INTERSECTIONS DES SU «FACES REPRESENTATIVES
35. Equation générale des projections des intersections. — Les projections, sur le plan sot, des intersections des surfaces des moments sont rectilignes. En effet, l'équation d'une surface caractérisée par les trois indices i, À", n des charges étant (48)
deux surfaces quelconques auront des équations de la forme
Eliminons M entre ces deux équations, nous aurons ainsi l'équation de la projection de l'intersection des deux surfaces,
laquelle est du premier degré.
D'une manière générale, cette droite pourra être déterminée par les points où elle coupe l'axe ox et la ligne des milieux des travées (t = 1), figure 20.
En faisant t = o dans l'équation (58), on a pour l'abscisse du point de rencontre de la droite avec ox,
D'autre part, l'hypothèse t = 1 fournit la valeur suivante de l'abscisse du point situé sur la ligue des milieux des travées
Examinons maintenent quelques cas particuliers. 1° A' = A". — L'équation (58) se réduit alors a
ji
et la projection de l'intersection est parallèle à Taxe o.v.
Ce cas se présente lorsque, aux deux surfaces qui se coupent, correspondent deux convois partiels dans lesquels la somme des intensités des charges a la même valeur. On voit immédiatement que cela arrive en particulier pour les surfaces représen-
tatives des moments sous deux charges consécutives d'un même convoi partiel.
Considérons ce dernier cas, et soient les équations des deux surfaces des moments sous les charges P k et P kl d'un même convoi partiel P,... P n :
(1 + «)iM.-
= iA.x ■
= iA„.r-
-Bj-
L'équation de la projection de l'intersection est
Mais les formules (27) et (30) donnent
B B — B B = K + 1 A n (tf K + 1 — a K )
iC — â C = — iA K (n % + 1 — a K )
5a ABAQVES
d'où
2° B' = B". — Les deux abscisses .r et .r, deviennent égales entre elles, et la projection de l'intersection est une droite parallèle à Taxe ot; son équation est
Çf f
3°. C' = C". — L'abscisse ;r est nulle, et la droite passe par l'origne des axes. L'abscisse du point de rencontre de cette droite avec la ligne des milieux des travées prend la valeur
36. Cas où la charge principale P k est invariable. — Il convient tout d'abord de chercher les projections des intersections des surfaces pour lesquelles l'indice k de la charge principale est le même ; pour cela nous ferons varier successivement les indices i et n des charges extrêmes.
1° Intersection des surfaces |M n et l+1 M„ . — On se trouve ici dans le 2 P cas du n° 35, et l'intersection des deux surfaces considérées se projette suivant une droite parallèle à l'axe ot, et dont l'équation est, d'après la formule (63),
A, — i + t A n Or, les équations (25) et (20) permettent d'écrire
i^n — i + tK = Pi
et l'équation précédente devient
(05) jc — a^ — a,.
La position de l'intersection est indépendante de la valeur de l'indice de la charge extrême P n ; par suite, quel que soit le nombre des charges situées à droite de la charge principale P k , cette droite est invariable.
2° Intersection des surfaces ^S\ n et ,M n + â . — Les deux surfaces se trouvent dans les conditions du troisième cas du n°35; elles se coupent donc suivant une ligne qui a pour projection une droite issue de l'origine des axes, et qui rencontre la ligne des milieux des travées en un point dont l'abscisse a pour valeur
X i = ^» Bn+ I
Mais les formules (26) et (28) donnent
K — B n+1 = — P n + i(" n+ i — tf») d'où l'on déduit
1 60) .r, = ct n + j — a K
valeur indépendante de l'indice i. Donc l'abscisse .r, est constante quel que soit le nombre des charges situées à gauche de la charge principale P k .
Plaçons (fig. 21) dans la position (G) les charges situées à gauche de la charge P k dans le convoi total, et projetons les points d'application des charges sur la droite t = 1. Puis menons par les points obtenus des parallèles à l'axe o t; nous aurons ainsi toute la série des droites satisfaisant à l'équation (65).
De même, les charges situées à droite de P k étant placées dans la position (D), et leurs points d'application projetés sur la droite t = 1 étant joints au point o, ofi aura le faisceau des droites déterminées par l'équation (6(5).
Ainsi se trouvent délimitées les régions d'influence des convois partiels qui ont tous P k pour charge principale. Le tracé est indépendant des intensités des charges et il ne fait intervenir que leurs espacements; on pourrait le justifier directement par des raisonnements analogues a ceux du n° 18.
37. Cas où le convoi est retourné. — L'épure de la figure 21 suppose que le convoi est toujours orienté de la même façon, comme dans la figure 6 (p. 22). Comme le convoi peut circuler dans les deux sens, il y a lieu de considérer le cas où son orientation est celle marquée par la figure 11 (p. 28\ Le moment de flexion correspondant à cette dernière position des
charges sera représenté par le symbole n M h et Ton aura son
F\g. ai .
expression en permutant entre eux, dans la formule (48), les indices i et /i, d'où
(l + l).M, = Ar — B,/ n C
Mais, d'après les définitions 'des quantités A, B et C (10;, on a évidemment
nAi=iA B
et l'équation précédente devient
{l+t) n M, = Xr — f O — B„
MOMENTS DE FLEXIOX
Cette formule est l'équation-type d'une nouvelle série de surfaces dont les intersections mutuelles s'obtiennent par le tracé d'une épure analogue à celle de la figure 21. Dans les deux cas la charge 1\ est charge principale; la seule différence consiste en ce que les charges de gauche deviennent charges de droite, et réciproquement. Cette nouvelle épure est représentée sur la figure 22.
ce*
Fi g. 22.
Les trois indices qui définissent une région quelconque sont faciles a déterminer sur Tune et l'autre épure.
38. — On obtient par le tracé des épures des figures 21 et 22, pages 54-55, toutes les combinaisons de charges qui admettent I\ pour charge principale, et avec les deux orientations possibles des convois. Il s'agit maintenant de rechercher, parmi ces différentes combinaisons, celles qui donnent lieu aux plus grands moments de flexion.
Comparons d'abord entre elles deux surfaces, ,M B et n Mj, qui répondent aux deux orientations du même convoi partiel. En retranchant Tune de l'autre les équations (48) et (67), on a
(l + <) (,M.— .M 1 )=(b.-,c) (1-0- Comme t ne peut varier que de zéro à 1, il en résulte que :
1° Les moments iM n et n Mj sont égaux pour t = 1, c'est-à-dire dans les sections des milieux des travées;
2° Le moment iM D est supérieur au moment n M,, lorsque B n est lui-même plus grand que t C ;
3° Le moment jM,, est inférieur au moment n M h lorsque B n est
inférieur a jC. Dans ce dernier cas, il faut substituer la surface
représentative du moment JVIj a celle du moment jM n .
La comparaison des surfaces i — k — n et n — k — i permettra ainsi d'éliminer un certain nombre de combinaisons. Pour achever de définir les régions relatives a chaque surface, on sera
conduit à chercher la projection de l'intersection de deux sur-
faces quelconques iM n et j,M n , les indices pouvant être tous différents les uns des autres ; on obtiendra cette intersection par les procédés du n° 35.
39. Cas général. — Le cas général, où le moment de flexion est successivement maximum sous différentes charges d'un convoi donné, se traite exactement de la même façon qu'il a été expliqué pour les efforts tranchants (21).
Trois surfaces quelconques des moments ayant toujours un point commun, une ligne quelconque du réseau polygonal aboutit toujours au point de croisement de deux autres. Cette remarque sera utile pour la vérification du tracé.
