S 4. LIGNES DE NIVEAU DES MOMENTS DE FLEXION

40. Propriétés des lignes de niveau. — Si l'on donne au moment de flexion une valeur constante M,, la ligne de niveau dans une surface i — k — n se projette suivant une ligne dont

l'équation s'obtient en faisant jM n = M, dans la formule (48), d'où

Tout le long de cette ligne le moment a une valeur fixe et égale

à M,. On aura autant de lignes de niveau que l'on donnera de valeurs différentes au moment de flexion.

1° Les lignes de niveau sont des droites, parce que leur équation est du premier degré en .r et t.

2° Les lignes de niveau d'une même surface rencontrent la droite t = — 1 en un point fixe, — Si Ton fait en effet t = — 1 dans l'équation" (08), on trouve pour l'abscisse du point de rencontre cherché :

valeur indépendante du moment de flexion et constante pour une même surface.

Si Ton se reporte au n° 23, 2°, on voit que la valeur absolue de l'abscisse .r' représente la distance, a la charge principale P k ,

du centre de gravité des charges P t P n du convoi partiel.

L'abscisse x' est toujours négative, puisque l'on n'a à considérer

que les surfaces pour lesquelles B n est supérieur a ;C (38).

Plaçons le convoi partiel Pj P n £ur la droite t = — i, de

façon que la charge principale 1\ soit sur l'axe of , et la charge P| du côté des x positifs (fig. 23). Dans cette position, le centre de gravité du convoi partiel coïncide avec le point fixe S des lignes de niveau de la surface considérée i — k — n.

3° Les lignes de niveau d'une même surface découpent, sur une parallèle quelconque à ox, des segments proportionnels à leurs intervalles. — Considérons, en effet (fig. 23), deux lignes de niveau SQ et SR le long desquelles le moment de flexion a respectivement pour valeurs M, et M,, et coupons ces deux droites par une parallèle QR a l'axe ox, l'équation de cette parallèle étant t = A.

Les équations des deux lignes de niveau sont :

d'où, pour les abscisses jl\ et x t des points d'intersection Q et R

(i + HM, +b.).+,(":

On en déduit pour la valeur du segment :r t — .r,

iji.

et Ton voit qu'il est bien proportionnel à l'intervalle (M, des lignes de niveau.

'--* n n ni à o o Q.

41. Tracé des lignes de niveau. — Ce tracé s'effectue comme celui des lignes de niveau des efforts tranchants (24), en utilisant les propriétés précédentes. Dans l'application de la troisième propriété, il conviendra de choisir ). de façon que le quotient

s obtienne exactement.

Comme vérification, les lignes de niveau d'égale puissance et appartenant à des surfaces différentes doivent se rencontrer sur la projection de l'intersection de ces surfaces.

42. Lignes des moments maximums maximorum. — Dans une poutre de portée déterminée, il existe au moins une section telle que le moment de flexion y est plus grand que dans les sections qui la précèdent et qui la suivent immédiatement. La ligne des moments maximums maximorum, pour une surface donnée, est la ligne dont la projection est le lieu des points qui représentent ces sections particulières.

Pour trouver l'équation d'une telle ligne, il faut annuler la

dérivée — j — prise en supposant la portée l constante.