AcosecA siïTÂ sin A sin(A-*-B
—asin j B cos (A -K B) sin*AcosB -f- sin A cosA sinB asin ; AA cos(A -f-^AA) sin*A cosAA.-f- sin AA cos A asin { AA cos^ AA cos A -f- asin* ; AA sin A
dcosécA =
sin A cos AA -f- sin AA sin A cos A tangAAcot Acoséc A-f-tangA Aséc^A Acosér A i 4- tang AA cotB
dA cot A cin A
84. On a souvent besoin de connaître les variations que subissent le» inconnues d'un triangle , quand les données qui servent à les calculer viennent à subir elles-mêmes quelque variation ; pour cela , il suffit de différentier la formule algébrique.
On sait que la différentielle de la formule x-=ayz-\- b est dx=x aydz -f - azdy ; que la différentielle de la formule
la différentielle des constantes est dj que le procédé consiste à différentier chaque terme d'une quantité, en supposant tous les facteurs constans, à la réserve d’un seul j que l'on fait ainsi varier successivement toutes les quantités qui ne
LEÇON V. ia3
«ont pas constantes. Mettez pour x,y, z les différentes lignes trigonométriques , et vous aurez ainsi par parties la différentielle totale d'une fonction trigonoraétrique. Plusieurs * auteurs ont donné des collections plus ou moins amples de formules différentielles pour les différentes parties des triangles. J'en ai donné moi-même une suite plus complète encore, mais je n’en ai jamais fait d’usage ; c’est pourquoi je la supprime ici.
Réfractions.
i. Nous avons reconnu que les étoiles reviennent constamment au méridien à des intervalles égaux , que nous avons partagés en 24 heures sidérales; qu’elles gardent sensiblement la même distance polaire pendant un tems assez considérable, et qu’elles reviennent encore après des intervalles égaux, à une même position sur leur courbe diurne. Ainsi les trois côtés du triangle sphérique PSZ étant constans pour le même point de cette courbe , l’angle au pôle entre la méridienne et le cercle de déclinaison est toujours le même pour une même distance au zénit, et réciproquement.
De cette régularité constante nous avons conclu que les étoiles tournent uniformément autour du pôle du monde, ensorte que les angles au pôle croissent d’une manière proportionnelle au tems, et en raison de >5° pour une heure sidérale. C’est ce qu’il s’agit de vériGer.
a. Si nous connaissons PZ distance du pôle au zénit, et PS distance polaire de l’étoile, nous pouvons observer ZS distance de l’astre au zénit, nous calculerons l’angle ZPS , et nous verrons s’il croît comme les tems écoulés depuis le passage au méridien.
3. 11 faut donc d’abord déterminer PZj rien de plus simple, mesurons les distances zénitales d’une étoile circompolaire, à ses deux passages au méridien, nous aurons
au passage supérieur N = PZ — A, inférieur IS,= PZ -|- A j
d’où
N-f-N'= flPZ et PZ = Î(N + N').
En cherchant ainsi PZ successivement par plusieurs étoiles , on a trouvé à Paris ,
Dist. polair. Variation.
Par l’étoile polaire 4i° 9' io' r°44' „„
Par iS de la petite Ourse. . 41 • 9- 3 i5. 3 ^ I
Par a. du Dragon 4l- 8-47 a4-4l * ^°Ur ?
Par <t de la grande Ourse. . 4i- 8-4ü 27.12 r
Par la Chèvre *,.57.5o 44-53 65° P“"r ‘7 >'
Ensorte que la somme va toujours en diminuant à mesure que l’étoile est plus éloignée du pôle , et que la diminutiou est d’autant plus rapide que les distances polaires comparées sont plus grandes. Les étoiles tourneraient-elles autour de différens pôles , ou bien y aurait-il une cause inconnue qui rapproche les étoiles du pôle dans leurs passages inférieurs , et cette cause aurait-elle un effet j>lus sensible à mesure que l’étoile est plus voisine de l’horizon? Nous nous convaincrons que cette dernière explication est préférable en prenaut la différence de déclinaison dans les passages supérieurs et dans les passages inférieurs. Ces dernières seront toujours plus petites ; ainsi la chèvre et et de la grande Ourse paraissent différer en déclinaison de q' de moins au-dessous du pôle qu’au-dessus. D’où nous conclurons que la chèvre et a. sont élevées par la cause inconnue, de deux quantités dont la différence est g'. La différence est beaucoup moins sensible pour les étoiles plus voisines du pôle.
4- Pour trouver de combien est altérée chaque distance au zénit , observez la chèvre au passage supérieur ; à sa distance zénitale, ajoutez 4i° 9' 10"; pour avoir la distance po-
LEÇON V. ia5
laire, je choisis 4*° 9' 10* comme la quantité la plus probable entre celles que nous avons trouvées , parce que l'irrégularité est moindre pour l'étoile polaire que pour toute autre.
Connaissant ainsi PZ et PS et l’angle P pour le tems écoulé depuis le passage, nous calculerons ZS , que nous comparerons à l’observation. Observant ainsi la chèvre vers 45“ de distance zénitale , nous trouverons la distance calculée plus forte de 1' que la distance observée; à 64° nous trouverons a' ; à 72*, nous trouverons 3' ; à 76° 4°' » nous en trouverons 4 ; à 79° 5, 5, et environ 12' à 86°.
Si nous prenons ensuite une étoile plus éloignée du pôle , nous trouverons ver» 90° que la différence est de 33'.
5. Il s’agit de chercher la cause de ces irrégularités des distances zénitales , car si nous calculons en même tems tous les azimuts , nous ne trouverons aucune différence appréciable entre le calcul et l’observation , d’où il résulte que l’effet est toujours produit dans le plan vertical.
Ptolémée , dans son grand traité d’astronomie (l’Almageste) , paraissait avoir complètement ignoré cet effet ; mais dans son Optique, dont la Bibliothèque impériale possède la traduction latine, il en a donné une explication naturelle et satisfaisante , adoptée aujourd'hui par tous les astronomes.
6. On sait qu’en passant d’un milieu d’une certaine densité dans un milieu d'une densité différente , la lumière change de direction.
Nous observons que l’œil placé en O (fig. 44 )> ne peut appercevoir un objet E placé au fond d'un vase FHGB, si le rayon direct EBA passe au-dessus de l’œil; mais cet objet devient visible si l’on remplit d’eau le vase , parce que le rayon EB s’infléchit en B et prend la direction BO , ensorte que nous voyons l'objet E sur le rayon OBD, comme s’il était réellement en D. Réciproquement un œil placé en E ne pourrait voir que l’objet A si le vase était vide et non transparent ; mais il verrait l’objet O si le vase était rempli d'eau, il le
iaS ASTRONOMIE.
verrait en A , c’est-à-dire , rapproché de la perpendiculaire AZ d’un angle ABO, qu’on appelle angle de réfraction.
7. Ptolémée avait mesuré .les angles de réfraction pour tous les degrés d’inclinaison ZBO de 10 en 10 degrés, et sa table est sensiblement la même que celle qui résulte des expériences de Newton. Snellius et Descartes ont remarqué qu'il existait un rapport constant entre le sinus de l'angle d’incidence ZBO et le sinus de l’angle rompu ZBA. J’ai calculé, d’après les observations de Ptolémée , que ce rapport est celui de 4^3 en passant de l’air dans l'eau, de 3 : a , en passant de l’air dans le vide. Newton explique cet effet par une attraction proportionnelle à la densité des milieux ; le mouvement oblique TM (fig. 4b ) se décompose en un mouvement UK parallèle à la surface du milieu plus dense, et en un mouvement KM perpendiculaire à cette surface. Ce dernier est accéléré par l’attraction du fluide aqueux, etdevient KN ; VM devient UN, or
UN ÜM:
sin M sin PUM
sin (PÜN+MUN) sin N sin PÛ'N sinPUN
sin (ZVL'-f-MUN) sin (N-f-r) sin N cos r-f-cos N sin r
sin Z VL' sin N
= cos r-f- sin r cot N = n = constante
sin N
tang‘ l r-
1 — t ang* ~ r , 2 tang1 - r
* 1 +tanga i r + 1 -f tanga J r
2 tang £ r cot N f\ — ii
cot N , d’oii
Ainsi la formule de réfraction est de la forme
tang ;r = A tangN-j-B tang1 N-f-C tang5 N-f-etc.
N étant l'angle du rayon rompu avec la perpendiculaire à la surface réfringente.
8. Ptolémée imagina donc que la lumière venant des astres , ayant eu à traverser l’éther, qu’il supposait moins dense et
moins grossier que l’air atmosphérique .devait en entrant dans l’air, éprouver une réfraction qui rapprochait l’astre du zénit. Mais cette idée de Ptolémée resta ensevelie avec son Optique. Alhazen la reproduisit, mais ni Ptolémée ni Alhazen n’entreprirent de déterminer la quantité des réfractions.
9. Tycho qui s'était aperçu que la hauteur de l'équateur , déduite des deux solstices, n'était pas le complément exact de la hauteur du pôle , avait tenté de déterminer la réfraction qui convient à chaque distance zénitale; sa table ne suppose aucune formule , sa réfraction est de 34' à l’horizon , elle n’e>t déjà plus que de 5" à 40°, et plus haut il la supposait nulle, au lieu que Ptolémée dit expressément qu'elle ne doit cesser qu’au zénit.
10. D. Cassini supposa l’atmosphère sphérique, ainsi que la terre, et , le premier entre les modernes , il établit une hypothèse régulière.
11. Soit CO (fig. 46) le rayon de la terre sphérique, OB' la hauteur de l’atmosphère CB = CB' le rayon de la courbe supérieure, D un astre vu à l’horizon astronomique, c’est-àdire, à 90° du zénit Z de l’observateur en O. Le lieu D n’est que le lieu apparent, l’a$tre sera plus bas , en A par exemple; ABE sera l’angle d’incidence ou l’angle que fait le rayon lumineux avec la perpendiculaire DE ; DBE l’angle rompu ; on aura
sin ABE sin (DBE-f-R) sin (OBC-f-R)
n sin DBE sin DBE sinOBC
= cos R =sin R cot OBC = cos R 4- sin R tang u
R étant , comme on voit, la réfraction horizontale , et u=OCB — ZOD — EBD = distance du zénit E au zénit Z.
Soit 1 = CO = rayon de la terre;
CB = CB'=sec u=i + tang u tang ± u,
OB = hauteur de l’atmosphère = tang u tang j u’;
OE = tang u; c’est la demi-corde horizontale de l’atmosphère.
12. Soit un autre rayon FG, rompu de manière que l’astre paraisse sur le rayon HGO ; FGI sera l’angle d’incidence, HGI
ia8 ASTRONOMIE.
] angle rompu, et Ton aura
sin (HGI-f-r) . ur. sin ( y-fr)
n= — . — - = cosr-HinrcotHGI = ' — -,
sin HOl sm^
d’où ain (y4-r) = n sin y\ mais on a
CG : CO : : sin COG : sin OGC =(^§) 8‘n COG
= (g).i» G°z=(^) ,i„ N= (g) ràN
t= sin GBO sin N=cos u sin N=sin y;
sin N — sin y = a sin1 ÿ u sin N ;
a sin ÿ ( N — y ) cos ÿ ( N +y ) =: a sin* ÿ u sin N ;
sin ( y — r ) = n sin y = ( cosR -+- sinR tangu)cos u sin N
= (cos R cos u -J- sin R sin u ) sin N = cos (u — R) sin N.
i3. Tout dépend donc de cet angle u, en place duquel Cassini emploie la hauteur de l’atmosphère =A = OB' = tangutang ÿu; il la détermine par des essais successifs.
n„ . __ sin Ç,y + 0 j r+ j r)
sin y ~»in(y-fi r— i r)
sin(^ + ÿ r)cos|r-f- co» (y 4 -jr) sin £ r sin (jf-f-y r) cos ; r — cos ( y — ÿ r) sin j r i -f-tang ÿ r cot (y + j r) r — tangircot (jf + | r)’
, ,, i i % n~‘ï sin R tang r/ 4- cos R — i
a J n-f-i sin R tang u +cos R-f- »
— a s‘n î R cos ï R tang u — a sin1 ÿ R a sin ;R cos { R tang u 4- a cos* ÿ R
= tang- Rrtan?U~taD6~*-RNi g‘ \i4-tang u tangÿ R /
= tang -i R tang ( u — ÿ R),
tang i r = tang i R tang ( u — [ R) tang (j- + i r ) ,
r = 58" 7265 tang (y + 5 r )
= 58', 7265 tang (N — a.) j
en faisant x = ( N — y — 5 r ),
14. Ainsi la théorie de Cassini conduit à une équation où l'on Voit que la réfraction est proportionnelle à une constante multipliée par la tangente de la distance au zénit, diminuée d'une variable qui dépend de la réfraction même que l’on cherche, et qui variera avec la distance et la réfraction. Si nous nous arrêtons à la formule r =p tang (N — qr), la réfraction dépend de deux constantes que donnera l'observation j l’une sera p=z Rtangfu — j R), l’autre , q facteur de r dans l'arc
(N-qr).
En supposant , comme Cassini , R. — 3a' 20" et r= 5' 28* à 8o° de distance au zénit, j’ai trouvé u — a” o' ta", d'où h= tang u tang ~ u z=z 0.00011 58 pour le rayon CO 1 ; mais si nous faisons CO =3271200 toises, nous aurons h = aOooT 4; Ca»sini supposait aooo.
15. Il est bien sur que l’atmosphère surpasse de beaucoup aoooT, puisqu’on peut vivre et respirer .sur le Mont-Blanc, qui en a 2400, que M. Humboldt s’est élevé, au Pérou, à plus de 3oooT, et que M. Gay-Lussac s’cst élevé en ballon à 3Goo ; mais il faut considérer que l’air est un fluide élastique dont les couches inferieures , affaissées sous le poids des couches supérieures , sont d’une densite plus grande -, que la densité va ainsi en diminuant graduellement depuis la surface de la terre , jusqu’à la hauteur où l’air n’a plus assez de densité pour produire une réfraction sensible ; que le rayon de lumière rencontrant sans cesse des couches plus denses, s’infléchit continuellement ; que la route de la lumière , au lieu d’être rectiligne , comme le suppose Cassini , doit être une courbe ; que nous devons voir l’astre sur la tangente de la courbe ; et qu’en supposant la route rectiligne , Cassini supposait tacitement une atmosphère d’une densité constante et moyenne, et que son atmosphère de 2000T équivaut à nôtre atmosphère dépouillée de son élasticité etrameneeà cette densité moyenne et constante. La formule de Cassini ne peut donc être qu’approximative ; niais son hypothèse donnait , par des régies simples, des réfractions sensiblement exactes, surtout pour le tems.
l3o ASTRONOMIE.
îS. Bradley donna sans démonstration la formule r= hf* tang (N — 3r) , formule toute semblable i celle que je tire de l’hypothèse de Cassini , excepté que le facteur 3 est constant , au lieu que le facteur q était variable.
Tous les astronomes adoptèrent la formule de Bradley ; Simpson , Boscovich et Duséjour , en partant de quelques hypothèses physiques non démontrées , donnèrent la formule m sin N = sin ( N — nr ).
Supposons N = go* ; r deviendra la réfraction horizontale R , nous aurons m = sin ( go° — nR ) “ cos nR et la formule sera cos nR sin N — sin (N — nr ) ,
d’où 1 : cos nR :: sin N : sin ( N — nr ) ,
l -f cos nR : i — cos nR ” sinN-+-sin(N — nr) : sinN — sin (N — nr) ,
i : tang* >R:: tang ( N— i nr ) : tang ± nr,
tang i nr = tang \ nR tang i nR tang (N — i nr) (a)
ou r = p tang ( N — qr ).
17. C’est toujours à peu près la formule de Cassini. En développant la formule (a) , on obtient
tang* i nr -f- ^
et
1 + tang* 7 nR
'■jf—) tang ï "R = tang» \ nR ,
tang£nr=-
cot N
uc os cot N
N / cot* N . ,, „V
Soit tang x = sin nR tang N , notre équation devient
cot N tang x tang Jx cot N sin nR tangN tang; x
tangj nr — 2 cos’jnR — a cos» £ nR
sin nR tang £ x a sin î nR cos i- nR tang j x
U cos* ~ nR a cos* i nR
= tang i nR tang jx; et r= R tang J x ,
sans erreur de plus de o*,oc3 même à l’horizon , ensorte que
LEÇON V. i3i
le calcul se réduit aux formules suivantes qui ont toute l’exactitude que comporte cette hypothèse ;
tang x— sin nR tang N ; r = R tang £ x , et r =R cot J x ,
r et / sont les réfractions pour les distances zénitales N et i8o* -—N ; cette dernière est toujours la plus forte et les réfractions vont toujours en augmentant même au-dessous do l’horizon.
