TY= £ A. (* — •*) — B

Les coefficients ,À n et B n sont des constantes générales du traintype, dont les valeurs sont indiquées au tableau I, vis-à-vis des valeurs de n.

Par exemple, l'équation pour la région affectée du n° 8 sera

(voies de largeur normale)

53. — Cet abaque (PI. II) donne les moments de flexion maximums dans toutes les sections comprises entre un appui et le milieu des poutres, jusqu'à 80 mètres de portée.

Afin d'éclaircir un peu l'épure, on a représenté à part les moments relatifs aux poutres dont la portée est égale ou inférieure à 20 mètres.

54. — Les indications de l'abaque permettant de trouver le point représentatif de la section d'une poutre sont :

1° Les distances x des sections à V appui le plus rapproché. — Ces distances sont graduées parallèlement a une oblique dans le grand diagramme, et parallèlement à une verticale dans le petit;

2° Les lignes d'égale portée. — Ces lignes sont des hyperboles, et elles sont tracées de mètre en mètre jusqu'à 20 mètres de portée, et de 2 mètres en 2 mètres au delà.

Toutes les lignes d'égale portée sont issues d'un point fixe, qui est le pôle des appuis.

Les horizontales, qui limitent les diagrammes, sont les lignes des milieux des travées, parce qu'elles renferment tous les points qui représentent les sections dont l'abscisse est égale a la moitié de la portée.

Une section étant déterminée par sa distance x i à l'appui le plus voisin de la poutre de portée l x à laquelle elle appartient, le point correspondant de l'abaque est le point de l'hyperbole de portée l t dont l'abscisse est égale a x r Si la portée particulière que l'on étudie n'est pas représentée sur l'abaque, on peut faire l'interpolation par l'application de la règle suivante (32 et 34) : les lignes d'égale portée partagent les horizontales de V abaque en parties proportionnelles,

55. — L'abaque est divisé en surfaces polygonales ou régions jouissant des propriétés suivantes :

1° En tout point d'une même région, le moment de flexion devient maximum pour une même composition du convoi partiel engagé sur la poutre, et sous la même roue de ce convoi ;

2° D'une section à une autre d'une même poutre, et appartenant a une même région, le moment de flexion varie suivant les ordonnées d'une parabole.

Chaque région (hormis la première qui est relative à la roue isolée de 10 tonnes) est désignée par trois nujnéros * — k — n ; cela signifie qu'il faut, pour obtenir le moment maximum, placer

la roue n° k à l'aplomb de la section, distribuer les roues n 09 /

k — 1 du côté de l'appui le plus rapproché, et les roues n 09 k + 1 n du côté de l'appui le plus éloigné.

Il n'est pas sans intérêt de remarquer que trois régions adjacentes ont toujours un point commun. Donc, dans certaines sections de poutres de portées particulières, le moment de flexion acquiert son maximum indifféremment avec trois compositions ou positions distinctes du train. Enfin, pour des points en plus petit nombre, on trouve que quatre combinaisons différentes de charges produisent le même moment de flexion.

56. — Les lignes de niveau sont cotées en tonnes-mètres pour une file de roues. Elles sont assez rapprochées pour permettre d'apprécier immédiatement en un point quelconque la valeur du moment de flexion. On pourrait d'ailleurs faire l'interpolation en

;o ABAQUES

observant (40-3°) que les horizontales de F abaque sont partagées, par les lignes de niveau, en parties proportionnelles aux intervalles de ces lignes.

Exemple. Le point défini par x = 27 mètres et / = 60 mètres tombe entre les lignes de niveau 990 et 995; on peut estimer que le moment de flexion y a une valeur très voisine de 993 tonnes-mètres. Ce point appartient à la région 1 — 8 — 19; donc le moment est maximum quand le train engagé sur la poutre comprend les charges n os 1 à 19 inclus, la roue n° 8 étant h l'aplomb de la section, la roue n° 1 du coté de l'appui le plus voisin, et la roue n° 19 du côté de l'appui le plus éloigné.

57. — On trouve encore sur l'abaque des lignes courbes pointillées indiquant le lieu des points où le moment est maximum maximorum. Il suffit en général, pour les petites portées, de connaître ce moment; on l'obtiendra donc immédiatement, et Ton saura dans quelles sections et dans quelles circonstances il se produit.

Ainsi, le point d'intersection de l'hyperbole de portée 16 mètres avec une pareille ligne a pour abscisse 7 m. 70, quantité lue sur l'abaque; on y lit de plus que le moment est alors égal à 105 tonnes-mètres. Enfin, les numéros 6 — 8 — 11 de la région qui renferme le .point fixent la composition et la position du convoi partiel.

58. — L'abaque ne fournit pas les valeurs des moments de flexion avec la même approximation. Pour une travée déterminée, on obtiendra les moments avec une approximation variable : ils seront connus plus exactement dans les sections avoisinant le milieu de la travée. Du milieu vers l'appui, l'approximation diminue progressivement, et aux environs de l'appui il peut être assez difficile de bien faire les lectures. Mais il n'y a à cela aucun inconvénient dans la pratique, car on n'a pas besoin de connaître avec précision les faibles valeurs des moments près des appuis. La loi que suit l'approximation, dont l'abaque est susceptible, est donc bien conforme aux desiderata de la pratique.

59. — Les numéros de la région dans laquelle tombe le point représentatif d'une section donnée, permettent d'obtenir rapide-

ment l'expression du moment M en fonction de l'abscisse x et de la portée l. Les coefficients de l'équation sont invariables pour une même région.

i° Pour la roue isolée de 10 tonnes, on a, en supposant le moment exprimé en tonnes-mètres,

2° Dans une région quelconque, caractérisée par les n°* i — k — n, le moment de flexion a pour expression

(80) M^ l .\„ - r(7 ~- r) B„ ± - ,C ±ZJL .

Les coeflicients de cette équation sont les constantes du convoi partiel Pj... P k ... P n , et leurs valeurs sont inscrites au tableau IL Par exemple, dans la région G — 8 — il, on a

3° Le moment maximum maximorum, lorsque le système des charges est défini par les n 0i 1 — k — n 9 s'exprime par

et il a lieu dans une section dont l'abscisse a pour valeur

(88) .," ' __Ëi=^L.

Exemple. Dans la région 1 — 2 — 4 on a

d'où

•i ABAQUES