Ces deux séries donneraient l'équation du centre pour

x et u ; mais il faut l’avoir en fonction de z.

Or l’aire d'un secteur elliptique décrit dans un instaDt très-

court, est i V* du j l’aire du cercle circonscrit décrite dans le

même instant, serait £ dz $ l’aire elliptique correspondante est

, ,, , , ,, bdz bdz( i — ecosu)*

\ bdz ; donc Y* du = bdz et du—~~ —

^ =ù— 3(t— aecosu-}-e*cos*f/)=i—!(i— 2ecosu-f-}e*-f-5e*cosau), uz

i -f j sin* e — a sin ? cosu-f- ^sin3 1 cos 2 u. cos"’ *

On se sert de ces diverses formules poftr calculer le mouvement horaire vrai des planètes.

4 5. De l'équation

dz=- — — = (i — e*)*du( t — ecosu)-*,

(i — ecosu)*

on tire une formule

dz = du (i-}-a cosu+ b cos au-f- ccos3 u -f- etc.) ; d’où , par l’intégration , il viendra

s = u -f- a sin u + 5 b sin au -f- 5 c sin 3u -|- etc.

Cette équation a été développée par M. Cagnoli jusqu’aux e3; il a trouvé

•-» = (j °‘+g e,+ée‘+ ^3 *■) “ au + G + S *s+ iV + *’) “ 33

+Æe4+êe'+^*')'i°4“

+G;‘s+Ae,+lr’)!i°5“

+ (^e‘+TBe‘)*i”6“-

+(3Se’ + ïisc,)!i"7"

+ â— e8^ sin 8u \ioa4 /

Toutes ces formules se rapportent à l’apside supérieure; pour les rapporter à l’apside inférieure , lisez ( u — z)=2esinu — etc. , en changeant les signes des ternies pairs.

46. Il faut changer cette série en une autre série qui dépende des sinus des multiples de z; c’est-à-dire, étant donné la série

a sin u + b sin au + csin3u -f- etc. , trouver la série égale

A sin z B sin az -f- C sin az -f- etc. ; en différentiant vous aurez

du

( a cosu + ai cos2u -f 3c cos3u + etc.) ^

= A cosz -f- aB cos as -f- 3C cos 3z -f- etc.

Substituez pour ^ sa valeur donnée ci-dessus (44) et réduisez, vous aurez

<4 cos u -f- b' cos a u -4- r' cos3n --f- etcé = A cos î -f îB cos as -f- 3C co?3s -f- etc.

Faites successivement u r= o , u = tPo°, ce qui donne en m<me tems s=o ou z=i8c°, vous aurez les deux équations suivantes :

a'-f é'-j f'|etc.= A-4-aB-f-3C-fetc.

— c'+etc.— — A4- aB — 3C-)-etc.

= aB -f- 40 -f €F = i somme, a'-f-c'-f- e'-f-g-' — A -j-3C -f- 5E -f- 7G -f- etc. *= ; difTér.

Différentiez de nouveau deux fois de suite l'équation (a) , en y

substituant à chaque fois la valeur de ^ ; dans l’équation

qui en résultera, faites successivement u— o et u— 180° vous aurez deux nouvelles équations du même genre que les précédentes ; en continuant de même vous aurez des équations au nombre de 6, 8, 10, ta, etc., d’où, par l’élimination , vous tirerez les valeurs des coefficient A, B, C, etc.

47. M. Lagrange a donné une méthode plus savante; M. Oriani l’a modifiée de manière à en tirer l’équation algébrique des divers coefliciens; mais malgré les efforts des plus grands géomètres , les développemens sont d’une longueur exceesive. Au reste , ces calculs sont faits et vérifiés ; voici la formule numérique de M. Oriani.

a do

— (zc V , 5 ,5 ■ 1Q7 cM g3'7 c. ■ . 565879 C„N

sia s

\aa.3

/io3

isin3a

"t\2*73c as . 3 . 5e "^a*.3*.S

4ia3

Va^.o-B 29.3* a,J.3 .7 a'7 .33.7 J

wLj+Tgljo-

ia 6a

^iZ^e:IZZ^3+535^c,,Vin

\29.3a.7 aM. 3**5 al7.3*.5 ) '

-V( »*** c» iZ4H8-3-e‘°- ^’ffl-cAin 8-

/ loGGiqq3 g^ioiSSSqSi n\

c.q- 7697245? c„Vi£

\a“.3*.5.7 2,,.3*.7.ii /*

^ 63o3q5iaioi

Jsin g&

b3o3q5i2TOi \ ,

>ia 1 is

in iaz.

48. Par des moyens analogues, M. Jeaurat a trouvé la formule de Y en fonction de u :

îs5i

v=-ï*^(— i'+îlî'-^î')

-Ge,-3',+réc‘-îfce')