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L'expression du moment, en fonction de .v et de Z, est donnée par la formule (12).

On en déduit

d'où pour l'équation du lieu

Si, au lieu des coordonnées x et l, on prend les coordonnées x et t de l'épure, la formule (47) permet de transformer l'équation (72) en la suivante :

C'est l'équation d'une hyperbole qui a pour asymptotes les

droites

60 ABAQCES

la première est fixe, la seconde est la parallèle à Taxe ot menée par le point S (fig. 23).

L'équation (73) peut servir à tracer la ligne par points.

43. Propriété géométrique des lignes des moments maximums maximorum. — La ligne des moments maximums maximorum est le lieu des points de contact des lignes de niveau avec les hyperboles d'égale portée.

Traçons en effet, sur la figure 23, page 58, la ligne d'égale portée / p et menons du point S la tangente SE à l'hyperbole. Soit M' la valeur du moment le long de la ligne de niveau AE. A toute autre ligne de niveau coupant la ligne d'égale portée l x correspondra une valeur du moment inférieure à M'. Le point de contact E est donc bien le point de la ligne l t où le moment atteint sa plus grande valeur.

Cette propriété peut être utilisée pour déterminer certains points particuliers de la ligne des moments maximums maximorum. En outre elle permet de reconnaître immédiatement, après le tracé des lignes d'égale portée et des lignes de niveau, quelles sont les surfaces sur lesquelles on peut rencontrer de pareilles lignes.

44. — H n'est peut-être pas sans intérêt de remarquer que l'équation (48) des moments, dans le système des coordonnées M,.ret/, représente un paraboloïde hyperbolique qui admet les plans xot et .roM pour plans directeurs.

Le système des génératrices rectilignes parallèles au plan xot fournit les lignes de niveau.

La considération des génératrices parallèles au plan .roM- donne une autre justification de la troisième propriété de ces lignes de niveau, énoncée au n° 40.