CALCUL DES COEFFICIENTS DES ÉQUATIONS

7. — * Considérons une poutre AB dont la portée est /(fig. 4), et dans cette poutre une section particulière C située à une distance x de l'appui de gauche. Le convoi partiel engagé sur la poutre est formé des charges P,... P n , et la charge P k est charge

le-

ax.

\ L ZJ 7*- * "■ I

Fig. 4.

principale, c'est-à-dire qu'elle doit être placée à l'aplomb de la section C pour que la position du convoi corresponde au maximum de l'effort tranchant ou du moment de flexion dans cette section. Pour fixer les positions relatives des charges du convoi, nous désignerons en général par a^ la distance d'une charge quel-

IO • ABAQVES

conque Pj à la charge de tète P p de telle sorte que a i = 0. Les distances a sont indépendantes de la position du convoi par rapport à la poutre.

Nous nous proposons de déterminer, en fonction des éléments constitutifs du convoi partiel IV.. Pk«.- P n > les expressions de l'effort tranchant et du moment de flexion dans la section C, c'est-à-dire de préciser la forme de l'équation (l\

Les coefficients de cette équation dépendent des indices /, k f n des charges, et, au lieu de continuer à représenter les efforts par la lettre z qui entre dans l'équation indéterminée (T, nous désignerons respectivement les efforts tranchants et les moments

de flexion par les symboles {Y n et |M n , en mettant en évidence les indices qui précisent la position des charges.

8. Efforts tranchants. — Soient : Pj une charge quelconque comprise entre A et C, et P. une charge quelconque située entre la section C et l'autre extrémité B de la poutre. La valeur absolue de la réaction Q A de l'appui de gauche À est

Qa=— V Pj !/—.*-+- >k— "j]+— V p >\ 1 — .*—(*.— <i

d'où pour l'effort tranchant dans la section C, et immédiatement à gauche du point d'application de la charge principale P k ,

relation que l'on peut écrire.

j = k — 1 lii- n j =k -• 1

8 = Il

— — Vp.(«.— «à)-

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES EFFORTS BRANCHANTS il

Telle est l'expression que nous adopterons pour l'effort tranchant.

Dans le cas particulier et très fréquent où la charge principale P k se confond avec la charge extrême P, du convoi partiel, on a

^P J = et ^Pjfa — ''j) = 0.

et l'expression (5) de l'effort tranchant se réduit à la suivante :

• = k i = kf|

9. Moments de flexion. — Le moment de flexion dans la section C, pour la même position des charges, a pour valeur

j = k-i ,M n = Q A x — > Pj (a v — ^;.

ou, en utilisant l'expression trouvée au numéro précédent pour la réaction Q A ,

Cette relation peut encore s'écrire de la façon suivante :

A--^ g" p,+ 2 p.] -Vf p. (— o

ou enfin

(6) ,M,= g(/ < J) S Pj — ^S Pi (-k ~* j)

Telle sera l'expression définitive du moment de flexion.

10. Constantes du convoi partiel. — Les coefficients des expressions (5) et ((>) de l'effort tranchant et du moment de flexion dépendent exclusivement du convoi partiel P l# .. P k ... P n engagé sur la poutre, et ils ont chacun une signification mécanique particulière.

1° Les coefficients

représentent la somme d'un certain nombre de charges du convoi partiel. Pour abréger l'écriture , nous désignerons une pareille somme par la lettre A munie des indices convenables, et nous écrirons

iA k -i=£ Pj = Pi+.- + I\-i

2° Le coefficient

^Pj=P,4— - + I\ + ... + P..

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES EFFORTS TRANCHANTS i3

est égal a la valeur absolue de la somme des moments, par rapport a la charge principale P k , des charges du convoi partiel situées à droite de cette charge principale. Cette somme de moments sera désignée par la lettre B, et nous poserons

(8) B n = 2j [> - ( a « — «0 ==Pk+ i (^k + i — <* k • + . . • H- P„ (a a —a k )

3° Enfin, le coefficient

£i>jK-«j)

est, en valeur absolue, la somme des moments, par rapport à la charge principale P k , des charges du convoi partiel situées à gauche de cette charge principale. Nous représenterons cette somme par la lettre C, et nous écrirons

(9) £ == V p j i a * — a ù = Pi(«k — «0 + •■• + ^k-i ("k — tfk-i).

En conséquence, les expressions (5), (5'j de l'effort tranchant pourront s'écrire, en fonction des constantes A, B, C du convoi partiel :

De même, l'expression (6) du moment de flexion se transforme en la suivante :

ABAQl'ES