INTERSECTIONS DES SURFACES REPRESENTATIVES
17. Cas où la charge principale P k est invariable. — Avant d'aborder le cas général, nous allons chercher les projections des intersections des surfaces pour lesquelles l'indice k de la charge principale est le même ; pour cela nous ferons varier successivement les indices i et n des charges extrêmes.
1° Intersection des surfaces jT n et i+1 T n . — Appliquons la formule (32) aux dçux convois partiels P,... P k ... P n et P i+1 ... P k ... P n , nous aurons les deux équations :
2y( i T n + i A k -i) = i A n (2y-.r)-B D + i C 2 y\i+iT n + + iA k 1 )= l + 1 A n (2y — x) — B n + i+1 C.
En faisant jT n = i+1 T n et en retranchant membre à membre les deux équations précédentes, nous obtenons l'équation de la projection de l'intersection des deux surfaces considérées:
2y(A t — + A-,) = GA.- +1 A.)(2y — jr) + (,C — ) + 1 c).
EFFORTS TRANCHANTS a5
Or, d'après les relations (25) et (29) on a
i^-k-l i + iA k 1 = 1 j
jA n i + iA n = 1 j
iC — I+1 C = Pj (a k — rt^, et l'équation de l'intersection se réduit à
2yP l = P l (2y-*) + P,(« k — «,)
OU
équation d'une parallèle à l'axe des y. Sa position est indépendante de la valeur de l'indice de la charge extrême P n ; donc, quel que soit le nombre des charges situées à droite de la charge principale P k , cette droite est invariable.
2° Intersection des surfaces {ï n et iT n+1 . — Les équations des deux surfaces sont ici :
2 y \iT B + i+iA k J = ,A B + ! (2 y — x) — B n+ L + â C d'où pour la projection de l'intersection
Mais, d'après les relations (26) et (28), on a
i An + i i A n = r-„ + ,
ce qui permet d'écrire comme il suit la projection de l'intersection des deux surfaces :
(34) x=2y — (rt n+1 — a k ).
C'est l'équation d'une droite, constante quel que soit l'indice de la charge 1*. Cette droite est parallèle à la direction fixe .r = 2 y;
l'origine des axes ; elle coupe l'axe ox à une distance — («, +1 — « t ) de la même origine; enfin, son point d'intersection avec la droite x = y n pour coordonnées x = y = a.,., — a k .
L'épure étant préparée comme il a été dit 1IG1, plaçons le convoi sur l'axe o.r, le point d'application de la charge l\ coïncidant avec l'origine des axes, les charges 1\|... 1V-- du côté des .r positifs, et les charges l'i,,.-. IV ■■ du côte des r négatifs (fig. Bl.
Le convoi occupant cette position, la formule i'.V.i) montre que l'horizontale du point d'application de la charge V, est l'intersection des surfaces ,T. et , fl T, quel que soit n.
EFFORTS TRAXC1IANTS 27
De même, les droites définies par l'équation (34), et qui sont
les intersections des surfaces ,T n et jT^' s'obtiennent en menant par les points d'application des charges P B+l des parallèles à la direction fixe x = 2//. Ces droites peuvent encore se tracer en marquant leurs points d'intersection axec Taxe oy et avec la droite x -— 2y; nous avons donné plus haut la position de ces points particuliers.
18. — Le tracé de l'épure précédente (fig. 8), qui délimite les régions d'influence des convois partiels qui ont tous P k pour charge principale, est indépendant des intensités des charges; il suffit de connaître leurs espacements. On peut s'en rendre compte directement.
1° L'intersection des surfaces t T n et i +1 T n correspond à des valeurs de x et de y telles que la charge 1 ) ! commence à s'engager
dans la travée, comme cela est représenté dans la figure 9. On reconnaît alors que la position des charges satisfait bien a la relation (33)
x = a k — flj
quel que soit l'indice n de la charge extrême de droite, et quelles que soient les intensités de toutes les charges du convoi.
2° De même, l'intersection des surfaces t T n et |ï n+I a lieu lorsque la charge P n+1 est sur l'appui de droite (fig. 10). Dans cette position des charges, on a entre x et y la relation
identique à l'équation (34), et indépendante comme elle de l'in-
dice i de la charge extrême de gauche et des intensités des charges.
3° Les portées limites V et l" > entre lesquelles la combinaison
je a: ■»•€"- 2y-x*
Fig. io.
de charges P 8 ... P k ... P„est réalisable, sont d'après ce qui précède,
les valeurs correspondantes de y étant
y = — 5— et y = 2
ainsi qu'on peut d'ailleurs le reconnaître sur l'épure de la figure 8.
19. Cas où le convoi est retourné. — L'épure de la figure 8 suppose que le convoi Pj... P k ... P n est orienté de telle façon que les charges P^.. P k soient dans la moitié de gauche de la poutre. Ainsi que nous l'avons fait observer (15), il convient aussi d'étudier le cas où cette même moitié de poutre contiendrait les char-
Fig. n.
ges P n ... P k , le convoi étant retourné bout pour bout (fig. 11). D'après nos conventions (7), l'effort tranchant correspondant à
cette position des charges sera représenté par le symbole n Tj, et Ton aura son expression en permutant entre eux, dans la formule (32), les indices i et n, et en y remplaçant k — 1 par k : + 1 ; on obtient de cette façon la formule suivante :
Mais si Ton se reporte aux définitions des quantités A, B et C (10), on voit immédiatement que Ton a
iG
d'où
Cette formule est l'équation-type d'un nouveau groupe de
ife'
i A cK
Fig. ia.
surfaces dont les intersections mutuelles s'obtiennent p^r le tracé d'une épure anologue a celle de la figure 8, page 26 ; dans les deux
3o A BACLES
cas la charge P k est toujours charge principale, la seule différence consiste en ce que le convoi est retourné. Cette nouvelle épure est représentée sur la figure 12.
Ici encore, les valeurs limites de y pour une surface n Tj sont
20. — Toute» les combinaisons de charges, dans lesquelle I\ est charge principale, sont indiquées par les épures des figures 8 et 12; mais toutes peuvent ne pas être utiles. Il faut maintenant rechercher, parmi ces différentes combinaisons, quelles sont celles qui donnent lieu aux plus grands efforts.
Pour cela, on comparera d'abord entre elles les surfaces telles
que iT n et n T, qui correspondent à deux orientations différentes du même convoi partiel. En retranchant Tune de l'autre les équations (32) et (35), on obtient
•2yr(,T«-»l , 1 ) + GA k 1 - k+I A n ^]=-2(B D - 1 c),
d'où
puis, en posant
L kt- I 4 *n l'H - l J
on a finalement
k k \ 0t ) i l n nM \\ + 1 A n i A k-l, •
La droite y = y { est la projection de l'intersection des deux
EFFORTS TRANCHANTS 3i
surfaces iT n et n T É , et nous savons, d'autre part, que ces mômes surfaces ne sont applicables qu'entre les limites
!/-=— j et y = r
Dans le cas où la différence ( k+ iA n — ,À k ,) est positive, ,T n sera supérieur a n T, pour les valeurs de y supérieures ày r Si de plus
on a//, < y\ la surface t T B subsistera seule; si y t > y", ce sera
k la surface n Ti ; enfin, si Ton a à la fois y' < y l < y", il y aura
lieu de considérer les deux surfaces et de tracer leur intersection
9 = yr
Dans le cas où la différence ( k+1 A n — iA,^) serait négative, les
conclusions précédentes seraient renversées, en ce qui concerne
la prédominance de l'une des surfaces sur l'autre.
La comparaison des surfaces telles que jT n et n Ti permettra ainsi d'éliminer un certain nombre de combinaisons. Pour achever l'élimination, on sera conduit à chercher la projection de
l'intersection de deux surfaces quelconques, s T n et i/T n/ , les indices /, /?, i ! et n' étant indépendants les uns des autres. On obtiendra cette intersection en écrivant les équations des deux surfaces considérées, à l'aide des relations (32) ou (35' suivant les cas, et en éliminant T entre ces deux équations; on aura ainsi l'équation d'une droite que l'on pourra tracer facilement. Le tracé sera soumis à quelques vérifications, si l'on observe que les intersections deux à deux de trois surfaces ont un point commun.
Kn général, il ne sera pas nécessaire de chercher l'intersection de toutes les surfaces deux a deux. Dès que l'on aura trouvé deux surfaces dont l'intersection ne tombe pas en dehors de la région qui leur est commune, on sera guidé sur les autres combinaisons à comparer entre elles, car l'empiétement du diagramme de la figure 12, page 29 sur celui de la figure 8, page 26 est limité par un ou plusieurs polygones fermés. On pourra donc substituer assez rapidement un diagramme unique aux deux diagrammes obtenus directement.
21. Cas général. — Dans le cas le plus général, l'effort tranchant n'est pas toujours maximum sous la même charge. Pour être rigoureux, il faudrait d'abord tracer, sur des feuilles séparées, les intersections des surfaces obtenues en considérant successivement chaque charge du convoi comme charge principale, et en ayant égard aux deux orientations du convoi. On réduirait ensuite deux diagrammes en un seul, en cherchant les intersections des surfaces qu'ils représentent; et, en opérant de proche en proche, on arrivera à obtenir finalement un diagramme unique réunissant toutes les combinaisons utiles et seulement celles-là.
Le plus souvent, il ne sera pas nécessaire de prendre pour charge principale chacune des charges du convoi. Lorsqu'on a quelque expérience de l'étude des charges roulantes, on voit, à l'inspection de la composition du convoi donné, sous quelles charges l'effort tranchant peut devenir maximum, et ces charges sont en nombre très limité ; il en résultera donc une importante simplification.
22. Cas particulier où V effort tranchant est maximum sous la charge de tête. — Ce cas particulier est celui qui se rencontre le plus fréquemment, et il n'est pas inutile d'en dire quelques mots. L'hypothèse est que l'effort tranchant devient maximum, toujours sous la charge de tête P, (fig. 13); c'est-àdire que l'on a
Fig-. i3.
Il convient alors d'appliquer la formule (11) en y, faisant
* = 1 et l = 2y;
on obtient ainsi
iT D = i A,
Ici l'indice n suffit il définir la composition du convoi partiel, de sorte que la notation de l'effort tranchant peut être simplifiée et s'écrire simplement T n ; on aura donc
Dans le cas où le convoi aurait une orientation différente de celle indiquée sur la ligure 13, on aurait l'équation de la surface correspondante en faisant i = 1 et À* =1 dans l'équation (35), d'où
mais il n'y a pas lieu de considérer de pareilles surfaces. En effet, les équations (38j et (39) donnent
Or, la surface représentée par l'équation (39) ne peut exister que si l'on a a n < .r, et, comme .v ne varie que de o à y, on aura
a fortiori a n < y; on sait d'autre part (11) que B n = \ Pj a } ; par suite
t \ y > ± \ n a n >B n d'où
donc T n est toujours supérieur à n ï,. (Nous rappelons qu'il ne s'agit ici que des efforts tranchants à gauche de la charge P r )
On ne devra donc considérer que les surfaces représentées par l'équation (38).
Les projections des intersections des différentes surfaces, obtenues en faisant varier l'indice /?, résulteront évidemment du tracé d'une épure analogue à celle de la figure 8; mais il y a ici
Duplajx. — Abaques. 3
Si ADAQUES
quelques simplifient ion s, ainsi qu'on peut le voir sur la ligure 14. Les intersections cherchées ne comprennent que la série des droites parallèles à la direction fixe x = 2 ij, de sorte que la région d'influence d'une surface quelconque T„ s'étend depuis la ligne des appuis (axe o y) jusqu'à la ligne des milieux des travées (.r = y). Celte région peut n'être affectée que du seul
Hl. '4.
numéro n, car il sullit à définir la composition et la situation du convoi partiel, les charges étant distribuées entre la section d'abscisse .r et l'appui le plus éloigné ^fig. 13).
Les valeurs limites de y, entre lesquelles la surface T, est applicable, sont
EFFORTS TRANCIIASTS 35
