Il est aisé de voir que l’angle P, ou la parallaxe an
LEÇON xvr. 4q7
nuelle, est la différence entre la longitude héliocentrique et la longitude géocentrique , et que
T = longit. hélioc. sur l’écliptique -1- P = longit. $ -f- i 8o° — S — T = longit. ^ -f i8o* — (longit. Ç — longit. J) — T = i8o°+ j — T = 0 — T.
On voit que les deux valeurs de T sont identiques.
28. On aura donc toujours avec facilité l’élongation T et - la longitude géocentrique T; pour la latitude G nous aurons (a3)
tangftsinT
sin S
tang
'20. SinT: sinS :: SP: =
0 sin T
, . vcosftsinS vcosAtangft . ,
dist. a la terre = — — - — = = v sin h cot G ,
sin T tangG
PT = Tm — Pm=VcosT — v cos h cos SPm
= V cos T -f- v cos h cos SPT = Y cos T -|- v cos A cos P.
Cette distance à la terre est mesurée dans le plan de l’écliptique , c’est une distance accourcie ; la distance des centres
tang h sin T v sin h cos G v sin h
~ sin S cos G cos G sin G
Y cos T -f- v cos h cos P cos G
5o. La parallaxe horizontale de la planète est égale à la parallaxe moyenne du soleil divisée par la distance actuelle des centres SY , ou
„ t. . 8,7 8 ,7 sm G
parall. honz. = = — . - ■■■■ ; r S Y vsinn
le diamètre , qui est en raison constante avec la parallaxe ,
diamètre à la distance moyenne distance actuelle des «entres
Ces formules sont les mêmes pour toutes les planète» ,
4oR ASTRONOMIE.
elle3 sont toujours suffisantes; celle que nous avons donnée pour l’élongation n’est pas celle dont on se sert communément. Soient S, T, P les trois angles.
tang ï (P — T)r=cot J S
vcosn i-f-tangp
=cotïScot(45°+ip)=E:tang(9o0— iS)cot(45°-H?) ;
on fait donc
v cos h
— - = tang <p, tangy= tang(go°— iS)cot(45*+?>,
T = 9°° “ » S — y , P = 90° — iS + y;
après quoi on aurait encore
sin P : sinT :: V : vcosi =: SE = ,
sin P
et
sin P cos G '
Acos h\
3i. Notre formule tang T = /vco>h\ prouve
1 — \~\~J cos ®
que pour Yénus jamais l’élongation ne peut aller à 90®; en effet , pour que T égalât 90°, il faudrait que sa tangente fut infinie, que le dénominateur fût zéro, ce qui donne... V = vcosh cosS et vcos/i>V; il n’y a donc que les planètes dont le rayon vecteur v surpasse le rayon vecteur de .la terre, qui puissent paraître à 90° du soleil. On appelle ces planètes supérieures , on appelle inférieures celles qui , ^ comme Vénus, ont un rayon vecteur v plus petit que celui de la terre. Cette remarque est utile pour distinguer à la première apparition, les planètes supérieures d’avec les inférieures. •
3n. On voit par les formules tang T et tang P, que la planète , outre les inégalités qu’elle peut avoir dans son orbite
autour du soleil , en a une fort importante et qui dépend du mouvement de la terre dans son orbite , ou , si l’on veut , du mouvement du soleil autour de la terre. C’est ce que les anciens appelaient la seconde inégalité de la planète , et qu’ils faisaient dépendre du mouvement du soleil ; c’est ce qui les avait obligés d’imaginer un épicycle sur lequel tournait la planète, tandis que le centre de l’épicycle tournait autour de la terre , dans un excentrique qui servait à rendre raison de l’inégalité propre de la planète.
33. Au moyen de ces formules, nous pourrons changer les lieux héliocentriques de Vénus sur son cercle, en lieux géocentriques, que nous comparerons aux observations. Nous y trouverons des différences qui passeront un degré ; nous en conclurons que l’orbite de Vénus doit être elliptique comme celles du soleil et de la lune , mais que l'ellipticité doit être moins forte.
Ponr déterminer cette ellipse de la manière la plus simple, nous choisirons trois conjonctions.
Les conjonctions inférieures reviennent au bout de 584 jours; à chacune des conjonctions, la longitude héliocentrique change de 7J" 6°; il sera donc possible d’en choisir deux vers les apsides et une vers la moyenne distance, ou deux vers les moyennes distances, et une autre qui sera peu éloignée de l’apside. Soient V, V' et V" les trois longitudes vraies, M ,
’ M', M* les trois longitudes moyennes , <p la longitude du périhélie, e l’excentricité ,
V — M -f- ae sin (V — q>) ,
V — M'-J- 2esin (V' — p) ,
A=(V'— V)— (M'— M)=4esin { (V'— V)co^-^~— — ,
B= 4eain i (T-T)cos (p£¥ - <p) ;
en développant vous aurez
ta a Asin;(V“-V0cosi(V>4-V,)-BsinKV,-V)cosKV,-<-V)
oV BsinîfV' — V)sinf(V'-j-Y) -Asini(V"— V,)sini(V"+V')*
jAsin i*
iin.CY'V)co^-±X-^ i B fini"
siDï(V'— V,)cos(^-j1 p)
M =V — ne sin (V- <?) , M'=V' — ae sin (V'— ç) ,
M* = V"— ac sia (V*— $).
34- Avec ces éléraens approchés, vous calculerez toutes les conjonctions observées de Vénus. Soit O la longitude observée, C la longitude calculée, C-|-dC=0, ou d 0=0 — C, dC sera connu. Or, soit E l’époque des moyens mouvemens, m le mouvement annuel , i le nombre d'années entre l’observation et l'époque , z l’anomalie moyenne ,
C = E -f- im~ f- a sin a ,
dC = JE -f- i dm -+• da sin * -j- a coszJs = O — C.
Chaque observation vous donnera une équation pareille ; vous réunirez ces équations en autant de groupes que vous aurez d’inconnues et de manière que dans chaque groupe une inconnue ait le plus fort coefficient possible, et toutes les autres des coefficiens les plus faibles que vous pourrez ; vous éliminerez, et vous aurez les corrections de vos tables provisoires.
JE sera la correction de l’époque, dm. telle du mouvement annuel , da celle du premier terme de la série de l’équation du centre en z ,
dz = JM — dp — dE -j- i JM — J<p , ou dp - — dE -f- idm — dz.
Si vous soupçonnez un mouvement à p , vous pourrez en tenir compte en introduisant une indéterminée de plus , où vous pourrez chercher dp séparément pour deux époques éloignées • la différence des deux dp que vous obtiendrez sera le mouvement pour l’intervalle entre les deux époques.
35. Les anciens, qui n’avaient pas tous ces moyens, s’attachaient à observer les digressions.
LEÇON XVI. 4 il
Si l’orbite de Vénus était circulaire, les digressions seraient toutes égales, du moins quand la terre serait elle-même revenue à la même distance du soleil. En effet , quand le rayon visuel est tangent à l’orbite, l'angle à la planète est droit,
, . j i,., . * vcos h v a(i+e) ,
le sinus de 1 élongation est — , or ÿ= ÿ dan*
l’aphélie
dans l’aphélie.
Soient D et D' les deux digressions.
V sin D = a(i -f- e) ; V'sinD' =0(1 — e),
équation d’où l’on peut tirer l’inconnue e, puisque le reste est connu.
36. Mais il est difficile de trouver des digressions qui soient exactement dans les apsides; l’angle à la planète sera donc obtus ou aigu ; ou pourrait corriger cet angle avec l’excentricité et l’anomalie à peu près connue, et j’ai donné pour cela une formule; mais les moyens analytiques indiqués cidessus sont beaucoup plus exacts.
La planète doit avoir , comme la lune , des équations de la forme
a sin S -j- b sin 2S -f- c sin 3S -f- etc.
On pourrait les trouver en opérant ‘comme pour la lune (XIV. 71); mais ces termes sont fort petits, la théorie les a déterminés mieux que ne pourrait faire l'observation. Voyez Mécan. Céleste, ou Tables de Vénus de Lindenau.
Passages de Vénus.
3j. Vénus revient en conjonction tous les 584 jours, avec une longitude augmentée de 216* ; après cinq conjonctions pareilles, la longitude est augmentée de io8o0=5.36o*. Cinq conjonctions arrivent en 5.584iours = 2.920 jours =8.365, ou huit années de 365 jours; ainsi au bout de huit ans les conjonctions reviennent aux même? points du ciel , et il en est de même à peu près pour tous les lieux de Vénus, la pé-
/fia ASTRONOMIE.
riode de liuit ans les ramène tous dans le même ordre , ce qui abrège le calcul des Éphémérides.
38. Supposons qu'une de ces conjonctions arrive précisément dans le nœud , le centre de Vénus couvrira le centre du soleil, le disque noir de Vénus formera une tache d'une minute de diamètre au centre du soleil j cette tache sera trop petite pour être vue sans lunette. C’est la raison pour laquelle il n’en est fait aucune mention dans l’Astronomie ancienne.
Si, à l'instant de la conjonction, Vénus a une latitude géocentrique de quelques minutes, on verra Vénus décrire sur Je disque du soleil une corde plus ou moins longue. C’est ce qu’on appelle un passad e ; la durée en serait de 7* 5a ou 5 4' , s’il était central; il durerait plus ou moins de tems, selon que Vénus passerait plus près ou plus loin du centre; il n’y aurait qu’un simple contact, si la plus courte distance était égale à la demi-somme des diamètres.
3g. Ces passages se calculeraient, comme les éclipses de June , par les mouvemens relatifs et l’orbite apparente; mais tout cela serait pour le centre de la terre. La parallaxe doit altérer la durée ; en rapprochant Vénus du centre , elle lui ferait décrire une corde plus longue qui demanderait plus de tems; mais pour les pays qui verraient Vénus au-dessous du centre, la parallaxe éloignerait Vénus, elle accourcirait Ja corde et la durée.
Si la parallaxe du soleil est de près de g", celle de Vénus doit être de 3o", la parallaxe relative de 21" environ.
Le calcul d’un passage pour un lieu déterminé se fera comme celui d’une éclipse de soleil; Vénus remplace ici la lune, le diamètre est beaucoup moindre, le mouvement relatif est rétrograde , les parallaxes étant beaucoup moins considérables seront plus faciles à calculer; voilà toutes les différences.
4o. La différence entre la durée pour le centre de la terre et pour un point de la surface , sera l’effet de la parallaxe ; cet effet peut donc se calculer; cet effet sera different pflur les différeus pays, et surtout pour les pays placés dans las
LEÇON XYI. 4, s
hémisphères différens; si la parallaxe alonge la durée pour un hémisphère, elle l’abrégera pour l’autre; ainsi les durées observées en deux lieux très-différens en latitude , pourront servir à déterminer Ja parallaxe qui aura produit les différences / observées.
4 1. On ne songea pas d'abord à cet avantage particulier des passages de ‘Vénus; Képler n’y voyait qu’un phénomène curieux qui n’avait point encore été remarqué. Ilalley fut le premier qui donna cet avis aux astronomes, en leur annonçant les passages de 1761 et 1769.
42. Puisque Vénus, après huit ans, revient en conjonction dans le même point du ciel , il est naturel , quand on a observé un passage , d’en attendre uq pareil huit ans après , et il a lieu en effet quelquefois, et ils reviennent ainsi deux à deux; mais on n’en peut jamais espérer trois en seize ans, parce qu’à chaque passage la latitude change de 20 ou 2 4'; ainsi un passage austral succède à un passage boréal , et réciproquement; mais au troisième , la latitude surpasse infailliblement le demi-diamètre du soleil , il n’y a point de passage.
Ces passages ne peuvent arriver que tout près des nœuds, c’est-à-dire quand le soleil est en 8-f i5°, en décembre, par conséquent, ou en i5®, en juin.
43. Après la période de 8 ans qui ramène les passages près du même nœud, la période la plus courte est celle de 121 ans qui joint quelquefois des passages près des deux différens nœuds ; ainsi au passage de 1761 £
ajoutez 121 r
vous aurez le passage 1 882 1 presque, ou du 6 déc. 1882,
retranchez 8
vous aurez 1874 g, ou lepass.du 8 déc. 1874.
Ce sont les deux pasiages les plus prochains.
Outre ces périodes, on a encore celles de io5 et n3; mais ces trois périodes manquent très-souvent, celle de 235
est beaucoup plus sûre , et surtout celle de , qui est le
double de 121 ;•
J’ai calculé par ces périodes tous les passages, depuis l'an 900 jusqu’en l’an 3ooo, et j’en ai trouvé 35 en tout, en comptant même ceux qui sont un peu douteux , par la grande latitude de Yénus, qui fait que la moindre erreur sur le nœud et l’inclinaison, peut faire manquer le passage, qui sera au moins très-court.
44- Pour qu’un passage ait lieu , il faut que la plus courte distance G cosl soit moindre que la demi-somme des diamètres; la latitude géocentrique G dépend de la latitude héliocentrique, laquelle à son tour dépend de la distance de Vénus à son nœud. J'ai trouvé, d'après ces considérations, que la limite des passages, ou la distance au nœud, qui ne donne qu’un simple contact , a pour expression.
hiJ~ v sin I cosl'
« étant la demi-somme des diamètres, <u' — n la différence des parallaxes horizontales de Vénus et du soleil , V et v les deux rayons vecteurs , I l’inclinaison vraie de l’orbite , et I' l’inclinaison de l’orbite apparente.
Si la distance au nœud est moindre que cette valeur, le passage aura lieu; si elle est plus grande, il n’y aura point de passage.
45. Le choix des stations est une chose très-importante , puisque de là doit dépendre la précision avec laquelle oa pourra déterminer la parallaxe. En général, il faut chercher une station très-boréale et une station très-australe , afin que la parallaxe, agissant en sens contraire pour les deux observateurs, soit doublée s’il est possible. On peut employer à ces recherches la méthode que nous avons donnée pour les éclipses de soleil ; mais le calcul en est assez long, et comme on n’a pas besoin d’une grande précision , on peut , avec un globe , trouver sans calcul tout ce qu’on cherche. La diljicuîté n’est pas de trouver mathématiquement les sta-
LEÇON XYI. 4,5
tions les plus favorables -, .il faut chercher, parmi les lieux habités , ceux qui offrent les plus grands avantages.
46. Prenons pour exemple le passage de 1769. La déclinaison du soleil était de 33° le parallèle dont la latitude est de «3°i voyait donc le soleil à son zénit au méridien; élevez le pôle du globe terrestre de 2a0 £ au-dessus du point nord de l'horizon. La latitude de Vénus était de 4’ 8" boréale. Ainsi les stations boréales devaient observer une durée plus longue , et les stations australes une durée plus courte que le centre de la terre.
L’entrée devait avoir lieu à 7*3i' tems vrai de Paris.
La sortie à...: i3.46, C est-à-dire la nuit.
Le milieu à îo^S' du soir.
A ces trois instans l’angle horairq de Paris était 1 1 3 ï , i59s et 3065; les lieux qui avaient le soleil au méridien étaient, à l’occident de Paris.de n3,i6o et ao6°, ou, à l’occident de l’ile de Fer, de.... 93,140 et 1860.
47. Placez sous le méridien du globe le méridien qui a i4o* de longitude occidentale comptée de l’île de Fer; le globe sera convenablement piaffé pour l’iinstant du milieu , l’hémisphère supérieur à l’horizon représentera la partie éclairée , celle qui voit le soleil , et par conséquent le milieu du passage , car la parallaxe est beaucoup trop faible pour faire sortir Véuus de dessus le disque solaire.
48. Dans cette position , vous remarquerez que tous les lieux qui sont au-dessus du parallèle 67° 5 , ou à moins de 220 j du pôle, n’auront pas de nuit, qu’ils verront par conséquent le passage tout entier , et que le soleil étant fort peu élevé, la parallaxe sera plus forte, et qu’en rapprochant Vénus du centre , elle doit augmenter la durée. On pouvait choisir Nord- Cap, Wardhus, Kola, la Nouvelle Zemhle, les côtes des Samoïèdes et de la Tartarie russe. A Wardhus , le P. Hell observa la durée intérieure de 5* 53' 3i"j la durée totale eût été de 64 i.
4g. A des latitudes moins hautes où le soleil disparait seu-
4iG ASTRONOMIE.
Jement pendant quelques heures, on pouvait trouver des lieux où l'entrée était visible un peu avant le coucher du soleil , et la sortie peu de teins après le lever ; plusieurs villes de Suède étaient dans ce cas , et particulièrement Cajanebourg , où Planmann a observé la durée, telle à peu près que le P. Hell l'avait à Wardhus.
50. La Tartarie , la Chine , lesîlesdu Japon , le Kamtchatka, qui étaient alors plus ou moins éloignés du méridien , avaient plus de jour qu'il n’en fallait pour voir le passage entier. La partie septentrionale de l’Amérique , la Californie , qui avait déjà passé au méridien, étaient encore dans la partie éclairée à la fin dH passage. A l’entrée , c’est-à-dire quand le q3* degré de l'équateur était au méridien , le soleil était presqu’au zénit de la Californie ; la sortie avait lieu vers le coucher , quand le i86* degré de longitude occidentale , ou le 174' de longitude orientale était au méridien , le soleil paraissait près de l’horizon , la parallaxe devait retarder la sortie et n’avait rien produit sur l’entrée j Chape y observa la durée de 6* if 3*.
Dans la baie d’Hudson , les distances au zénit devaient être plus fortes à l’entrée et à la sortie ; le (tassage y fut observé de G'1 an' 00" par Dymond et Wales.
51. Dans la partie australe, on n'avait aucun pays habité où la parallaxe dùt.étre aussi forte ; mais elle agissait en sens contraire, elle abrégeait le passage; les îles du Saint-Esprit, des Amis, de la Société, les Marquises de Mendoce , devaient voir le passage un peu accourci ; Green et Cook , à Taïti , observèrent la durée de G* 6' i, plus courte de 738' que la durée centrale. Ainsi le plus grand effet de la parallaxe était de 6* 29' à 6* 6' ou a3' environ , c’est-à-dire au moins autant de minutes que la parallaxe relative contient de secondes.
62. Le choix des stations suppose donc qu’on ait déjà calculé le passage pour le centre de la terre; voyons comment on peut faire les calculs et les observations , et comment on déduit la parallaxe.
Mouvement
Mouvement hor. héliocentrique de 5JI 5' 58“ 14
de la terre... a.a3,5o
mouvement relatif béliocentrique 1.34,64
mouvement horaire en latitude — i4,ao,
tang inclinaison = tang I = = 8° 3i' 5g",
mouvem. hor. géocent. =
= 337", 84 rétrograde ,
mouvement horaire en latitude = — 35", 6863 ,
plus courte distance GcosI = 6 16", 6034, distance entre le milieu et la conjonction G sin I=93",5t64, ..... / 36oo*cosl \
en temsou multipliée pari r — 1 o*a3 4 .5
r r \mouvem. hor./ ^ ’
tems de la conjonction
milieu du passage 10.38.6.
