LIGNES DE NIVEAU DES EFFORTS TRANCHANTS
23. Propriétés des lignes de niveau. — Donnons à l'effort tranchant une valeur particulière et bien déterminée T t ; l'équation de la ligne de niveau dans une surface i — k — n se déduira
de l'équation générale (32) en y faisant jT n = T p d'où
équation de la ligne de niveau, le long de laquelle l'effort tranchant a une valeur constante et égale à T r On aura autant de lignes de niveau que l'on donnera de valeurs différentes à l'effort tranchant.
1° Les lignes de niveau sont des droites, parce que leur équation est du premier degré en x et y ;
2° Les lignes de niveau d'une même surface rencontrent Vaxe ox en un point fixe. — Car, si l'on fait y == o dans l'équation (40), on trouve pour l'abscisse cherchée
iA„
valeur indépendante de l'effort tranchant.
Or B n est la valeur absolue de la somme des moments des charges P k+1 P n par rapport au point d'application de la
charge principale 1\; jC est la valeur absolue de la somme des moments, par rapport au même point, des charges P t Pk-iî
par suite, B n — iC est la somme réelle des moments de toutes les charges P â P n par rapport à ce même point, et le quotient
représente, la distance, à la charge principale P k , du centre de
gravité des charges Pj P n qui constituent le convoi partiel.
En tenant compte du signe de x' y on voit que, dans la figure 8, le point fixe relatif a la surface i — k — n se confond avec le
centre de gravité des charges Pj P n occupant la position qui
a servi au tracé de l'épure. Il en serait de même, dans la figure 12, pour le point fixe concernant la surface n — k — i.
Si la charge de tète est charge principale (fig. 14, p. 34), la même propriété subsiste, mais l'expression de .r' se simplifie et devient
valeur calculée au tableau des constantes générales du convoi (12).
3° Les lignes de niveau d'une même surface découpent, sur une parallèle quelconque à l'axe ox, des segments proportionnels à
leurs intervalles. — Considérons en effet (fig. 15) deux lignes de niveau le long desquelles l'effort tranchant a respectivement pour valeurs T, et T„ et dont les équations seront par suite
2>,iT 1 + i A k - 1 ) =iA.(2y — .r} — 13.+^
2y(T 1 + ,A k 1 }=iA i| (2y — x) B n + i c.
Les abscisses x t et x t des points Q et R d'intersection de ces lignes de niveau avec la parallèle y = X à Taxe ox ont pour valeurs
x l= =2X— 2). — , + iAk -'
ou
x t = 21 — 2). T '+'A t - 1 Jkz
i A „ iA
*i= -7— (kA n — T,) +#'
d'où l'on déduit
(44) X| Xt== ^(T.-T.)
et le segment x i — x % est proportionnel à l'intervalle (T, — T,') des lignes de niveau.
24. Tracé des lignes de niveau. — Les intersections des surfaces étant tracées en projection, les lignes de niveau s'obtiennent de la façon suivante, pour chacune des surfaces représentatives .
1° On porte d'abord (fig. 15) sur l'axe ox le point fixe S dont l'abscisse x 1 est définie par la relation générale (4!) ; on obtient ainsi le point de concours de toutes les lignes de niveau de la surface considérée.
2° On trace, à une distance convenable A de l'axe ox, une parallèle QR à cet axe, et l'on cherche les points Q et R où cette droite rencontre deux lignes de niveau particulières dont les cotes seront T, et T,; on utilise pour cela les équations (43). Le segment QR est ensuite partagé en autant de parties égales que l'intervalle minimum adopté pour les lignes de niveau est contenu de fois dans l'intervalle total T, — T â . Si cela est nécessaire, on prolonge les divisions au-dessus de Q et au-dessous deR.
3° On joint au point fixe P les points de division de la droite QR, en se renfermant dans les limites de la région appartenant à la surface que Ton veut représenter.
4° Si le segment QR est divisé en m parties égales, les lignes de niveau aboutissant aux points de division définiront des efforts tranchants égaux à
T,H — îî Îi-V (T.-(-2-^ Li-V Ct. + 3 Ti !|
Les cotes des lignes de niveau situées au delà de Q et en deçà de R s'obtiennent sans difficulté.
5° 11 est commode, au point de vue de la rapidité et de l'exactitude des opérations, de choisir la distance A de façon que le segment QR — - .r, — x È soit exactement divisible par m. L'équation (44) montre que, l'intervalle T, — T, étant lui-même divisible par /?/, il suffit pour atteindre le but désiré de déterminer
2 A A par la condition que le quotient — — s'effectue exactement.
iA„
25. Vérification du tracé des lignes de niveau. — Une première vérification, et la plus importante, est fournie par cette remarque que les lignes de niveau de deux surfaces voisines doivent se rencontrer sur la projection de l'intersection de ces deux surfaces. Les lignes de niveau des différentes surfaces, correspondant à une valeur identique de l'effort tranchant, constituent donc un polygone dont les sommets se trouvent sur les projections des intersections de surfaces.
Dans le cas où la charge de tète est charge principale, l'exactitude du tracé peut encore être vérifiée en des points particuliers par l'application de la proposition suivante : Si l'on mène une droite quelconque parallèle à la direction x = 2 y, au point oit cette droite rencontre l'axe oy ou la ligne des appuis, l'effort tranchant a une valeur double de celle qu'il possède au point où la même droite rencontre la ligne des milieux de travées.
Les intersections des surfaces, dans le cas particulier dont il
EFFORTS TRAXC1IAXTS J9
s'agit, sont des droites parallèles à la direction x = 2 y (22, fig. 14, p. 34). Menons, sur la figure 15, la droite x=2 y — h ayant
la direction indiquée. Le point où elle rencontre Taxe oy a pour
h coordonnées x = o et y — -^- ; en portant ces valeurs dans
l'équation (.'18), on trouve que la valeur correspondante T' de l'effort tranchant est
In
Cette même droite coupe la ligne des milieux des travées, x = y, en un point dont les coordonnées sont x = y — h ; d'où pour la valeur T" de l'effort tranchant en ce point
et T' est bien double de T".
26. — Les propriétés des lignes de niveau auraient pu se déduire de l'observation que l'équation (32}, dans laquelle on considère x y y et T comme variables, représente un paraboloïde hyperbolique dont les plans directeurs sont les plans xoy et .roT.
Les génératrices parallèles au plan xoy constituent les lignes de niveau.
Les génératrices rectilignes du second système étant parallèles au plan xoT, d'un point à un autre de l'une de ces génératrices, l'effort tranchant varie proportionnellement aux ordonnées d'une ligne droite. Ceci est d'accord avec la 3° propriété des lignes de niveau.
§ '|. EMPLOI DL' CALCUL POl'R LA DÉTERMINATION
27. — L'épure des lignes de niveau des efforts tranchants permet d'apprécier, ainsi qu'il a été dit 3), la valeur de l'effort tran-
4o ABAQUES
chant dans une section donnée d'une poutre donnée ; l'interpolation se fait en utilisant la 3 e propriété des lignes de niveau. L'approximation avec laquelle s'obtient cette évaluation dépend des échelles employées et du soin apporté au tracé de l'épure.
Dans les cas particuliers où l'on voudra connaître l'effort tranchant avec plus de précision, il faudra recourir au calcul; mais ce calcul peut être abrégé si l'on a pris soin de dresser, une fois pour toutes, un tableau des valeurs des coefficients A, B et C correspondant à toutes les combinaisons de charges indiquées par l'épure.
On cherchera sur l'épure la position du point représentant la section dans laquelle on veut calculer l'effort tranchant; ce point tombera dans une région du plan qui porte des indices fixant la composition du convoi et la charge principale. A l'aide du tableau des coefficients A, B et C, on pourra donc écrire immédiatement, avec des coefficients numériques, l'une des trois équations (32] , (35) ou (38) que nous répétons ci-dessous
Indices i—k — n : 2y (T + A - i) = >A n (2y — .r) — B n -f- ,C;
Indices n — k — i : : 2 y (T -f- k+ ,A n ) -— iA a (2 y — x) -f- B n — jC ;
Indice n (équivalent à 1 — 1 — n) : 2 y T — t A n (2 y — x) — B n .
On connaît l'abscisse x et la demi-portée y, on calculera dans chaque cas particulier la valeur de l'effort tranchant T.
Si l'on devait tenir compte, en même temps, d'une charge uniformément répartie, dont l'intensité est p par unité de longueur, il faudrait ajouter l'effort supplémentaire
P'jJ— *) à l'effort tranchant développé par le convoi.
