COS2Z

logY=logM+Ki

ioo3n

«fi? b

,8^ cos 4 z.

cos 5a

/ 355oRi

q86oOQ „ , ^-^e9jcos7a

~^\al5. 3 ■‘.5. 7 /

cos 8a

cos ga.

5i. Ces séries peuvent servir dans quelques rechercher analytiques, et alors on se contente des terme» principaux y. elles peuvent servir pour calculer des tables , d’une manière très-uniforme , mais bien longue encore. J'en ai déduit des formules plus expéditives.

Nous avons

E 3= a sin a -f- b sin as -f- c sin 3a -f- d sin 4s + etc:

E'= a sin a' -f- b sin aa' -f- c sin 3a' -f* ^ s*n 4*,-H etc* ;

d’où

E'-— E = AE = aa sin 5 (à' — a) cos £ (a'+ a)

-f- 2 b sin 7 (a’ — a) cos l(*'+s)

-f- ac sin § (a' — a) cos s (a'-f- a) -f- etc,. = aa sin - Aa cos (a -f ÿ Aa)

+ 2^8inîAacos~(a+5Aa) -f- etc. \

LEÇON X. a55

par des procédés semblables ,

AE— AE,=A3E=4asin*-jAzsin(2-f-Az)-f-4isin1jAzsîn(z-4-Az).'

Au moyen de cette dernière formule, vous ferez une table des secondes différences de degré en degré de z, à commencer de 2 = 0.

Vous calculerez, par la première, les premières différences de 3o en 3o*, en commençant à z = o. Vous remplirez les intervalles au moyen de la table des secondes différences.

Quand 2 = 0, E = o; quand 2=180°, E=o; en partant de ces deux points , on arrive , par des chemins contraires, à la valeur de E pour 90°; on trouvera la même valeur si l'on a bien opéré , et toute la table sera vérifiée. Cette méthode m'a complètement réussi pour Mercure.

Si l’on veut interpoler ensuite, de 10 en 10', on le pourra par les formules, AE et A“E , qui seront alors bien plus convergentes , parce que £AZ sera de 5' au lieu de 3o'.

"Vous aurez de meme

A logV =2asiniA2sin(2-f- ±Az) -f ab-i'm ’Azsina(z4- ïAz)-f-etc .

AslogV=4a“sinaiAzcos(2+Az)4.4AasiriîA2COS2(z-HA2).

5a. Dans les recherches précédentes entreprises pour arriver au calcul de la marche inégale du soleil dans son ellipse , nous avons pu prendre pour unité le demi-grand axe de l'ellipse, et nous continuerons de faire de même, quand nous parlerons du soleil; pour les planètes, nous appellerons a le demi-grand axe, b le demi-petit axe, et nous aurons b = a coss, l’excentricité e = asin<.

L’angle e est l'angle formé au sommet du petit axe par le rayon vecteur, ou CDS (fig. 77). On nomme paramètre la double ordonnée qui passe par le foyer. Soit a p le paramètre, nous aurons la valeur de p en faisant u=o dans

- , ,r ne os*« *

la formule Y = = acos’e.

1 — a sine cosu

Quand il s’agit du soleil, il est indifférent de compter de l’apside supérieure ou inférieure. Four les planètes et les

a5 4 ASTRONOMIE,

comètes surtout , il convient de compter de l’apside inférieure j alors

. ,, acns't

z ~ x — e sm x , V — 1 — e cos x =s — ■ — .

1 + siu e cos u

53. Pour trouver l'anomalie moyenne dans une ellipse quel* conque, nous aurons recours à la troisième loi de Kepler, qui dit que les carrés des terns sont comme les cubes des

demi-axes, ou a2 Z a ’ ” T I T'.

Soit pour le soleil a' = î et T' =365,a56364, teras que le soleil emploie à revenir au même point du ciel, nous aurons

= et T=a".365,a563b'4.

T sera le tems de la révolution; soit m le mouvement diurne moyen ,

3Go° !m =

Soit t un nombre de jours quelconque ; le mouvement moyen pour ce nombre de jours sera

3548", 167S t et . .

5 xz —t — z —x — smssinx;

nous aurons pour l’aire double du secteur elliptique ,

Y ldu — abdz ;

en intégrant,

.T 7 , £r*COS«cf ■; . J —

J\‘du = abz — s — = a cos f et— et y p ;

ce sont autant d’expressions de l’aire elliptique pour unnombref de jours.