Pour trouver la durée de la rétrogradation, on dira

«m— (/Q:2S:ii:dnrée = aS.-~

(as— r3

( COt* X — l )(ÏQ 1 774,36(cOt3X — 1 )’

En appliquant ces formules à toutes les planètes , j’ai formé le tableau suivant , pour les orbites circulaires.

Carouge en a calculé un de même genre ( Astronomie de Lalande , tome I) , en tenant compte des excentricités; mais il semble qu'il aurait du faire coïncider l’aphélie et le périhélie avec le tems de la syzygie.

Stations et rétrogradations.

Durée.

1 8° i a' ra(>. 14 35.34 i3.s4 22', 9

a8°5i' i3q. 9 10. 0 i5.aa 4at,a

1 1 5° 35' g.5q 54. p.6 .q.55 1 ao >,7

ioo° i3' n.55 7.3.5 a 3.5a 1 5 1 ‘j

46o ASTRONOMIE.

L’ellipticité des planètes peut apporter quelques changemens à ces quantités moyennes} ainsi pour Mercure , l’arc de rétrogradation peut aller de 9 à i6a; pour Vénus, de 14 à 17°; pour Mars, de 10 à 20°; pour les autres planètes, la différence est beaucoup moindre.

Le tems de la durée, pour Mercure, va de aWjà23{y pour Vénus , de 41' à 4^ 3 j pour Mars , de à 81 ; pour Jupiter, de 117' à 122; pour Saturne, de i35' à i3g; enG» pour Uranus, de i5o^ à i53.

11. Nous avons vu qu’il y avait deux moyens d’expliquer les phénomènes ; le premier , de supposer que la terre est une planète qui , comme toutes les autres, circule autour du soleil ; c’est ce qu’on appelle le systèmf de Copernic.

Le second, qui a été proposé par Tycho, est de faire circuler toutes les planètes autour du soleil , et le soleil , accompagné de tout ce cortège, circulerait autour de la terre immobile.

Voyons comment Ptolémée a pu satisfaire aux phénomènes qu’il connaissait, en faisant tourner le soleil et les planètes autour de la terre; nous avons dit qu’il avait fait usage d’un cercle excentrique pour expliquer l'inégalité propre de la planète, et d’un épicycle pour expliquer les apparences que produit le mouvement de la terre.

Faisons abstraction de l’inégalité propre de la planète ou de son équation du centre , qui s’explique comme celle du soleil, en supposant que la terre n’est pas au centre (X. 8) ; négligeons cette excentricité, la terre sera le centre du monde.

Soit T (fig. n 4) le centre de la terre, a le lieu moyen de Vénus et de Mercure , qui est toujours sur la même ligne que le lieu moyen du soleil S ; pour expliquer les élongations, supposons que la planète, au lieu d'être en a, soit sur la circonférence de l’épicycle , qu’elle parcourt avec son mouvement relatif; soit v le rayon de l’épicyle , V la distance Ta ; que la planète soit en M à la distance Max- de son périgée. Ptolémée avait Ma^r= mouvement relatif = S; il pouvait calculer l'élongation MTa = T par une formula

équivalente à notre formule

(y) sin S sin MaT

1 — cos S i — ^Fa) C°S

«on angle MaT était égal à notre angle S, il suflisait donc qu’il fît = y- On voit même qu’il n’avait besoin de connaître ni Ma , ni Ta , il suffisait qu’il en eût le rapport exact ; il lui était indifférent de placer le centre de l’épicycle plus près ou plus loin , en a , en S centre du soleil , ou en b pardelà le soleil ; la digression STP était toujours d’un mémo nombre de degrés, et la ligne TPPP est également tangente aux trois orbites, seulement les rayons aP, SP, bP croissent avec la distance et en même raison.

îa. Il plaça Mercure plus près de la terre, sans dire à quelle distance, Vénus entre Mercure et le soleil ; la raison de cet arrangement était que les conjonctions de Mercure revenant en 116 jours, tandis que celles de Vénus ne reviennent qu’au bout de 584 , il crut qu'il fallait mettre Mercure immédiatement après la lune , dont la révolution synodique n’est que de agi jours. Mais puisqu’il donnait au centre de l’épicycle le même mouvement qu’au soleil , on ne voit pas pourquoi il n’a pas fait du soleil même le centre de ses deux épicycles; ces deux planètes au moins auraient tourné autour de quelque chose, mais c’est peut-être cette raison même qui l’en a empêché ; comme il ne pouvait pas en faire autant pour les planètes supérieures , il n’a point voulu établir une différence qui aurait pu faire douter de la vérité de son système. Aujourd’hui le choix ne serait plus arbitraire ; les phases de Mercure et de Vénus, et les variations de leurs diamètres , prouvent que les deux orbites embrassent le soleil ; les passages de Mercure et de Vénus , qu’on n’observe que dans les conjonctions inférieures et jamais dans les conjonc-

46a ASTRONOMIE.

lions supérieures, sont encore un argument sans réplique en faveur du système de Copernic, ou de celui de Tycho.

iô. Remarquons pourtant deux défauts dans son hypothèse. Son angle MSa est la ditTerence des mouvemens moyens de la terre et de la planète, et la longitude du centre est la longitude moyenne du soleil , au lieu que dans le véritable système, nous employons les mouvemens vrais. De plus , le rayon de son épicycle est constant; il fallait le rendre variable en mettant une ellipse au lieu du petit cercle. Il en résulte que son hypothèse ne pourrait satisfaire que fort imparfaitement aux mouvemens que nous observons.

14. Si nous examinons bien ce que nous avons fait pour les planètes inférieures , nous en déduirons ce qu'il faudra faire pour les supérieures. Nous avons donné au centre de l’épicycle, pour mouvement, le mouvement du soleil, ou plutôt celui de la terre, c'est-à-dire, de la planète supérieure; pour Mars, Jupiter et Saturne, nous donnerons de même le mouvement moyen de la planète supérieure, c'està-dire le mouvement de Mars , celui de Jupiter et de Saturne suivant la planète dont nous voudrons établir la théorie ; nous donnerons à la planète, sur son épicycle, le mouvement relatif dn — dj; niais comme dn<^d£ , ce mouvement sur l’épicycle sera rétrograde; enfin nous ferons le rapport

(V\ distance moy. terre

v ) distance moyenne de la planète'

C’est ce qu’a fait Ptolémée , sans peut-être s’en rendre bien raison à lui-mème ; il enseigne à trouver ce rapport par les observations des digressions , et n’a pas songé à déterminer les distances absolues; et ce rapport, pour Mars, Jupiter et Saturne, est le même à très-peu près que celui des grands axes de leurs ellipses au grand axe de l'ellipse terrestre ; nous

avons vu que le sinus D de la digression = ~ pour Vénus

et Mercure, dans l’hypothèse circulaire. Pour les planètes supérieures , il employait les quadratures. Par ce moyen il

a eu, pour calculer les lieux géocentriques des planètes supérieures, des formules qui sont l'équivalent des nôtres, à la réserve des deux défauts que nous avons remarqués (1 3).

15. Ptolémée a profité de ce que son hypothèse avait d’indéterminé, pour qu’aucun épicycle ne fut coupé par le suivant ou par le précédent. Ainsi soit a le centre de l’épi— cycle de Mercure, S celui de Vénus, b pourra représenter le centre du soleil ; Ptolémée avait donné aux rayons aP et SP des épicycles de Mercure et de Vénus les longueurs nécessaires pour représenter les digressions observées. Il avait de même placé les épicycles de Mars, de Jupiter et de Saturne au-dessus les uns des autres et au-dessus du soleil, assez loin pour les empêcher de se couper ou même de se toucher. L’épicycle de Mars était extérieur à l’orbite solaire , et si Ptolémée eût connu les quatre petites planètes , il eût été contraint de reculer Jupiter et Saturne, pour faire place

aux quatre épicj'cles dont les rayons auraient été — .

16. On peut, en une seule figure, représenter les trois systèmes, celui de Copernic, celui de Tycho , et enfin celui de Ptoléme'e ; pour éviter de trop grandes dimensions, nous ne considérerons que les planètes supérieures.

Soit (fig. n5) le centre du soleil, T celui de la terre, O celui d’une planète supérieure quelconque , Mars, Cérès, Jupiter, Saturne, ou Uranus.

Les trois centres étant sur une même ligne , la planète surieure sera en opposition.

Suivant Copernic , au bout de quelque tems la terre aura été de T en t autour du soleil immobile , la planète , qui va plus lentement , aura été de O en P , et l’élongation se trouvera en calculant l’angle StP , par les formules que nous avons données , au moyen des côtés St , SP , et de l’angle tSP=fSO — OSP.

17. Suivant Tycho, la terre est immobile en T ; le soleil a le mouvement SS' =Tt, mais en sens contraire; TS' est égale et parallèle à /S ; la planète a été de O en P',

car S'P' doit être égale à SO, égale et parallèle à SP, et l’angle TS'P' devant être le mouvement relatif , nous aurons TS'P' = tSP; menons tP', S'TP' sera l’élongation; mais les triangles iSP et TS'P' ayant chacun un angle égal entre deux côtés respectivement égaux , les deux triangles seront parfaitement égaux, TP' sera égal et parallèle àtP; nous aurons pour calculer l’élongation la même formule et les mêmes valeurs que dans le système de Copernic.

18. Ptolémée prenant la terre pour centre, au lieu de S, prend OC=ST, et le point C est le centre de son épicycle, ce qui n’empêche pas qu’à l’opposition il ne place la planète en O , parce que c’est l’instant où la planète a le plus d’éclat, ce qui la fait juger périgée.

Ptolémée amène le soleil de S en S', comme Tycho; le centre de l’épicycle , dans le même tems , avance de C en B; mais la planète , au lieu de rester en O' sur la ligne TB, rétrograde de O' en P' avec son mouvement relatif , ensorte que OB'P' = tSP=TS'P'; BP' est parallèle à TS'; c’est le précepte que Ptolémée donne sans en apporter une raison bien claire, pour trouver le lieu du soleil, quand on a déterminé la position de la ligne TB et du rayon BP'.

TB = S'P' = SP ; BP' = TS'= tS ; nous avons encore un angle égal entre deux côtés égaux chacun à chacun; les trois triangles BTP', TS'P', tSP sont donc parfaitement égaux, et le côté TP' est la diagonale du parallélogramme TS'B'P, le point P' serait physiquement le même si Ptolémée eût placé en effet le centre de son épicycle en B, mais il l’a porté arbitrairement en B'; il a fait le rayon B'P" plus grand en proportion ; mais si les triangles ne sont plus égaux , ils sont au moins semblables; l’angle B'TP"=BTP', l’élongation est donc la même ; ainsi dès que vous supposez les o£, bites circulaires, les trois systèmes sont équivalens, vous avez les mêmes angles , les mêmes longitudes , les mêmes rapports entre les distances, mais non les mêmes distances absolues.