu, sans calculer t v par l'intersection de la droite x — .r, et d'une droite ob déterminée en prenant, sur la ligne des milieux des travées et à partir de l'axe o/, une longueur ab = l v — x r Kn effet, les coordonnées
du point b étant x ob est
l x — x x et t = 1, l'équation de la droite
et cette droite coupe la ligne x = x t en un point dont les coordonnées sont
et
c'est-à-dire précisément celles du point m i cherché.
Pour faciliter l'application de cette deuxième méthode, on
Pâle, des appuis
pourrait tracer sur l'épure le double réseau des droites x = x t
et — ==- -; les premières sont toutes parallèles à l'axe o(,
et les secondes sont toutes issues du pôle o. Ce procédé paraît très simple, mais nous n'avons pas cru devoir l'employer, parce qu'un grand nombre des droites du second système se seraient confondues avec les projections des intersections des surfaces des moments, surtout aux environs du pôle des appuis.
3° Le point représentatif d'une section donnée peut s'obtenir enfin par l'intersection de la droite x = x i et de la ligne d'égale portée l x (fig. 17) conformément aux indications gêné-
raies du n° 6. C'est ce dernier procédé que nous avons adopté, en traçant sur l'épure un réseau de lignes d'égale portée; il est en effet d'un grand intérêt, au point de vue pratique, d'avoir immédiatement la suite des points qui représentent toutes les sections d'une même poutre.
§ a. LIGNES D'ÉGALE PORTEE
31. Équation des lignes d'égale portée. — Les lignes d'égale portée sont les projections des lignes de niveau de la surface représentée par l'équation (47) dans laquelle les trois variables sont .r, / et /, et qui est indépendante des charges.
Pour une portée particulière l l9 l'équation de la ligne correspondante est
et elle représente une hyperbole dont les asymptotes, parallèles aux axes, sont
x = /j et t = — 1 .
De l'équation (52) on tire
dx l { — x
dt 1 + t
et l'équation de la tangente en un point, de coordonnées x f et f 7 , est la suivante
(53) *y = .Ji^ ( , t0 .
32. 'Propriétés des lignes d'égale portée. — Les propriétés dont il s'agit sont celles qui ont leur utilité pour le tracé de ces lignes (fig. 18).
1° Toutes les lignes d'égale portée passent par le pôle des appuis, car leur équation (52) est satisfaite par les valeurs simultanées x = o et t = o.
ABAQCES
2° La ligne d'égale portée l { rencontre la droite / = 1 en un point A qui a pour abscisse -y . Son équation (52) est en effet
vérifiée par le système /= I, je =-4- •
3° La tangente, au pôle 0, à l'hyperbole d'égale portée / ren-
C asymp tote*
Pôla des o appuis
t^t .ty.
Fig. 18
contre la droite t = 1 en un point B situé à une distance /, de Taxe ot. En effet, l'équation de la tangente au pôle s'obtient en remplaçant x' et /'par zéro dans la formule (53), d'où
équation qui, pour t = 1, donne x = l r
4° Les diverses tangentes aux hyperboles d'égale portée, aux points A où ces lignes coupent la ligne des milieux des travées (t = 1), passent par un point fixe C qui est le point d'intersection de l'axe ot et de la droite / = — 1.
MOME XTS DE F LE XI O y 47
Les coordonnées du point de contact A étant
.r' = -Jj- et t'—l,
l'équation de la tangente en ce point est, d'après la formule
ou
et Ton voit que cette équation est satisfaite, quel que soit / p si Ton fait a la fois x = o et / = — 1, coordonnées du point fixe C 5° Le lieu des points de rencontre D des deux tangentes à une même hyperbole, au pôle o et au point A situé sur la ligne des milieux des travées, est uue droite parallèle à Taxe ox et dont
l'équation est t — tt •
En éliminant l t entre les équations (54) et (55) des deux tangentes considérées, on trouve en effet pour l'équation du lieu
et, en supprimant la solution x = o qui ne peut convenir, il reste
6° Les segments découpés sur une même parallèle à l'axe ox, par des lignes d'égale portée /,, /,, l r .., sont proportionnels aux intervalles /, — l t , l t — / 3 ... de ces lignes.
Coupons en effet les deux hyperboles l v et l s dont les équations sont
t = -. et t =
par une droite EF parallèle à l'axe ox et dont l'équation est
t = ( r Les abscisses .r, et :r 8 des points d'intersection ont pour valeurs
d'où
relation qui démontre la proposition énoncée.
33. Tracé des lignes d'égale portée. — On commence par tracer soigneusement, à l'aide de points et de tangentes, la ligne de plus grande portée L compatible avec les dimensions de l'épure (Kg. 18, p. 46).
On mène ensuite une série de droites, telles que EF, parallèles à Taxe o:r, et on partage chaque segment total en un même nombre de parties égales dont chacune correspond à l'intervalle adopté entre les portées successives que l'on veut représenter. Il reste à réunir, par des courbes continues, les points qui se correspondent dans chaque segment; aux extrémités, les directions des courbes seront fixées par le tracé préalable des tangentes.
34. Lignes intercalaires. — Soit donnée une poutre de portée /,, et dans cette poutre une section située à une distance .r, de l'appui le plus rapproché. Si la ligne d'égale portée l t est tracée sur l'épure, le point m i représentatif de la section donnée se trouvera a l'intersection de la droite x = x i et de l'hyperbole /, (fig. 19).
11 peut arriver que la portée l de la poutre à étudier ne soit pas représentée sur l'épure, et dans ce cas il peut être utile de pouvoir tracer l'hyperbole l à l'aide des autres lignes existantes.
Soient OAj et OA, les hyperboles des portées l x et / a qui comprennent entre elles la portée /,
On aura immédiatement le point A d'aboutissement de l'hyper-
MOME XTS DE FLEXIOX
bole l sur la ligne des. milieux des travées, en prenant sur cette ligne une abscisse égale à -~- (32. — 1°).
On aura ensuite autant de points que Ton voudra en prenant, sur une parallèle quelconque 11,11, à Taxe ojc, un point II tel que
III l.
