CHAPITRE PREMIER

4. — Lorsqu'une poutre droite telle que AB (fig. 1), reposant librement à ses deux extrémités sur deux appuis de niveau, donne passage a un système de charges mobiles P r .. 1\... P q , on sait ([lie, pour obtenir l'effort tranchant maximum ou le moment de flexion maximum dans une section déterminée, il faut placer Tune des charges du convoi à l'aplomb de la section considérée ; dans cette position, la poutre porte la totalité des charges du convoi ou seulemsnt une partie de ces charges.

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Fig. i.

Par exemple, pour fixer les idées, le moment de flexion dans une section C sera maximum quand la charge P k se trouvera au droit de cette section ; les charges engagées sur la poutre sont alors P t ... P k ... P n , et elles constituent le convoi partiel correspondant au moment maximum en C. La charge P k de ce convoi partiel sera dite charge principale pour la section C.

Or il peut arriver (et il arrive en général) que Ton ait à considérer le même convoi partiel IV-. P k ... P n et la même charge

principale P k : 1° pour des sections voisines de la section C et appartenant à la même poutre ÀB; — 2° pour plusieurs sections d'une série de poutres ayant des portées différentes de celle de la poutre AB. Dans ces conditions, le moment de flexion ne dépend que de la portée de la poutre et de la position de la section.

Les considérations précédentes s'appliquent aussi bien à l'effort tranchant qu'au moment de flexion ; seulement le convoi partiel et la charge principale peuvent différer.

Soient : l la portée de la poutre,

x la distance de la section a l'appui de gauche, z l'effort tranchant ou le moment de flexion ; on aura entre ces trois quantités une relation telle que

et dont les coefficients sont déterminés par le convoi partiel Pi... P k ... P n et par la charge principale P k . Ces coefficients demeurent invariables tant que le convoi partiel n'est pas modifié et que la même charge de ce convoi reste charge principale.

2. — Prenons trois axes rectangulaires ox, ol et oz (fig. 2). Il est bien évident qu'à une section donnée d'une poutre donnée correspond un point du plan j:o/ et un seul ; c'est le point qui a pour abscisse la distance x t de cette section a l'appui de gauche de la poutre, et pour ordonnée la portée l t de la poutre. Réciproquement, à un point du même plan correspond une section bien définie d'une poutre de portée déterminée.

Imaginons maintenant que l'on construise le lieu des points dont les coordonnées satisfont à l'équation (1), on obtiendra une surface que l'on peut appeler surface représentative des efforts tranchants ou des moments de flexion, suivant que z désigne Tune ou l'autre de ces quantités. Une surface est complètement définie par les circonstances dans lesquelles a lieu le maximum de -, c'est-à-dire par la composition du convoi partiel et par la charge principale ; cette surface pourra être caractérisée par les trois indices i-k-n> si l'on convient que le convoi partiel comprend les charges P,... P B , et que la charge principale est P k .

Deux surfaces représentatives distinctes diffèrent au moins par la valeur de l'un de leurs indices caractéristiques.

Si Ton considère toutes les variations possibles des indices i,k,n, on aura toutes les combinaisons de charges qui peuvent se présenter, et autant de surfaces représentatives des efforts tranchants ou fléchissants. Ces surfaces se recoupent mutuellement, et l'enveloppe comprend des portions de toutes les surfaces ou d'un certain nombre d'entre elles seulement.

Représentons la projection, sur le plan .roZ, de la portion utile d'une surface particulière ; nous obtenons ainsi un noyau tel que ABCDEF. Pour tous les points situés à l'intérieur de ce noyau, et par conséquent pour toutes les sections représentées par ces points, le maximum de z a lieu avec la même combinaison de charges. De plus, cette combinaison peut toujours être

Fig. 2.

réalisée, car si elle ne l'était pas pour certains points du noyau ce serait à une autre combinaison de charges que correspondrait en ces points le maximum de z ; or, on a fait l'hypothèse que toutes les combinaisons possibles avaient été envisagées.

On retrouvera immédiatement la composition du convoi partiel et la charge principale, si Ton prend soin d'inscrire dans chaque noyau les valeurs des indices i, /•, n qui lui sont spéciales.

3. — Considérons la surface représentative des efforts, dont la portion utile est projetée suivant le noyau ABCDEF (fig. 2), et coupons cette surlace par des plans horizontaux P,, P a , etc., pour lesquels z=z iy z=:z v etc. Projetons ensuite les intersections sur le plan .r o l ; les lignes obtenues, que Ton numérotera z r z t , etc., seront les lignes de niveau de la surface, laquelle se trouvera ainsi complètement définie.

Les lignes de niveau étant tracées, supposons que Ton veuille déterminer la valeur de l'effort tranchant ou du moment de flexion maximum, dans une section située a une distance .r, de l'appui de gauche d'une poutre dont la portée est l r On cherchera d'abord, sur le plan .roi, le point m i dont les coordonnées sont x, et l r Si ce point tombe sur une ligne de niveau, la quantité cherchée (effort tranchant ou moment) aura la valeur' indiquée par la cote z t de cette ligne.

Si la section considérée de la poutre conduisait a un point ///' compris entre deux lignes de niveau z { et z v on obtiendrait la valeur z f de la quantité cherchée :

1° Approximativement, et par simple aperçu, en ayant égard à la position du point m' par rapport aux lignes z t et z 2 ;

2° Aussi exactement que possible, en interpolant à l'aide de la loi de variation des lignes de niveau.

Ou a vu que les numéros «, k y n du noyau, dans lequel tombe le point, permettent de déterminer la composition du convoi partiel et la charge principale. On peut donc obtenir, en définitive, en même temps que la valeur maximum de l'effort tranchant ou du moment de flexion, les circonstances qui accompagnent la production de ce maximum.

4. — En coupant la surface représentative des efforts par un plan P 4 , dont l'attitude est -,, on obtient une ligne de niveau dont l'équation se déduit de l'équation (1) en y faisant z— z r d'où :

Si cette équation est du premier degré en x et /, la ligne de niveau particulièrement considérée sera une ligne droite.

Si l'équation (1) est elle-même du premier degré en x et /, toutes les lignes de niveau seront des droites, et leur tracé sera abordable et pratique. Nous verrons qu'il en est ainsi pour les surfaces représentatives des efforts tranchants; au contraire, les surfaces représentatives des moments de flexion ne jouissent pas de cette propriété.

5. — Dans le cas où l'équation (1) n'est pas linéaire en x et /, il va tout intérêt à transformer cette équation de façon à obtenir

Fig. i.

des lignes de niveau rectilignes. Voici le procédé que nous employons.

Nous prenons une variable auxiliaire t liée aux deux variables x et l par une équation telle que

et nous éliminons / entre les équations (1) et (3). Nous obtenons ainsi une équation

qui définit z en fonction des deux variables x et /.

Prenons trois axes rectangulaires ox 7 ot et oz (fig. 3). Dans ce

système d'axes, l'équation (4) est celle d'une nouvelle surface représentative des efforts, transformée de la surface directe (1). Les surfaces transformées donneront lieu, comme les surfaces directes, a des noyaux qui seront caractérisés par les indices i,k y n des charges.

Les surfaces transformées admettront des lignes de niveau rectilignes, si l'équation (4) est linéaire en x et t ; nous choisissons la relation (3) de façon à obtenir ce résultat.

Etant donnée une section d'une poutre, on connaît immédiatement x t et l x ; on pourra calculer par l'équation (3) la valeur correspondante t i9 et on aura ainsi les coordonnées .r, et /, du point m l qui représente la section. Mais un tracé complémentaire permet d'obtenir le point m i à l'aide des données directes x t et /,.

6. — Considérons les mêmes premiers axes ox et ot, et un troisième axe ol que nous ferons coïncider avec oz. Dans ce système, l'équation (3) représentera une surface dont on pourra tracer les lignes de niveau ou lignes d'égale portée l v l t , etc.

Le point m v correspondant à des valeurs données x k et l i7 se trouvera à l'intersection de la ligne d'égale portée / 4 et de la droite x = x { . Gela suppose que l t est précisément la cote de l'une des lignes d'égale portée ; dans le cas contraire on devra faire une interpolation.

Lorsque le point m t tombe sur une ligne de niveau z t ,- on a immédiatement la valeur de z ; sinon, on sera amené à faire une deuxième interpolation. Nous donnerons en temps et lieu, les règles à suivre pour ces interpolations.

L'équation (3) n'étant pas généralement linéaire en x et t, les lignes d'égale portée sont, en général, des lignes courbes. Ce tracé peut donc paraître aussi compliqué que celui des lignes de niveau courbes des surfaces (1) ; la simplification est cependant réelle. En effet, les coellicients de l'équation (1) varient avec les indices i, k, n 9 de sorte que les lignes de niveau ne sont continues que dans un noyau ; dans le cas où ces lignes sont courbes, leur tracé a l'intérieur de tous les noyaux serait extrêmement long et pénible. Les coefficients de l'équation (3), au contraire, sont indépendants des charges, et les lignes d'égale portée sont des ligues continues dans tout le plan.