Soit a l'effet de l'attraction à la distance moyenne; à
la distance V, il sera et l'on aura, si la courbe est un cercle ,
£ = iVT‘ou a=iV3T\
si — ; VT* le soleil descendra plus bas que
l’arc circulaire; il entrera dans le cercle on aura dans ce cas a > j Y3 T* , la courbure sera plus grande que celle du cercle,
si ^ < ïVT* on a <C i V3 T*, le soleil ne descendra
pas jusqu’au cercle , la courbure sera moindre que celle du cercle ; mais quelle que soit cette courbure , les aires seront toujours égales en tems égaux (fig. 7S).
29. Soit en effet T la terre, ab le petit arc décrit par le soleil en une heure ou une minute; sans l'attraction le soleil dans la minute suivante décrirait bc = ab et le secteur éTC serait égal au secteur aTZ>; mais une force magnétique pendant qu’il décrit bc tend à le faire tomber en u de la quantité bu, il ne décrira donc ni bc ni bu\ achevons le parallélogramme budc , il décrira la diagonale bd, il décrira le secteur bTd=brTC ; car ces deux triangles ont même base Z>T et les sommets c et d sont dans la ligne cd parallèle à la base, les hauteurs sont donc égales comme les bases, les aires sont donc égales; donc b'Yd = ZiTC = cTô ; donc s'il y a une attraction, les aires seront encore égales comme s'il n’y avait pas d'attraction , mais l'attraction rend la route curviligne.
30. Il est évident que bd > bc ou bd^> ab , donc l’attraction accélère le mouvement , du moins quand l’angle Tic de la tangente avec le rayon vecteur est aigu ; si cet angle était obtus, la diagonale serait plus courte que le côté, le mouvement serait retardé sur la courbe.
Dans l’angle aigu l'attraction accélère le mouvement angulaire en diminuant le rayon vecteur; car bTd^> bTc -, dan*
LEÇON X. a37
l'angle obtus le mouvement angulaire se retarde, et le rayon •vecteur augmente.
3i. Dans tous les cas l’attraction rend le mouvement inégal *ur la périphérie ; Képler avait donc heureusement choisi «n plaçant l'uniformité dans les aires et non dans les arcs.
La nature de la courbe dépendra du rapports à ; Y3.
Cette égalité des secteurs est ce qu'on appelle la seconde loi de Kepler , la première est l'ellipticité des orbites.
3a. La troisième loi est tout aussi remarquable et n'est pas plus difficile à démontrer.
Dans le cercle dont le rayon est V on a
Dans un cercle dont le rayon serait V' on aurait a— j V'3 T'* par la même raison, car a est la même quantité pour les deux corps qui circulent autour de la terre ou du soleil; on aura donc
Y3T* = Y3T\ ou Y3 : V'3 :: T7* : T*;
donc les cubes des distances sont comme les carrés des mouvemens angulaires dans un meme tems , dans une heure , par exemple.
Mais les tems des révolutions entières sont en raison inverse des vitesses angulaires dans un même tems, car les 36o° de la révolution entière exigeront d'autant plus de tems, que le mouvement horaire sera moindre. Soient R et R' les deux révolutions ; donc
donc les carrés des tems des révolutions sont comme les cubes des distances, quand deux corps décriront des cercles inégaux autour d'un même corps doué d'une force attractive en raison inverse du carré des distances.
33. Substituons deux ellipses inscrites aux deux cercles , la révolution dans l’ellipse aura même durée que dans le cercle , la seule différence est qu’elle ne se fera pas d’un mouvement égal ; la planète regaguera vers le périhélie ce qu’elle
atrra perdu vers l'aphélie. La troisième loi de Képlei donavraie pour l’ellipse comme pour le cercle.
C’est ainsi que Newton a démontré les deux dernières lois que Kepler avait découvertes, par de9 essais qui exigèrent des calculs immenses, et qu’il n’avait appuyées que de preuves très-peu concluantes, pour ne rien dire de plus. Aussi les astronomes ont-ils été fort long-tems sans les adopter , du moins avec une certaine coniiance.
3 4- Cette troisième loi de Kepler s'est trouvée vérifiée d’une manière admirable, quand on a supposé le soleil immobile au foyer commun de toutes les ellipses planétaires; elle n’avait pas lieu dans le système qui faisait de la terre le centre de tous les mouvemens ; autre raison de la faire rejeter par tous ceux qui n’admettaient pas le mouvement de la terre; mais dans le système de Tycho, qui fait tourner autour du soleil toutes Jes planètes , excepté la terre, la loi de Képler aurait lieu pour ces mêmes planètes, comme elle a lieu dans les satellites de Jupiter, dans ceux de Saturne et dans ceux d'Uranns.
"Voyons maintenant comment l’égalité des aires en tems égaux nous fera trouver toutes les circonstances du mouvement elliptique (fig. 77).
35. Sur le grand axe AP décrivons un cercle AKP circonscrit à l’ellipse sur laquelle l'astre circule ; soit M la position de l’astre , ASM sera l’anomalie vraie , c’est-à-dire la distance angulaire vraie à l’apogée.
Soit X le lieu d'un astre qui décrirait le cercle AKP d'un mouvement égal , ACX sera l’anomalie moyenne ou la distance angulaire de cet astre au point de contact de l’ellipse et du cercle ; menons l'ordonnée NMR , et nous aurons par la loi des aires proportionnelles au tems ,
ACX : ASM :: surface du demi-cercle : surface ~ ellipse
:: ck : cd :: nr : mr :: asn : asm-,
donc »*
ACX = ASN = ACN -f CSN ;
donc
j^EÇON X. ’ a39
. i AX = i AN + ICS. NR,
AX = AN -fCS.NR, ou
z =5 x -f- e îin x ;
* est ce qu’on appelle anomalie excentrique , e = excentricité ; z est l’anomalie moyenne.
Cette formule est de Kepler; elle est la base de toutes les solutions postérieures.
36. x étant supposé connu , ainsi que l'excentricité , on aura donc z par un calcul facile; mais z étant donné, on ne peut en conclure x que par tâtonnement; ce problème est connu sous le nom de problème de Kepler.
Soit le demi-grand axe = i , le demi-petit axe —b, SM = V , l’anomalie vraie ASM = u. On aura par la propriété de l’ellipse SD = i ,
Le triangle SCD donne = i — e*.
Le triangle SMR donne
SMa= MR*= (e -f- cosx)J -f~ i’sin’x
= e* -f- ae cosx -1- cosax -f- iasinax = e* -j- ae cosx-f- cos*x -f- sin’x — e* sinax = i -j-eacosax-f-aecosxc=:(i + ecosx)a, et
V = SM = i -f- e cos x = CN -f- CT = NT.
Cette formule est encore de Képler.
37. Le triangle rectangle STN donnera SN* = (e-f-cos x )* -f- sia*x s= e* -f- ae cqsx +cos*x -f- sin*x = 1 -f- ea 4- ac cos x ; le triangle rectangle SRM donne aussi
MR = Y sin u = b sin x , d’où Y =
b sin;
sin u
MR
*“6»= SIt
b fin x
V sin u
«fou
cos u =
e -f- cos x " cosx ’
e -4- cos x e -f- co.« x
Y i -f- ecosx*
b sinx (i — e*)*sin x
gin u = — : — ; }
