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a3. Les satellites d’Uranus sont encore bien plus difficiles à voir , et par conséquent beaucoup pins inutiles que ceux de Saturne. Jusqu’ici M. Herschel est le seul qui les ait suivis avec quelque constance, et même il n’en a plus parlé depuis long-tems. Méchain en avait vu deux, autant que je puis me rappeler. Il résulte du Mémoire de M. Herschel , que l’orbite — de ces satellites est presque perpendiculaire à l’écliptique. J’ai refait en entier le calcul des observations, et j’ai trouvé les nombres que M. Herschel a consignés à la suite de son Mémoire, dans un Errata. Il a aussi parlé d’un anneau semblable à celui de Saturne; personne n’a constaté cette découverte, qui n’est au reste qu’un simple objet de curiosité.
a4- On a vainement cherché un satellite à Mars, à Mercure; on avait cru en voir un à Vénus, mais c'était une illusion optique, une seconde image de la planète; ce satellite présentait toujours la même phase que Vénus.
Grandeur et Jlg ure de la Terre.
i. La question de la figure et de la grandeur de la terre serait presque inutile à l’astronome qui ne quitterait pas son observatoire. Il n’a besoin qu» du rayon de la terre ou de la distance de son oeil au centre de» raouvemens diurnes pour calculer les parallaxes , au moyen desquelles il peut ramener ses observations à celles qu’il ferait du centre même. Nous n’avons supposé la sphéricité de la terre que pour calculer les éclipses du soleil et les.passages de Vénus pour différens pays. Mais quoique cette connaissance ne soit pas indispensable pour parvenir à la connaissance des mouvemens célestes, la figure de la terre est cependant une des questions les plus grandes et les plus utiles de l’Astronomie.
s. Ptolémée a pris la peine de prouver, is. que la terre n’est pas un plan , car alors le soleil, la lune et tous les astres se lèveraient au même instant^rour tous les peùples du monde : or on avait observé ^u’au commencement d’une éclipse de lune on comptait en diiférens pays des heores différentes , et que la lune était inégalement élevée au-dessus de l’horizon.
3° Que la terre n’est pas un prisme , un cylindre , un cône, un solide à facettes; il en donne des raisons excellentes et faciles à imaginer.
L’ombre de la terre est sensiblement ronde dans les éclipses de lune; toutes les planètes qui, comme la terre, circulent autour du soleil , la lune et le soleil lui-même sont certainement autant de sphères. La première idée qui doit se présenter est celle de la terre sphérique , tout au plus pourrionsnous y soupçonner un petit aplatissement comme à Jupiter.
|8a ASTRONOMIE.
La terre tourne autour d’elle-méme en 24 heures sidérales J toutes les autres planètes tournent plu9 ou moins vite j voilà „ des analogies auxquelles on ne saurait résister sans les plus fortes raisons , et nous n’en n'avons pas la moindre.
3. La terre est une surface courbe , et la courbure parait uniforme. Sur le pic de TénérifFe, M. Humboldt voyait la mer abaissée de toutes parts autour de lui , à près de 92° de son zénitj il voyait le soleil se lever pour lui 12' plutôt que pour l'habitant de la plaine. De la plaine on voyait la pointe neigée de la montagne éclairée des rayons du soleil 12' avant le lever} 12' après le coucher, celui qui habite de l’autre côté de la montagne voyait encore le pic éclairé. Les mêmes phénomènes se remarquent en petit sur toutes les montagnes et sur les tours un peu élevées. A toutes ces vraisemblances , ajoutons des preuves plus directes.
4- Avancez sous un même méridien du sud vers le nord, vous verrez l’étoile polaire se lever et le soleil s’abaisser ; marchez vers le 6ud , le pôle s’abaissera, et l’équateur se relèvera d’autant. Faites la même chose sous un autre méridien, vous observerez les mêmes phénomènes , d’où il suit que la surface de la terre est une suite de cercles qui se coupent aux deux mêmes pôles , et que par conséquent la terre est sphérique. Tous les phénomènes du mouvement diurne en différens pays s’expliquent par cette supposition , dont il n’est plus permis de douter. On n’a donc plus que deux cfepsesà vérifier : quelles sont les dimensions de cette sphère ; est-elle parfaite , ou bien la terre serait-elle un sphéroïde?
5. Ces questions ont dû de tout tems attirer l’attention des astronomes. Ératosthène enseigna le premier ce qu’il fallait ^ faire pour résoudre la première : quant à la seconde , on la 'supposait décidée et la terre parfaitement sphérique.
Ératosthène savait qu’à Syené, le jour du solstice à midi, un puits était éclairé jusqu’au fond ; que les édifices les plus élevés ne jetaient aucune ombre. Le soleil S (fig. 1 43) était donc au zenit du puits P; mais au même moment à Alexandrie, au point A , il voyait le soleil à la distance ZAS = 7° 12'j
il croyait Alexandrie et Syené sous le même méridien. De l’angle ZAS , il pouvait retrancher la parallaxe de hauteur ASC ; elle ne serait pour nous que de i",o7 ; pour Ératosthène, elle était de ai", 5-, il les négligea. Il aurait eu ACP = 7° il' 38", 5; il supposa ACP=7° ia' , négligeant aussi la réfraction de 7", 5 qu’il ne connaissait pas ; ACP était véritablement de 70 1 1' 46" , en supposant les observations exactes ; il avait donc, suivant son calcul, AP = 7°ia', ou, comme
dit Cléomède,^-= ^^- = 7° ia'; une grande route menait
d’Alexandrie à Syené , le long du Nil ; il la supposa rectiligne et toute entière dans le méridien dont elle s'écartait pourtant de a0 5g' i3*. On lui dit que sa longueur était de 5ooo stades en nombres ronds ; l’arc AP de 5ooo stades était donc la 5o* partie de la circonférence ; la circonférence entière était donc de 5o fois 5ooo stades , ou de a5o,ooo. Dans le fait , l’arc AP n’est que de 70 7' 43" ; il n’était donc pas tout-à-fait la 5oc partie ; il aurait fallu retrancher quelque chose des 5ooo stades pour la déviation de ja route : toutes ces corrections auraient changé la grandeur de la terre. Ëratosthène l’augmenta pour
avoir un degré de 700 stades en nombres ronds, car
5oco 5oooo
== 6g4 ,444; on ne Peut donc regarder l eva-
luation d’Eratosthène que comme un exemple grossier du calcul qu’il faudrait faire quand on aurait mesuré sous le même méridien deux hauteurs de la même étoile , et mesuré soigneusement l’arc terrestre. Ajoutez qu’on dispute encore aujourd’hui sur la valeur du stade d’Ératosthène.
6. Posidonius indiqua une autre méthode, beaucoup plus simple suivant Cléomède , mais dans la réalité beaucoup moins précise. Il supposa Rhodes et Alexandrie sous le même méridien ; l’erreur était au moins de i° la distance en ligne droite était estimée 5oco stades. Canobus , belle étoile du vaisseau, est invisible en Grèce; à Rhodes on la voit paraître un instant au méridien tout-à-fait à l’horizon. Cette même étoile, à Alexandrie, s’élève jusqu’à j de signe bu 7° 3o'. Un
quart de signe est la quarante-huitième partie du méridien ; 5ooo pris 48 foi» » feront la circonférence de la terre ; . . .
‘ ^ feront un degré, la degré sera
5oo .48
5oo.4
En admettant tout le reste , il fallait ajouter environ 3o' pour la réfraction ; ainsi le degré = ^2? — ga5 stades.
Le stade de Posidonius ou le stade de Rhodes était-il le même que celui d'Eratoathène et d'Alexandrie ?
7. Ces observations et ces calculs pouvaient donner un premier aperçu de la grandeur de la terre , et les astronomes n'ont pas porté plus loin leurs prétentions ; ils seraient sans doute bien étonnés de l’importance qu’on a mise à leur» ébauches grossières." Aristote dit que ceux qui Prtt voulu estimer la grandeur de la terre ne lui donnent pas plus que 400,000 stades de circonférence ; noüs lui donnons aujourd’hui 4o, 000,000 de mètres : en conclurons-nous que le stade d’Aristote était de mille mètres?
8. Ptolémée dit que pour mesurer le degré de la terre sphérique ,. il n’est pas besoin de ,1e prendre dans le méridien , et • qu’il suffit de connaître l’inclinaison au méridien. Soit P (fig. i44)
le pôle , Z et Z' les zénits des deux villes : si vous connaissez les complémens de latitude PZ et PZ’ avec l’angle azimutal , vous pourrez calculer l’arc ZZ' ; comparez cet arc avec l'atc terrestre mesuré entre le» deux lieux , vous aurez de même le degré. Géométriquement , il a raison , mais l’observation n’est pas facile; il dit l’avoir faite, et suivant son habitude, il a trouvé le même résultat qu'Eratosthène : du teste , il ne donne aucun détail.
9. Almamoun , prince arabe, demanda à ses mathématiciens si le degré terrestre était bien tel que l’annonçait Ptolémée , et leur en prescrivit la vérification. Us allèrent
dans les plaines de Singiar, se séparèrent en deux bande*, allèrent les uns vers le midi , et les autres vers le nord , jusqu’à ce que la hauteur du soleil fût changée d’un degré ; ils mesurèrent leur route , et trouvèrent la même chose que Ptolémée. Almamoun ne se rendit pas, il fit recommencer l'opération dans un autre lieu : par les mêmes procédés , ils arrivèrent à la même conclusion. Almamoun confessa que Ptolémée avait raison ; Almamoun ne pouvait mieux faire , mais nous n’en dirons pas autant de ses astronomes.
10. Mon compatriote Fernel supposa qu’ Amiens est sous le même méridien que Paris, et en effet l’erreur est insensible. U partit pour Amiens, en comptant exactement les tours de roue de ta voiture; il s'avança vers le nord jusqu a ce que la distance du soleil au zénit vers le solstice fût de i° plus grande qua Paris, et il trouva pour le degré d'Amiens 57*70 toises. La Caille trouva depuis le même degré de 57074. On peut admirer le bonheur de Fernel.
11. Snellius entreprit enfin une mesure véritable : par des opérations trigonométriques , il détermina la distance d’Alcmaer et de Berg-op-^oom ; il observa des distances an zénit aux deux extrémités de l’arc , et trouva un degré de 55oaoT, tropfaiblede ac5o. Muschembroeck corrigea plusieurs parties de l’opération , et Cassini de Thuri , par de nouvelles observations, porta ce degré à 57115, ce qui paraît trop fort.
ta. Norwood , en Angleterre, par un mélange des méthodes de Fernel et Snellius , en tâchant de plus d'évaluer les détours de la route au moyen d’un graphomètre , trouva et cette mauvaise mesure , employée par Newton dans ses premiers calculs sur la loi de décroissement de la pesanteur, retarda de quelques années la découverte de cette loi.
i3. Picard est le premier qui donna à toutes les parties de l’opération les soins qui pouvaient seuls la rendre exacte. Il mesura une base avec une toise bien étalonnée; observa tous
ses triangles avec un quart de cercle à lunettes , et les distance* au zénit avec un grand secteur , et trouva pour le degré d’Amiens 57060. Mais c’était par la compensation de deux erreurs importantes: d'une part, sa toise était d’un millième plus courte que la toise adoptée depuis par l’Académie des Sciences ; d’un autre côté , il avait négligé la réfraction comme insensible près du zénit; il ignorait les effets de l’aberration et de la nutation , il ne pouvait réduire ses observations ou à une même époque, ou aux quantités moyennes. Ces dernières erreurs , corrigées par Lemonnier, donnaient un degré de 571 83T beaucoup trop fort ; mais en tenant compte de la différence des toises et de la réfraction , La Caille ramena ce degré à une valeur assez exacte. Ainsi Picard n’avait guères commis que des erreurs inévitables, et par un bonheur qu’il méritait, son degré se trouvait aussi bien qu'on eût alors droit de l’exiger.
i4- La mesure de Picard fut continuée jusqu’à Dunkerque par la Hire , et jusqu’à Berpignan par Cassini II , qui publia le tout en 1718, sous le titre de Grandeur et Figure delà Terre. On y voit que la longueur moyenne du degré entre
Paris et Collioure est de 57°97T
Par les observations comparées de Paris et de Bourges,
il trouvait 57098
On conservait au degré de Picard, sa valeur 57060
Ensuite , entre Paris et Dunkerque , on trouva (p. a56)
le degré moyen de 56g6o
On avait donc, en allant de Paris vers le nord, un
degré moindre de *0°
Et en allant au sud , un degré plus grand de 37 ou. . . 38
Quoique ces différences ne soient nullement proportionnelles aux intervalles , il en résultait un alongement des degrés en allant vers l’équateur. Cassini , page a38 , en conclut une ellipse alongée vers les pâles, et la conclusion était juste. On avait commencé par en tirer une tout opposée , dans les Mémoires de 1701 , où l’on concluait que la terre est un
LEÇON XXIir. 587
sphéroïde aplati vers les pôles , ce qui semble favorable aux hypothèses modernes (de Huygens'et de Newton).
15. Richer, envoyé à Cayenne pour vérifier les réfractions et divers points de la théorie du soleil , s'était aperçu que son horloge , réglée à Paris , retardait , et il avait été obligé d'en raccourcir la verge. Il en conclut que la pesanteur était moindre dans ie voisinage de l’équateur , ce qui pouvait venir de deux causes : une plus grande distance au centre , et par conséquent un renflement à l’équateur , un aplatissement aux pôles et un sphéroïde elliptique ; mais cette cause n’aurait pu produire que oli,ç^, l’effet était presque triple; l’autre cause plus puissante était le mouvement de la terre plus sensible près de l’équateur qu’à Paris , dans la raison des cosinus de 5° et 49°- Cette cause pouvait produire i'^G , et elle aurait produit i ,f,53 à l’équateur même. Un mouvement circulaire de rotation doit produire une force centrifuge ou tangentielle , et l’effet observé était une preuve sensible du mouvement de la terre autour de son axe.
16. La force centrifuge doit diminuer la pesanteur, puisqu’elle agit dans un sens contraire ; la pesanteur que nous observons n’est que relative ; elle est diminuée de la force centrifuge qui, dans les différens climats, est plus ou moins oblique à la direction de la pesanteur : c’est seulement à l’un des pôles qu’on pourrait observer la pesanteur absolue. Huygens imagina un syphon composé de deux branches formant un angle droit dont le sommet est au centre de la terre ; l’une des branches aboutit à l’équateur, l’autre au pôle; il suppose les deux branches remplies d’un fluide homogène. Le fluide , renfermé dans la branche polaire , aura tout son poids ; dans l’autre , au contraire, le poids sera diminué par la force centrifuge. Cette seconde colonne sera donc moins pesante que la première, et l’équilibre ne pourra s’établir que quand la branche équatoriale aura gagné par sa hauteur ce qu’elle a perdu par le mouvement de rotation ; d’où il suit que pour l’équilibre , les mers équatoriales doivent être plus élevées que
les mers polaires , que les terres doivent avoir une forme analogue , et que la terre doit être un sphéroïde aplati. Il calcula que cet aplatissement devait être yjy.
17. Newton avait considéré la question d’nne manière plus générale ; il eut égard aux attractions de toutes Ie9 molécules qui composent le sphéroïde ; il leur donnait à toutes une même densité , et il en conclut un aplatissement de yj;. Les mesures de Cassini se trouvaient en contradiction avec ces théories qui ne pouvaient passer pour rigoureuses ; mais quelles que puissent être les variations de densité du centre à la circonférence, il en résultait toujours un aplatissement ; on ne pouvait en révoquer en doute que la quantité précise qu’Huygens faisait trop petite , et Newton trop grande. Le milieu était qui ne
s’écartait guères de la vérité. J’ai trouvé depuis =-4-? , comme , Ooo, b
je le dirai bientôt. On attaqua les mesures de Cassini , mais on répondit que la théorie pouvait avoir raison , sans que les observations eussent tort ; que si la terre avait été primitivement sphérique, la rotation avait du l'aplatir, mais que si elle était primitivement alongée d’une certaine quantité , la rotation n’avait fait que diminuer l’alongement. Mais pourquoi la terre eut-elle été d’abord alongée ? Il serait difficile d’en donner une raison fondée en principes et sur un calcul rigoureux.
18. Pour décider la question , on proposa de mesurer deux degrés assez éloignés pour que l’erreur des observations fut nécessairement moindre que l’inégalité qu’on cherchait. Godin , Bouguer et La Condamine partirent pour le Pérou , où , en dix années et avec des peines incroyables , ils parvinrent à mesurer trois degrés du méridien dans l’hémisphère austral. Maupertuis , Clairaut , Camus, Lemonnier, Outhier et Celsius allèrent en Laponie , où il mesurèrent un arc de 57'. Maupertuis et Outhier écrivirent l’histoire de leur voyage ; ils trouvèrent au cercle polaire le degré de 574*9- Eu le coiu-
LEÇON XXIII. 58g
parant aux degrés de France, ils en conclurent un aplatissement de jÿg trouvé depuis beaucoup trop fort.
19. Vers le même tems on songea à vérifier les degrés de France. La Caille , en moins de deux ans , acheva presque seul ce grand ouvrage dont on a les résultats dans le livre de la Méridienne vérifiée , l'un des meilleurs, sans contredit, que nous ayons en ce genre 3 il prouva que les degrés allaient tous en alongeant du midi vers le nord. Un degré de longitude , que La Caille mesura près d'Arles, conduisit à la même conséquence, qui fut encore confirmée au retour des académiciens du Pérou. Depuis ce tems, tous les degrés mesurés en differens lieux constatèrent de plus en plus cette conséquence de la théorie physique et mathématique. Il est vrai que ces degres donnent différentes quantités pour l’aplatissement; mais toutes prouvent un aplatissement incontestable, et c’est tout ce que les défauts de plusieurs de ces mesures et les difficultés inhérentes de ces opérations permettent d'exiger.
no. Tous ces degrés ont été mesurés sur les principes de Snellius et de Picard ; toute la différence est dans le plus ou moins de perfection des instrumens , l’adresse ou la patience de l'observateur, les attentions plus recherchées et les méthodes plus rigoureuses de calculs. Il en faut pourtant excepter le degréde Pensilvanie , où Mason et Dixon ne firent aucun usage de la Trigonométrie. Au moyen d’une lunette méridienne portative ils tracèrent, dans les plaities de la Pensilvanie et sur les bords de la mer , un long alignement qu’ils mesurèrent à la toise. Quand ils rencontraient quelque obstacle , ils menaient à quelque distance une méridienne parallèle à la première ; et observant enfin avec un grand secteur les distances des étoiles aux deux extrémités , ils trouvèrent à 09° ia' de latitude nord, un degré de 56888 toises. La Caille , au Cap de Bonne- Espérance, dans l’hémisphère austral , trouva par 33° 18' de latitnde , un degré de 57040 qui paraît un peu fort , et pourrait faire soupçonner que l’hémisphère austral est un peu different de l’hémisphère boréal.
5qo • ASTRONOMIE.
f ai. Le trace et la mesure effective d'une ligne de à 58 mille toises est de tonte impossibilité dans les pays habités; et même , dans les déserts , on pourrait douter que ce moyen fût le plus expéditif et le plus sur. On est donc obligé de former un nombre de triangles dans la direction de la méridienne; on mesure uu côté et tous les angles; on calcule tous les côtés , et l'on en conclut la valeur de l’arc terrestre. Le cas le plus simple serait celui d’une méridienne AB sur laquelle on établirait des triangles équilatéraux ACD, DEF , EFG, FGB ; mais ce cas est encore moins praticable que la mesure réelle de la méridienne AB. Dans l’exposition des procédés qu’on emploie , suivons la marche la plus naturelle , quoiqu’elle soit encore trop souvent impraticable ; et commençons par la mesure d’un côté , quoique souvent ce soit par là qu’on finisse ; mais c’est une chose presque indifférente et qui ne change presque rien aux calculs.
22. Le côté qu'on mesure s’appelle base ; on le prend communément de 4 à 7 mille toises, ou de 8 à 14 mille mètres. Plus courte , la base ne serait pas assez sûre ; il est difficile de trouver un local qui permette de passer cette longueur.
Pour aller plus vite, on emploie à la mesure , des règles multiples exactes d’une mesure connue. La Caille , en employait de 4 toises , Lemonnier en avait de 7 toises : les nôtres n’étaient que des doubles toises.
* 23. Ces règles étaient ordinairement de bois ; elles se terminaient par une tête de clou arrondi , pour que le contact de deux règles consécutives se fît par un point unique; on les mettait donc alternativement l’une au bout de l’autre , ensorte qu’il y en eût toujours trois immobiles sur le terrain pendant qu’on ajustait la quatrième. Quelquefois on les plaçait sur des trépieds qui pouvaient se hausser ou se baisser , ensorte que la toise fût toujours horizontale , ce dont on pouvait s’assurer par le niveau , ou bien on les plaçait sur le terrain dont on aplanissait les plus grandes inégalités j et si elles avaient une inclinaison sensible , on tâchait de l’estimer ou de la mesurer. On avait abondonné les verges métalliques ,
LEÇON XXIII. . 5g i
parce cftie les métaux éprouvent des variations sensibles dans leur longueur par les changemens de température. Les variations du bois sont moins fortes , mais elles ne sont pas milles, et on ne sait pas en tenir compte comme pour les métaux ; ensorte que dans des opérations plus récentes , les Anglais se sont servis d'une chaîne d’acier. Pour nous, nous nous sommes servie de verges de platine auxquelles étaient attachées des verges de laiton un peu plus courtes, qui, fixées invariablement par l'une de leurs extrémités , avaient toute liberté de s’étendre par l’autre bout; elles glissaient donc le long d’un vernier, armé d’un microscope, avec lequel on lisait l'alongement relatif du laiton; d’où l’on calculait, d’après des tables dressées par des expériences fort exactes , l’alongement absolu de la règle de platine. On avoit choisi le platine, qui varie moins qu’aucun autre métal. Ces règles composées étaient placées solidement sur un long madrier de chêne ; elles étaient recouvertes d’un toit qui les garantissait des rayons directs du soleil. Le madrier portait sur deux triangles ou doubleéquerres de fer que l’on calait avec des vis , et les .triangles de fer portaient eux-mêmes sur une pièce de bois soutenue par trois pointes de fer qui entraient dans la terre , ensorte qu’on avait toute la solidité requise.
Pour éviter cependant tout choc qui pût faire rétrograder les règles , on laissait un vide de quelques millimètres entre chaque règle ; et pour mesurer l'intervalle , on avait placé à l’extrémité de chaque règle une languette qui glissait entre deux coulisses , le long d’un vernier qui avait son microscope; les règles étant posées, on poussait la languette du bout du doigt , et l’intervalle se remplissait et se mesurait avec exactitude , sans aucun choc dangereux.
Les toits des règles étaient garnis vers leurs extrémités, de deux pointes bien perpendiculaires à l’axe des règles , de sorte que quand les quatre règles étaient placées à la suite l’une de l’autre sur le terrain , les huit petites pointes devaient se trouver dans une même ligne droite et dans la direction de la base, ce qu’on vérifiait en se plaçant derrière , et- en visant à un petit signal portatif placé d’avance sur l’alignement.
59a ASTRONOMIE.
Pour mesurer l’inclinaison des règles , on posait Ær dent pièces de métal placées sur le toit , à égale distance du milieu de la longueur, un niveau triangulaire à alidade et bulle d'air, qui par une double opération donnait la double inclinaison , sans qu'on eût à craindre l’erreur de collimation.
9.4. Ces opérations supposent un alignement tracé d’avance ; et voici comment. Quand j’eus choisi les deux termes de ma base, j'y avais fait construire sur le roc, des massifs de maçonnerie au centre desquels était scellé un cylindre de cuivre ; sur la face supérieure de ce cylindre on avait tracé plusieurs cercles concentriques. Le centre commun était le point où tombait une ligne à-plomb que j'avais fait descendre du sommet d'un signal de 78 pieds de hauteur , que j’avais fait cçnstruire à chaque extrémité. Les deux cylindres sont les points extrêmes de la base; ils sont recouverts d’une plaque de plomb, de matières sèches , et d'une voûte solide en pierre , pour que l’on puisse les retrouver en tout tems. Ces énormes signaux, an haut desquels était un observatoire, avaient été nécessaires auprès de Melun , à cause des arbres qui bordent la route , et d’un coude presque insensible qu’elle forme vers le milieu de la longueur.
Ces signaux nous servaient pour nons diriger dans l’alignement que nous faisions, au moyen de la lunette du cercle de Borda , placée dans un plan vertical ; je faisais enfoncer en terre, de distance en distance , dans la direction du grand i signal, des pieux de bois à fleur de terre, sur lesquels on plaçait ensuite le petit signal portatif.
a5. Deux personnes écrivaient sous ma dictée , sur des registres , le numéro des règles , les parties de languette , celles des thermomètres métalliques, et les deux observations de niveau; avant d'aller plus loin, on collationnait les deux registres, et on lisait après moi aux deux microscopes. Il ne restait plus qu’à additionner , à la fin de chaque journée , la somme des toises, celle des languettes , les corrections de température et d'inclinaison , et la réduction au niveau de la mer. La base ainsi corrigée s’est trouvée, à Melun, de
LEÇON XXIir. ècj'i
Çc^S'.qoSSS ; celle de Perpignan, corrigée de même, n’était que de 6oo6',a5545. Toutes deux formaient vers le milieu l'une un angle de «79° 10' 4*“ . l’autre un angle de 180° a3' 17"*. Soient b et c les deux parties de la base brisée , d la ligne droite qui joint les deux extrémités , A l'angle au coude 1
d1 = b* -f- c* — abc cos A ; = (i+c) (1 — ï x — jx* — etc.).
26. Supposons la courbure de la terre circulaire , nos règles de deux toises formeront à la surface de la terre deux tangentes d'une toise chacune ; il faut donc pour chaque demi-règle , ou chaque toise , chercher la différence entre l’arc dont la tangente est une toise , et la tangente même ; on aura la correction de chacune des six mille et quelques parties que contenaient nos bases; mais il était aisé de prévoir que la correction devait être insensible, et c’est ce que le calcul a confirmé. ♦
37. Pour donner une idée de l’exactitude à laquelle oa peut arriver par ces moyens , nous rapporterons ce qui noua est arrivé à la base de Perpignan. Un jour un vent impétueux venait à chaque instant déranger nos règles, en les faisant charier le long de leurs supports. Après avoir longtems lutté contre les difficultés , nous primes le parti d’interrompre la mesure. Trois jours après, par un tems calme, nous recommençâmes le travail dff toute cette journée. Nous ne trouvâmes qu’un quart de ligne de différence entre deux mesures dont l’une nous avait pleinement satisfaits, et l'autre nous avait paru si suspecte que nous nous étions crus obligés à la recommencer.
A la fin de chaque journée , avant de poser définitivement la dernière règle, nous enfoncions dans la terre, un pied au-dessous du sol , un pieu dont la tête était carrée et recouverte d’une lame de plomb. Sur ce plomb nous marquions
LEÇON XXTII. 5g 5
A l’angle de la face ayec le rayon visuel , et D la distance.
Les meilleurs de tous les signaux seraient des lampes à courant d’air et miroir parabolique ; mais on ne pourrait observer que la nuit , et dans les circonstances où nous avons mesuré la méridienne , cette espèce de signal eut été pour nous fort dangereuse.
Dans les villes et dans les pays couverts de bois, on est forcé de recourir aux clochers, qui sont en général médiocrement bons pour l’objet qu’on se propose ; la multitude de leurs faces , qui pour la plupart sont gauches et contournées , enfin leur inclinaison, sont autant de sources d’erreurs qui , après tout , ne sont pas bien considérables.
29. Il est rare qu’on puisse observer dans l’axe même du clocher ; on est alors forcé de s’éloigner du centre , et l’angle observé a besoin d’une réduction. Soit ABC le triangle (lig. t45) , O l’observateur ou le centre du cercle; on e observé AOB au lieu de ACB.
ou
ACB — A1B — CBO = AOB + CAO — CBO , CO sin COA CO sin BOC
AC sin 1" BC sin (O -f yO
sin 1
sin 1
/r\ sin y ~ \G/ âüTÎ3 ;
C est l’angle réduit , O l’angle observé, y l’angle entre l’objet à gauche B et le centre C de station , D la distance AC de l’objet à droite, G la distance BC de l’objet à gauche, r la distance OC du cercle au centre de station. Cette formule est géniale; on peut quelquefois rendre nul un des deux termes , on peut les rendre égaux et la réduction nulle. Voyez Base du Système métrique, tome I, page 121 du Discours préliminaire. Cette formule suppose la connaissance des distances D et G ; on les obtient avec une exactitude suiïïsante , en calculant une première fois le triangle avec les angles observés ,
s 5gS ASTRONOMIE.
sans ces réductions , qui sont ordinairement d’un petit nombre de secondes.
3o. Pour l'observation, on dirige alternativement les deux lunettes sur les objets A et B ; mais l’une des deux lunettes est excentrique et ne peut donner l'angle bien juste; quand la lunette inférieure est dirigée sur l’objet à droite , l’angle de direction COA = (O -f-j) est de go°; quand elle est dirigée sur l’objet C, l’angle de direction y = go°, d’où il
résulte pour l’angle double une correction — « — G ^
Dsina" Gaina" ’ r ^tant
ici l’excentricité de la lunette.
3t. Si les trois points observés étaient dans la surface d’une même sphère , le triangle serait sphérique et la somme de ses trois angles serait i8o°-f- 2r“ tang j C'tang^ C"sin A — etc. (IV. 70), r est le rayon de la terre. Les distances zénitales de A et de B , vues de C , seraient go° •+• { AC et qoô-f- JBC ; car l’angle entre la tangente CA et sa corde = iCA. Or c’est ce qui n’arrive jamais ; on observe les distances zénitales des points A et B; on connaît alors dans le triangle ABZ (Gg. 146) les deux distances ZA et ZB et l’arc ou l’angle entre les deux objets; il faut chercher l’angle Z , qui est l’arc horizontal ou l’angle entre les arcs des signaux A et B à la surface de la sphère.
Nous avons donné (IV. 72) la formule qui exprime la différence entre l’arc AB et l’angle Z; c’est ce qui s’appelle réduction à l'horizon. Vos trois angles, ainsi corrigés seront ceu#du triangle sphérique. Voulez-vous l’angle rectiligne formé par les cordes ? vous aurez la correction de l’angle horizontal ou sphérique par la formule (IV. 73). Vos trois angles devront alors faire une somme de 180° ; ce qu’il s’en faudra sera la somme des erreurs des trois angles. Vous partagez cette somme en trois , si le» observations sont également probables; s’il y en a une moins sûre que les autres, vous pouvez lui attribuer unè plusgrande partie de l’erreur totale.
et pour l’angle simple', une correction
Dans le triangle sphérique, quand vous avez calculé l’excès sphérique a, si la somme diffère de i8o‘>-4"*i la différence sera la somme des erreurs , que vous distribuerez de même. A l’ordinaire, cette somme d’erreurs ne doit pas surpasser a"; dans les circonstances difliciies, on ne peut répondre de 4 à 5".
3a. On peut résoudre les triangles comme sphériques ou comme rectilignes.
Soit AB la base mesurée, elle est sensiblement un arc de cercle ; vous pouvez la changer en corde par la formule
corde AB = arc AB ■
* (arc AB)3
(rayon de la terre)* ’ vous pouvez la changer en sinus, car
sin AB = arc AB —
ï (arc AB)3 ^ (rayon de la terre)*’
Ces cordes et ces sinus seront exprimés en toises ou mètres , conjme le rayon de la terre; vous aurez ensuite (fig. 147)
corde AC
corde AB sin B sin C
corde BC —
corde AB sin A sin C
Dans ce calcul vous employez les angles des cordes ; #C ainsi connu , vous calculez de même les cordes BD et CD , et ainsi de triangle en triangle jusqu’à la Gn. Vers la Gn , si vous avez mesuré un côté de votre triangle, c’est-à-dire une seconde base, vous comparez le côté calculé avec la base mesurée; ainsi à Perpignan j’ai trouvé que la base calculée d'après celle de Melun, différait de 10 pouces, de la base effectivement mesurée. Ces 10 pouces étaient la résultante de toutes les erreurs commises dans les mesures des bases,
dans les angles et les calculs des 60 triangles qui joignaient ensemble nos deux bases.
33. Pour calculer les triangles comme sphériques , on emploie les angles réduits à l'horizon et corrigés de l’erreur des observations ; vous avez alors
. sinABsinB . sin AB sin A
sm AC — : — — et sin BC = ■ : — — — , etc.;
sinC
sin C
tous avez ainsi les sinus de tous les côtés de vos triangles , vous pourrez de nouveau les convertir en arcs ou en cordes , à votre volonté. J’ai donné dans la Base du système métrique des tables commodes pour ces conversions.
3 4- Il arrive rarement que les deux bases soient l’une le premier, l’autre le dernier côté de la chaîne des triangles; mais peu importe , on peut toujours , en partant d’une des deux bases , calculer tous les triangles; on peut même prendre pour unité le premier côté , et calculer en parties de cette unité les triangles suivans, jusqu’à la base qui vous fournit un logarithme constant à ajouter à ceux de tous les côté* précédens.
35. Quand tous les triangles sont calculés, il s’agit de trouver en quel sens la méridienne les traverse, et quelle est la longueur de cette méridienne. On ne peut y parvenir qu'en faisant d’abord des observations azimutales qui donnent l'inclinaison des côtés AB et AC par rapport à la méridienne AM ; les observations azimutales sont même nécessaires pour diriger les triangles dans le sens de la méridienne.
Le moyen le plus commode serait d’avoir une lunette méridienne , de la placer exactement dans le méridien , par moyens donnés ("VII. 9. i4-) , de placer ensuite un signal dans la direction AM de la lunette, et de mesurer directement l’angle BAM ; d’où l’on conclurait MAC et par suite le* angles c, b, c, d , etc. de la méridienne, avec tous le* côtés et même les parties A a, ac , bc , etc. de la méridienne.
36. On peut déterminer la direction de la méridienne par des azimuts avec le cercle de Borda. On commence par bien régler sa pendule sur le teins vrai , par des hauteurs absolue* du soleil : on observe une vingtaine de distances du soleil au zénit; on les réunit quatre à quatre. On prend la moyenne arithmétique de ces quatre distances et celles des terns coi>
respondaos de la pendule ; on calcule la distance du soleil au pôle ; et comme la latitude est censée connue , on a les trois côtés d’un triangle sphérique : on calcule l’angle au pôle que l’on convertit en tems. Ce tems , comparé à celui de la pendule , donne la correction de l’horloge. Les mêmes opérations, répétées plusieurs jours, mettent l’observateur en état de connaître le tems vrai et l'angle au pôle pour un instant quelconque de la journée. Cela posé, soit G le signal dont on veut connaître l’azimut. Vous prenez vers 6 heures du matin ou du soir, un peu avant et après, nombre de distances entre le soleil S et le signal G dont vous connaissez la distance zénitale ZG ; vous assemblez ces distances quatre à quatre, et vous en prenez la moyenne. •
Vous connaissez PZ , PS' et ZPS'; vous calculez ZS' distance vraie : vous en retranchez la réfraction moins la parallaxe; vou* avez ZS, ZG et SG distances observées; vous pouvez calculer SZG et PZS=PZS', d’où ISO = PZO =PZS'— S'ZG } NO est l’azimut du point O ou du signal G compté du point nord de l’horizon; MO = i8o° — NO est l’azimut compté du midi, MO mesure l’angle que fait la méridienne avec le signal G du côté du sud de l’horizon.
Vous traitez de même tous vos groupes de quadruples distances , le milieu entre tous les résultats sera l’azimut le plut probable.
L’exactitude de cet azimut dépend du tems ; une seconde d’erreur sur le tems peut dans nos climats produire 10" d’erreur sur l’azimut. Dans l’expression de cette erreur entre la cctangente de l’angle horaire. A 6 heures cette cotangente = o ; elle était positive avant 6 heures, elle était négative après 6 heures , les erreurs se compensent et d’ailleurs sont légères; et après tout, la dernière précision n’est pas nécessaire : une erreur de 20" sur l’azimut n’altérerait pas sensiblement la longueur d’une méridienne d’un million de mètres.
67. On peut déterminer l’azimut par l’étoile polaire , et principalement par ses plus graudes digressions. On connaît FZ
6oo ASTRONOMIE.
et PE, cos ZE == cos PZ cos PE , ZG et GE qu’on a mesuré» ;
sin PF
on calcule G2E, sin PZE = ■ . ; on a donc (fig. 1^9)
sin PZ
NO = PZG = PZE EZG = Nn + nO.
On pourrait avoir une lunette méridienne dans le vertical ZE, placer un signal en n à l'horizon , mesurer nG , et cal-
, cosGn — cosZncOsZG
culer (>Ln r= : — = : — •
sin Zn sin Zu
Il y a encore d’autres moyens. On peut y employer le teins où l'étoile E est dans un même plan avec P et G ; on mesure GE-, on connaît EP , PZ et PG on calcule NO = PZG par le triangle GPZ dont on a les trois côtés, mais la réfraction exige quelques attentions ; et si l’on se sert du cercle de Borda pour multiplier le» distances, toutes celles qui seront mesurées avant et après le passage en E , auront besoin de corrections analogues à celles qu on fait aux distances prises aux environs du méridien (XIII. 9). Voyez la Base du Système métrique , tome II.
Si vous observez les distances au cercle répétiteur dont une lunette est excentrique , et que vous ne soyiez pas au centre du signal , la distance observée aura besoin d’une correction (3o) ; mais la formule se réduit à un terme, parce que celle des distances D ou G qui est celle de l’astre est si grande , qu’elle rend insensible le terme où elle se trouve.
38. Le calcul de l'azimut suppose celui de la fatitude j pour la connaître, on observe un grand nombre de distances au •zénit aux deux passages d’une étoile circompolaire , et principalement de l’étoile polaire j on réduit ces distances par la formule (XIII. 9) , on les corrige de la réfraction; la demisomme des deux distances est le complément de la hauteur du pôle. Ainsi , pour 48co observations de «t et £ de la petite Ourse, Méchain et moi avons déterminé la hauteur du pôle à Paris , de 4°° 5°' 14", à moins de o",5 près. On fait la même chose aux deux extrémités de la méridienne ; la diffé-
rence entre les deux latitudes est ce qu’on appelle l'amplitude de l’arc. Le nôtre , entre Dunkerque et Barcelone , était de 9° 4°' 44">86. et 1 incertitude des réfractions pouvait à peine le changer de o",6. Pour en conclure la valeur du degré moyen, il ne reste plus qu'à calculer la méridienne.
3g. Nous avons déjà indiqué (07) un moyen bien simple en théorie, mais excessivement pénible dans la pratique. Avant nous , on employait une méthode singulièrement aisée et suffisante pour le tems où l’on avait des instrumens bien moins précis; mais on peut la rendre exacte sans l’alonger beaucoup. Soit (fig. i5o) MER le méridien du premier sommet des triangles, BC un côté incliné quelconque qu’il s’agit de réduire au méridien; abaissez les arcs perpendiculaires BE et CR qui, prolongés, se rencontreraient à leur pôle A ; ER sera le «ôté réduit , ou la partie de la méridienne qui correspond à ce côté , ER = A , M est le pôle de la terre ; menez MBF méridien du^ieu B, et BDO perpendiculaire à BE , le triangle MBE rectangle en E donne
cos MB tang M = cot MBE = cot ABF = tangFBD
ou sinH tangM = tangx;
sin BE =5 sin MB sinM = cos H sin M = si^y ;
le triangle ABC donnera
. . . sin ABC
tang ER = tang A = - — —
sin AB cot BC — cos AB cot ABC
sinABCtangBC
cos BE — sin BE tang BC cos ABC* or
ABC = 90° — CBD = qo° — CBF — FBD = 90° (z+ x) ;
CBF = z est l’azimut du point C sur l’horizon de B, l’angle que le côté BC fait avec la méridienne BF ; donc, en nommant J' la distance BC,
tangER = — tanS * *écy (s 4- *)
1 — tangiT tang y sin (z -f- x)
= tangJ'sécj' cos (z+x)
€oa
-f- tangST séc y tangy» sin (a -+- x ) cos (z -f- *) + etc.
= tang $ cos (a -f- x) ( 1 -f- tang y tang j y)
-f- tang3/ sécy tangy» sin(z+x) cos(z-|-x) -f- etc.
Négligez les puissances supérieures de tang/, et la séc. y qui diffère si peu du rayon , il restera
ER a= / cos (a -f- x) == BC cos CBD ,
c’est-à-dire le côté incliné multiplié par le cosinus de l'azimut CBD , que l’on trouvait en négligeant la convergence des méridiens. Cette formule incomplète est celle dont on s’était toujours servi.
Pour ne rien négliger, il suffit d'avoir une connaissance assez approchée de la différence M de longitude pour calculer les équations tangx = sinH tangM et sin y = cos H sin M. On voit qu’une petite erreur sur x et y serait insensible dans la formule. Il suffit de connaître aussi l’azimut a , ou même de tirer tout d’un coup l’angle (a -px) de la chaîne des triantes , en supposant les méridiens parallèles.
En effet, dans cette supposition (Gg. 147) on a
ABm = aAB , ABC -f- ABm = mBC et 1800 — mBC = «BC = (a -J- x).
quant à y, on a pour un point quelconque C (Gg. i5o),
y = CR = RD + DC = BE + RC sin (a + x)
—y + «J’sin (a + x) ;
à l’origine y = o et y' = / sin (a -f- x). Ainsi, quand on a calculé le terme / cos (a -f- x) comme autrefois , rien de plus aisé que d’y ajouter
£ /cos(z+x) tang’y -f- (/cos(z-f-x)) tangy tang J1 sin(z -f-x).
J'ai réduit ces corrections en tables où on les prend à vue. (Base du Système métrique, tome III.)
4o. Par ces moyens et par d’autres équivalens , mais plus longs, j’ai calculé la longueur totale de notre méridienne que j’ai trouvée de 55 1, 583', 6385.
LEÇON XXIII. 6o3
Nous ne nous étions pas contentés d’observer les latitudes et les azimuts aux deux extrémités. J’avais observé la hauteur du pôle à Dunkerque , à Paris et à Évaux ; les azimuts à Watten , près de Dunkerque , à Paris et à Bourges. Méchain avait observé les latitudes et les azimuts à Carcassonne et à Montjouy, au midi de Barcelone; ainsi nous avons pu partager notre grand arc en plusieurs arcs partiels qu'on voit dans le tableau suivant.
La première chose à remarquer dans ce tableau , c’est que tous les degrés vont en diminuant de Dunkerque à Montjouy, du nord au sud; il est donc certain que la terre est aplatie, ainsi que nous le verrons ci-après par l’expression analytique des degrés du sphéroïde.
La diminution, lente d’abord , paraît s’accélérer au milieu de l'arc et se ralentir vers la lin. Ou peut l'attribuer à la petite erreur inévitable dans les observations , aux irrégularités de la terre qui n’est pas un sphéroïde exact , enfin à des irrégularités locales produites par le défaut d'homogénéité de la terre , qui feraient que le fil à plomb ne serait pas partout rigoureusement perpendiculaire à la surface. J ai discuté ailleurs ces questions peut-être insolubles.
4 1. L’objet de notre opération était de déterminer le quart du méridien terrestre , dont la millionième partie devait être le mètre , fondement des nouvelles mesures.
Soit [a ce métra, C =
