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astronomie.
Stations et rétrogradations des Planètes. Comparaison des systèmes de Ptolcmée, Copernic et Tycho.
i. Les planètes, dans le système du mouvement de la terre, s’avancent toujours dans le même sens, autour du soleil ; mais la combinaison de leurs mouvemens avec celui de la terre, fait «jue si le plus souvent elles nous paraissent avancer en longitude , comme elles le font toujours réellement, quelquefois aussi elles doivent paraître rétrograder; quoique dans le fait, et si on les considère du centre de leurs mouvemens, elles aillent toujours dans le même sens, d’une manière invariable.
a. En effet l’expression générale de la longitude géocentrique est T = Q — T , d’où dT — dQ — dT ; mais
tang T = -ô (XVI. 27) ;
0 1 — vcosb
d’où je tire
^ v cos T cos (S -f- T) r/S
{IL n »
i — v cos S
dr = dQ - dS
\ 1 — v cos S. J
Sjit n la longitude héliocentrique de la planète ,
dS = dri - = ^ — dQ =dQ (
va \ v»
mt
lr
= dQ
cosT cos (S-f-T) (1 — v3 ) (1 — vcosS)^1 j
dans les conjonctions inférieures où cosS = i , cosT= 1 cos (S + T) = 1 , l’expression se réduit à
dT = dQ
ainsi dT est négatif et la planète est rétrograde.
A la conjonction supérieure, cosS = — 1, cosT = i, cos (S-j- T) = — î ; l’expression devient
quantité positive j donc à la conjonction supérieure la planète inférieure est directe.
Les mêmes formules, appliquées à une planète «upérieure , prouveront de même qu’elle est rétrograde en opposition , et directe en conjonction.
Ainsi c’est une règle générale , que toutes les planètes sont directes dans la syzygie, où elles sont le plus éloignées de la terre , et rétrogrades dans la syzygie périgee.
Ces formules supposent pour la terre V= i.
3. Le mouvement direct, ppur devenir rétrograde , diminuera insensiblement, jusqu’à ce qu'il se réduise à o ; dans le passage du positif au négatif, les variations de la longitude géocentrique seront peu sensibles , et la planète paraîtra stationnaire , c’est-à-dire qu’elle sera vue pendant plusieurs heures ou plusieurs jours, à la même longitude. Ce tems , qu'on appelle tems de la station, sera plus moins long, suivant le mouvement plus ou moins lent de la planète.
4- Les stations et rétrogradations sont donc un corollaire mathématique des mouyemens autour d'un même foyer. On
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n’y aurait jamais mis plus d’importance qu’on n’en met aujourd'hui , si l’on eût toujours connu le véritable système des mouvemens célestes. Mais si les planètes ont toutes le centre de leurs mouvemens au centre de la terre, pourquoi leurs longitudes ne vont-elles pas toujours en augmentant ? pourquoi les voit-on s’arrêter, rétrograder , s’arrêter de nouveau , redevenir directes? et pourquoi ces variations s’observent-elles invariablement vers la partie de leurs obites qui avoisinent les conjonctions inférieures et les oppositions ? "Voilà ce qni est physiquement inexplicable dans le système de Ptolémée , et ce qu'il n'a pu représenter que par une complication de cycles et d’épicycles, qu’en faisant tourner les planètes autour d’un point mathématique tournant luiinême autour d’un autre point mathématique , enfin sans pouvoir assigner la moindre cause vraisemblable à ces mouvemens, au moins singuliers; il esta remarquer que, dans le fait, il a été obligé de renoncer à son idée de faire la terre centre de tous les mouvemens célestes; tout ce qu’il a obtenu, c’est que la terre est immobile dans l’intérieur de toutes les orbites planétaires. Ces orbites, dans ce système, sont des espèces d’épicycloïdes dont D. Cassini a donné la figure dans les Mémoires de 170g.
5. Le problème des stations et des rétrogradations consiste à déterminer , pour chaque planète , les points de l’orbite où elle doit paraître immobile , la distance mutuelle de ces points , ou l’arc de rétrogradation , et enfin le tems que la planète emploie à décrire cet arc.
Ce problème est insoluble quand on considère les ellipti — cités et les inclinaisons; il devient beaucoup plus facile, quand on considère les orbites comme circulaires et couchées sur l’écliptique. Apollonius l’avait résolu long-tems avant Ptolémée , et la solution qu’il en avait donnée se trouve identique à celle que nous allons trouver par des moyens beaucoup plus simples et plus clairs.
G. boit T la longitude géocentrique , T l’élongation ; nous aurons r = © — T, et dï = dQ — dT ; on aura dT=o,
c’est-à-dire la station , si JT — dQ ; si JT > dQ , dV sera négatif et la planète rétrograde ; si dQ > JT , Jr sera po^ sitif et la planète directe.
Mais V sin T == v sin P , V cos TJT = v cos P JP , et pour la station,
v cosP
JT =S T7 ■ — 7p JP = JO ;
V cos I
on a , de plus,
T-f P +S = 1800, JP — — JT — JS ;
or S = n — J , S étant l’angle au soleil et II la longitude héliocen trique de la planète ; donc
JP = — JT — Jn -f J § = — JT — Jri 4- J© ;
‘ or à la station dQ — - JT = 0 , on aura donc
m v cos P ,
jp=-dn et JO=-y^Jn,
dQ v cos P
Jn — V côsT ’
.iî
or, suivant la loi de Képler, * ^onc
/v\“ v cos P sinT cos P tangT
\\) V cosT sinP'cosT tangP’
7. Cette formule donne une relation fort simple entre les tangentes de l’élongation et de la parallaxe , au moment de la station , mais elle est peu propre à déterminer ce moment.
L’équation primitive = — ^y^ ^onne encor8
cos P
/Vy „
v __ cos* P i — sin* P 1 \ v) 8in
V cos* T cos* T cos* T
= » -f tang* T — (7) tang* T ,
(7) tang* T — tang*T = (i — y) ,
tang* T = —
(v+o(v— ,)-v(v+v)- Y./ + vy
C’est le théorème de Keill , dont nous avons fait usage pour Cérès ( XVI. io5).
