L.IH.l-.t». ...... .ITT- 1- c

Figure 18.

indéfinie MN, qui sépare l'atmosphère ambiante de la masse gazeuse limitée du tuyau, est condensée dans le sens de la flèche. — Cette condensation de la couche MN détermine nécessairement une dilatation des couches d'air contiguês du tuyau, mais évidemment le sens du déplacement de ces couches reste le niême. — Par conséquent, la réflexion de cette impulsion incidente sur la couche gazeuse indéfinie MN

transforme l'impulsion condensante en une impulsion dilatante, sans changer le sens des vitesses élémentaires des couches d'air du tuyau. — Par la même raison, une impulsion incidente dilatante est transformée, par sa réflexion sur MN, en une impulsion condensante j sans que, d'ailleurs, le sens&&s> vitesses élémentaires des couches d'air du tuyau soil changé.

Cela posé, soit {ab, bc, cd, de, ef) (fig. i9) un

\ If^ J/

Figure 19.

système d'ondes incidentes engagé dans un tuyau AB ouvert par les deux bouts. Du moment que la réflexion sur la couche gazeuse indéfinie MN transforme toute condensation en dilatation, ^^ vice versa ^ sans changer le sens des vitesses élémentaires des couches d'air du tuyau, le système des ondes réfléchies peut être remplacé par un système («6, §7, 7^, 5e, cç) d'ondes alternativement dilatantes et condensantes qui pénétrerait dans le tuyau par l'extré-

YIBRâTIOiNS des gaz. 101

mité A en même temps que le système des ondes incidentes s'écoule par le même orifice. — Dans chacun de ces deux systèmes qui se croisent sur la couche indéfinie MN, les flèches indiquent le sens des vitesses élémentaires.

En suivant la propagation simultanée de ces deux systèmes d'ondes dans l'intérieur du tuyau AB, comme nous l'avons fait dans le cas du tuyau fermé par un bout, on arrive facilement à démontrer que les couches situées en «, 6, c, rf, e^ f n'éprouvent ni condensation ni dilatation, sont animées de vitesses de sens alternativement contraires et d'intensité maximum^ sont des ventres de vibration. — On prouve, de la même manière, que les couches w, m', m'', m"\ m'^^ situées à égale distance de deux ventres successifs sont complètement immobiles^ passent par des périodes alternatives de condensation et de dilatation dont l'intensité est maximum^ sont des nœuds de vibration. — D'ailleurs, l'inspection de la figure montre que l'intervalle commun de deux nœuds successifs est égale à celle de deux ventres successif, et à la longueur d'une onde incidente simple. — Il est facile de voir encore que la dislance d'un ventre de vibration quelconque à l'extrémité A du tuyau est égale à la longueur d'un nombre entier d'ondulations incidentes simples^ et que la distance d'un nœud de vibration quelconque à cette même extrémité A est égale à la longueur

1 02 VIBRATIONS DES CAZ.

d'un nombre entier impair de demi-ondulations incidentes simples .

Dans un tuyau ouvert par les deux bouts (fig. 20), la colonne d'air se partage donc, comme dans le tuyau bouché par un bout, en concamémtions dont

A%.^XV\.VSWkV.VVVi.\ V\-VVV'WS>.\S% S\X\XNA^\, \,VV^.\ »^v \^ x vv

^^■^^ ^^:'^slv■^^v>^>^'sssg

in'^- \ -^77"— |- — ii-«— -| >*7 1 ^nr

Figure 20.

la longueur est celle d'une onde incidente simple. Le mode d'oscillation de ces concamémtions, indiqué par les flèches, est le même que celui dont nous avons fait l'analyse dans le cas du tuyau fermé par un bout. — Mais, dans un tuyau ouvert par les deux bouts, il y a nécessairement un ventre de vibration à chaque extrémité. En effet, les couches gazeuses terminales peuvent obéir à des mouvements de déplacement, mais ne peuvent éprouver ni condensation ni dilatation. — Il en résulte que la colonne d'air du tuyau ouvert par les deux bouts se termine par deux demi-concamérations {am; dm^)^ vibrant à l'unisson des concamérations complètes qui occupent le reste du tuyau.

Sons propres des tayanx. — H résulte évidemment de ces considérations que la hauteur du son

VIBRATIONS DKS GAZ. 103

rendu par un tuyau de longueur déterminée dépend du nombre des concamérations en lesquelles la colonne d*air se divise. Chaque concamération , en effet, représente un corps sonore dont le mouvement vibratoire se communique à la masse d'air ambiante. Mais la vitesse de propagation d'un ébranlement étant constante, la durée de la vibration simple croit proportionnellement à la longueur de la concamération ; par suite, le nombre des vibrations exécutées, dans l'unité de temps, par chaque concamération, et la hauteur du son rendu sont inversement proportionnels à la longueur de la concamération. Cela posé, il est facile de déterminer les sons propres d'un tuyau. Dans cette recherche^ il y a nécessité de considérer à part les tuyaux bouchés par un bout et les tuyaux ouverts par les deux extrémités.

i"* Tuyaux fermés par un bout. — Le mode de division de la colonne d'air d'un tuyau feimé par un bout doit satisfaire aux deux conditions suivantes : il y a nécessairement un nœud à l'extrémité bouchée et un ventre de vibration à l'extrémité ouverte.

Le mouvement vibratoire le plus simple que puisse exécuter la colonne d'air est celui dans lequel (fig. 21 , I) toutes les couches sont simultanément et alternativement entraînées de B vers  et de A

lOi

VIUnATIONS DES C.AZ.

vers B. Dans ce cas, il y a un nœud au fond bouché A et un ventre à l'extrémité ouverte B. Le tuyau contient seulement une demi-concaméralion ; la lon-

«^,^iiiiii^jgm^mm^^^^mmm^itmm^0mm^^^^jpjjmpgj^jj

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3BBB5S33=E

SCS

Figure 21.

gueur de la concamération complète est double de celle du tuyau ; le son rendu est le phis grave que le tuyau puisse faire entendre, c'estleson/bn^bm^nto/. La figure 2i, II représente le mode de division le plus simple que puisse affecter la colonne d'air. — Un nœud N se produit aux deux tiers de la longueur du tuyau àpartir de l'extrémité bouchée A. La colonne d'air est alors divisée en deux parties, dont l'une AN représente une concamération complète, et l'autre, BN, unedemi-concamération. Dans ce cas, la longueur de la concamération complète est égale aux deux tiers de celle du tuyau.

VIHRATIONS DES GAZ. 105

La figure 21 , 111 représente, par ordre de compli* cation croissante, le troisième mode de division de la colonne d'air. — Deux nœuds se produisent : le premier N, aux deuxcifiquièmes, le second N' enix quatre cinquièmes de la longueur du tuyau, à partir de Textrémité bouchée A. Dans ce cas, la colonne d'air est divisée en trois parties : les deux premières AN, NN', d'égale longueur, représentent chacune une concamération complète; la troisième, N'B, est une demiconcamération. La longueur de la concamération complète est donc égale auxdf^t^ cinquièmes de celle du tuyau.

Les longueur des concamérations complètes correspondant aux divers modes de division de la colonne d'air d'un tuyau fermé par un bout sont donc représentées par les expressions suivantes, dans lesquelles / est la longueur du tuyau :

et puisque le nombre des vibrations exécutées dans l'unité de temps est inversement proportionnel à la longueur de la concamération complète correspondante, les hauteui's relatives des sons propres du tuyau fermé par un bout sont représentées par les expressions suivantes :

JL A A 2.

OU, en supprimant le dénominateur commun 2/ par la série des nombres entiers impairs,

Les sons propres du tuyau bouché par une extrémité forment donc une série incomplète de sons harmoniques, composée du son fondamental i , et des autres sons partiels de rang impair; les sons partiels de rang pair font totalement défaut.

2* Tuyaux ouverts par les deux bouts. — Le mode de division de la colonne d'air d'un tuyau ouvert par les deux bouts doit satisfaire à la condition

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Hf

Figure 22.

suivante : il y a nécessairement un ventre de vibration à chacune des extrémités du tuyau.

Le mode de division le plus simple que puisse

affecter la colonne d'air est représenté (fig. 22, 1), — Un nœud de vibration N se produit au milieu de la longueur du tuyau ; la colonne d'air est ainsi divisée en deux demi-concamérations NA, NB, de même longueur et vibrant en sens contraires. — Dans ce cas, la longueur de la concamération complète est égale k celle du tuyau qui rend le son le plus grave qu'il puisse faire entendre, le son fondamental.

La figure 22, II représente la division la plus simple après la précédente que puisse affecter la colonne d'air. — Il se produit deux nœuds N, N', placés chacun au qimrt de la longueur du tuyau, à partir de l'extrémité correspondante. La colonne d'air est alors divisée en trois parties : la médiane NN' est une concamération comiplète; les deux extrêmes NA, N'B sont deux demi-concamérations de même longueur. — Dans ce cas la longueur de la concamération complète est la moitié de celle du tuyau.

La figure 22, III représente, par ordre de complication, le troisième mode de division de la colonne d'air. — Use produit trois nœuds : le nœud N est au milieu de la longueur du tuyau, les deux autres nœuds N', N" sont chacun au sixième de la longueur du tuyau à partir de l'extrémité correspondante. La colonne d'air est donc divisée en quatre portions : les deux médianes, NN', NN", ont même «longueur et sont des concamérations complètes ; les deux extrêmes N'A, N"B sont deux demi-concamérations

de même longueur. — Dans ce cas, la longueur de la concamération complète est égale au tiers de celle du tuyau.

Les longueurs des concamérations complètes correspondant aux divers modes de division de la colonne d'air du tuyau ouvert par ses deux extrémités sont donc représentées par les expressions suivantes, dans lesquelles / est la longueur du tuyau :

Les hauteurs relatives des sons propres d'un tuyau ouvert par ses deux bouts sont donc représentées par les expressions suivantes :

JL ! -i A A /' /' /' /' /'•"'

ou y en supprimant le dénominateur commun /, par la série des nombres entiers naturels :

ly Zj O^ Hfy %)y»»m

Les sons propres d'un tuyau ouvert par les deux bouts forment donc une série complète de sons harmoniques, composée du son fondamental en même temps que des sons partiels de rang pair et des sons partiels de rang impair.

De ce «fait que la longueur de la concamération complète correspondant au son fondamental est double de celle du tuyau fermé par un bout, et égale

à celle du tuyau ouvert par les deux bouts, il résulte évidemment que le son fondamental d'un tuyau ouvert par ses deux bouts est à Voctave aiguë du son fondamental d'un tuyau de même longueur et fermé par un bout. En d'autres termes le son fondamental d'un tuyau fermé par un bout est à Vunisson du son fondamental d'un tuyau de longueur double ouvert par ses deux extrémités.

Tuyaux à bouche. — Ordinairement on fait parler les tuyauxau moyen d'une embouchure qui leur est adaptée. — La figure 23 représente un tuyau d'orgue à embouchure de flûte ou à bouche ; dans le chapitre VI , nous parlerons des tuyaux à anche. — Quand le tuyau est monté sur une soufflerie, le vent amve par le pied P, pénètre dans la chapibre à air K, s'échappe par une fente étroite, ou lumière^ c, qui le dirige contre le tranchant ab d'un biseau. L'espace compris entre la fente et le bord tranchant du biseau prend le nom de bouche ; la lèvre supérieure de la bouche est constituée par le biseau. — Le tuyau A est ouvert par son bout supérieur, le tuyau B est bouché ; la distance RR, comprise entre la bouche et l'extrémité supérieure, est la longueur du tuyau.

Nous verrons plus loin, chapitre VI, par quel mécanisme le souffle, en se brisant contre le bord tranchant du biseau, détermine le mode de division et rélat vibratoire de la colonne d'air du tuyau. — Ce

biseau doit être ligide ; la hauleur du son rendu est indépendante de sa nature et de sa forme ; mais elle

Fig;urft !3,

est induencée par la largeur de la bouche, de Te* pace compris entre la fente c et le tranchant ab. Sous l'influence d'un courant d'air de même vitesse, le son monte à mesure que le ti'anchanl ab se l'ap-

proche de la lumière. Ajoutons qu'avec une même embouchure, le son s'élève, passe à l'un des harmoniques du son fondamental, quand on augmente la vitesse du courant d'air.

Le flageolet et le sifflet ordinaire sont des instruments à embouchure de flûte. — Dans la flûte Iraversièi'e, l'air qui s'échappe par la fente étroite circonsciite par les lèvres du joueur se brise sur le bord tranchant d'une ouverture ovale. — Le son rendu par un vase, un tube, etc.,etc.,sur les bords duquel on souffle, est produit par un mécanisme de même nature.

On a cherché, à l'aide de tuyaux à embouchure de flûte, à vérifier expérimentalement les lois du mouvement vibratoire de la colonne d'air des tuyaux, telles que la théorie les indique et que nous les avons exposées. — Ces lois sont connues sous la dénomination de Lois de Daniel BerTumlli, du nom du savant géomètre qui, le premier, a donné une théorie mathématique du mouvement vibratoire de l'air dans les tuyaux sonores.

L'appareil représenté figure 24 est très-commode pour démontrer que •''«'"^ ^'■ le son fondamental d'un tuyau fermé par un bout est à l'unisson du son fondamental d'un tuyau

ouvert par les deux bouts et de longueur double. — Vei^ le milieu du tuyau est adaptée une coulisse AS mi-partie plehw et mi-partie évidée. Suivant le sens dans lequel on pousse la coulisse on obtient un tuyau fermé par la partie pleine de la coulisse ou un tuyau de longueur double ouvert par les deux bouts. — Pour faire une expérience, on monte le tuyau sur une soufflerie; — la coulisse étant dans la position indiquée par la figure, le tuyau fonctionne comme un tuyau fermé par un bout et rend le son fondamental ; — si par un mou* vement brusque de la coulisse, on le transforme en un tuyau ouvert par les deux bouts, de longueur double, le son change de timbre ^ mais conserve la même hauteur. — L'expérience réussit aussi bien quand le tuyau fonctionnant comme un tuyau ouvert est transformé en tuyau fermé par un mouvement brusque de la coulisse.

On peut aussi déterminer expérimentalement la position des nœuds et des ventres de vibration tant dans les tuyaux ouverts par les deux bouts que dans les tuyaux bouchés par une extrémité.

La figure 25 représente l'appareil employé par F. Savart pour déterminer la position des nœuds et des ventres de vibration dans un tuyau ouvert par les deux bouts. — Le tuyau T étant monté sur une soufflerie, on règle le vent de manière à lui faire rendre un harmonique du son fondamental. Â l'aide

d'un fil de soie, on inli-odiiit dans le tuyau une membrane de baudruche S tendue sur un anneau rigide et saupoudrée de sable fin. Une des faces du tuyau est fermée par une plaque de verre qui permet de voir ce qui se passe à l'intérieur. — En général la membrane vibre en quelque point qu'on la descende et le sable s'agite. Mais, par tâtonnement, on trouve t qu'en certains points le sable reste immobile; la position occupée alors par la membrane est évidemment une surface nodah. Dans d'autres points, au contraire, l'agitation du sable est maximum; la membrane occupe alors un ventre de vibration.

L'appareil représenté fig. 20 '''«"'^ "■

permet de déterminer la position des nœuds dans un tuyau louché. — Test un long tube de verre dans

lequel onpeutenfoncerun piston/), à l'aide d'une tige rigide. On monte le tube sur une soufflerie et l'on

remonte le piston jusqu'à Textrémité supérieure; on a ainsi un tuyau bouché de toute la longueur du tube de \erve . On règle le vent de manière à obtenir un harmonique du son fondamental . — Pendant que le tuyau parle, on enfonce graduellement le piston. En général, la hauteur du son rendu change. Mais, pour certaines positions du piston, le son reprend exactement sa hauteur primitive; dans ces positions, la face inférieure du piston coïncide évidemment avec une surface nodale.

On peut déterminer la position des ventres de \i- B bration d'un tuyau ouvert par

1^ les deux bouts, en cherchant à p quelle hauteur on peut couper Il le tuyau en travers sans changer le ton du son rendu. — A cet effet, on emploie (fig. ^7) une longue flûte B composée de plusieurs parties réunies par des vis à l'endroit des ventres de vibration VyV^v. Quand la flûte, montée sur la soufflerie, rend l'harmonique convenable, on peut enlever successivement les diverses parties, sans changer la hauteur du son.

On peut, pour la même recherche, employer le tube A (fig. 28) percé de trous latéraux que Fon

Fig. 27. Fig. 28.

peut ouvrir et fermer à volonté. — Si Ton ouvre les trous correspondants aux ventres de vibration v^Vj h hauteur du son rendu ne varie pas. Mais le son change de ton si l'on ouvre l'un des trous a, b, qui ne correspondent pas à des ventres de vibration. — Ce dernier procédé est applicable à la recherche de la position des ventres de vibration d'un tuyau fermé par un bout.

M. Rudolph Kœnig est parvenu à rendre visible, pour un nombreux auditoire, l'état vibratoire * des masses et colonnes d'air, par la méthode des flanunes manoniétriques . — L'appareil (fig. 29) qu'il a imaginé dans ce but est très-simple.

II consiste en une petite capsule de bois fermée par une membrane très-mince m, en caoutchouc, et dont la paroi solide est percée de deux trous a, b.

Au trou a est ajusté un tube T, de caoutchouc, qui apporte un courant de gaz de l'éclairage ; ce gaz s'échappe par un ^'^^^^ '^' petit bec fixé au trou b et forme un jet qu'on allume. La pression étant maintenue uniforme, la vitesse d'écoulement du gaz s'accélère nécessairement et la flamme s'allonge, toutes les fois que la membrane m est refoulée vers l'intérieur de la cap- -sule; la vitesse d'écoulement se ralentit au con-

traire et la flamme se raccourcit, toutes les fois que la membrane est refoulée en sens contraire. La flamme 5V^<?tW même complètement quand la membrane est très-brusquement et ti-ès-violemmenl refoulée en dehors de la cavité de la capsule. — Cet appareil, très-simple, permet de rendre visibles les variations de pression du gaz contenu dans la capsule; à cet eiïct, on se sert d'un miroir lounianl que l'on met en mouvement en face de la flamme. — Tant que la pression est constante dans la capsule, l'image de flamme réfléchie sur les faces du miroir se présente (fig. 30, 1) sous la fonne d'un ruban de

feu

. de hauteur uniforme et égale à celle de la flamme. Mais, si la pression intérieure éprouve de rapides variations, l'image de ta flamme (fig. 30, II) se pré-

VIBRATIONS DBS GAZ. 117

sente sur la forme d'un ruban dentelé; chaque dentelure correspond à une augmentation de la pression intérieure. — Cet appareil est très-commode pour rendre visibles les condensations et les dilatations successives de l'air correspondantes aux nœuds de vibration, pour faire saisir à un nombreux auditoire la distribution des nœuds et des ventres de vibration dans un tuyau sonore.

Soit AB (fig; 31) un tuyau ouvert par ses deux extrémités et percé de trois ouvertures latérales en des points correspondants au nœud du son fondamental et aux deux nœuds de son octave aiguë ou premier harmonique. Chacun de ces trous est fermé par la membrane élastique d'une capsule semblable à celle de la figure 29. — La capsule médiane a est placée sensiblement au milieu de la longueur du tuyau; chacune des deux au- Figure 3t.

très capsules b, c correspond à peu près au quart de la longueur du tube, à partir de l'extrémité correspondante. — Une caisse latérale DD est tra-

versée par un courant de gaz de Téclairage amené par le tube T, et simultanément distribué aux trois capsules par autant de petits tubes spéciaux. — Évidemment, toute variation de la densité de l'air contenu dans le tuyau AB déterminera un refoulement de la membrane élastique des capsules, at le sens du refoulement dépendra du sens de la variation de densité.

Lorsque le tuyau, monté sur une soufflerie, rend le son fondamental, les trois flaminto vibrent à la fois ; mais les variations de longueur de la flamme médiane a sont beaucoup plus considérables que celles des deux autres, parce que, seule, elle correspond à un nœud de vibration, c'est-à-dire à un point où les variations de densité de l'air du tube sont maxima; cette flamme médiane a s'éteint même complètement, si le courant du gaz de l'éclairage n'est pas intense et si le son est rendu avec une grande force.

Si, au contraire, le tuyau rend son premier harmonique, l'octave aiguë du son fondamental, la flamme médiane a reste complètement immobik, parce qu'elle correspond à un ventre de vibration, c'est-à-dire à un point où l'air du tuyau n'éprouve aucune variation de densité ; mais les deux flammes extrêmes fc, c, qui correspondent à des nœuds de mhraiion, vibrent elles-mêmes avec force et présentent des variations considérables d'éclat et de hauteur.

Tous ces phénomènes de vibralion, de tarialion de hauteur et d'éclat de flammes se reproduisent exactement daqs les images des flammes réfléchie^ par un miioirlournanl;ils'sont facilement saisis et suivis par un nombreux auditoire.

La figure 32 représente un tuyau fermé par son extrémité A, cl muni, coimne le précédent, dc^trois capsules a, b, c, auxquelles le gaz de l'éclairage est distribué simultanément par une caisse DD. — La capsule b est placée près de l'extrémité bouchée où se trouve toujoui-s un nœud de vibration. Les deux autres capsules correspondent :

la première c au second nmud, et la seconde a au ventre de vibration du premier harmonique du son fondamental du tupu.

Si le tuyau rend le son fondamental, les trois flammes vi- Figurée.

brenl ensemble ; mais les variations de longueur et d'éclat de ces flammes sont maxima en b, plus faibles en a, plus faibles encore en c. Les varialions de densité de l'air du tuyau suivent la même

120 VIBRATIONS DKS GAZ.

loi ; elles sont maximaen b qui correspond à un nœud et s'affaiblissent graduellement à mesure que Ton se rapproche de la bouche o qui, nécessairement, est un ventre de vibration.

Si le tuyau rend son premier harmonique, la flamme médiane a correspond à un ventre de vibration et reste complètement immobile. Au contraire, les flammes extrêmes i, c, qui correspondent au premier et au second nomd^ vibrent très-fortement, éprouvent des variations de longueur et d'éclat trèsconsidérables. — Si le courant du gaz de l'éclairage n'est pas intense et si le son est rendu avec beaucoup de force, ces flammes extrêmes è, c s'éteignent.

Le miroir tournant rend très-nets ces phénomènes de variation d'éclat et de longueur des flammes.

Les résultats de l'expérience ne vérifient pas exactement les lois des vibrations des tuyaux sonores théoriquement établies par Daniel Bernouilli.

Le son fondamental est plm grave que le son indiqué par la longueur du tuyau; les nombres de vibrations correspondants aux sons fondamentaux de plusieurs tuyaux ne sont pas exactement inversement proportionnels kX^MT^ longueurs. Le désaccord est d'autant plus grand que la section transversale des tuyaux est plus considérable. D'après les observations de D. Bernouilli lui-môme, la distance du

premier nœud à l'embouchure, est plus faible que la moitié de Fintervalle de deux nœuds successifs, et la différence augmente avec la hauteur de l'harmonique rendu. De son côté, F. Savait a constaté que la distance du fond d'un tuyau bouché au ventre de vibration le plus rapproché est supérieure à la moitié de l'intervalle de deux nœuds successifs, et qu'en général la distance des ventres de vibration est supérieure à l'indication théorique.

Les causes de ce désaccord entre la théorie et les résultats de l'expérience sont multiples. — Les couches d'air, voisines de l'embouchure sont, dans les tuyaux à bouche^ soumises à des mouvements trèscompliqués, déterminés par le choc du courant d'air contre le biseau tranchant. F. Savart (i) a montré que l'air en mouvement décrit une hélice dont les toui's, d'abord très-rapprochés près de l'embouchure, s'écartent très-rapidement. Ces perturbations sont certainement assez considérables pour modifier la position de la première surface nodale. — Dans les tuyaux bouchés, le fond sur lequel s'opère la réflexion entre lui-même en vibration, et ce mouvement perturbe la marche des ondes incidentes et réfléchies. Cette influence perturbatrice doit varier avec la nature du fond du tuyau, augmenter avec sa facilité à céder au choc des ondes incidentes.

(1) Annales de chimie et de physique, 2* série, 18^23, t. XXIV, p. 59.

lâà VIBRATIONS DES GAZ.

M. Wertheim a reconnu, en effet, que celle influence est plus prononcée avec des fonds de bois qu'avec des fonds de gutta-percha ou de métal. — Enfin, dans les points où les variations de densité (les couches gazeuses sont très-considérables, Tair réagit sur les parois solides des tuyaux et leur communique des mouvements qui exercent une certaine influence sur la marche des vibrations sonores.

Dans le but d'éviter les perturbations de l'embouchure, Dulong faisait vibrer l'air contenu dans un cylindre de verre C (fig. 33) avec un diapason D dont

A .^*(r M >-" « \ 7. iftlSb:

Figure 33.

une branche était munie d'une plaque métallique A de niôme diamètre que le cylindre. Par ce moyen, l'ébranlement se faisait à pleifie ouverture. En versant du mercure au fond du cylindre de verre, on modifie la longueur de la colonne d'air de manière

VIBRATIONS DKS GAZ. \^

que le son propre de cette colonne et celui du diapason soient de même hauteur.

F. Savart (1) a employé un moyen analogue. Le tuyau, ouvert par les deux bouts, était composé de segments pouvant s'engager les uns dans les autres comme les parties d'une lunette, et la colonne d'air du tuyau était mis en mouvement au moyen d'une lame vibrante. Il résulte de ses expériences que, quand le tube, très-étroit, est de longueur convenable pour vibrer à l'unisson de la lame, les nombres de vibrations sont inversement proportionnels aux longueurs; le nœud pour le son fondamental est sensiblement au milieu de la longueur ; les sons propres du tube sont les harmoniques du son fondamental. — Mais, si les dimensions transversales du tuyau sont plus considérables, les nombres de vibrations ne sont plus inversement proportionnels aux longueurs ; le nœud du son fondamental n'est plus au milieu de la longueur ; les sans propres du tuyau ne sont plus les harmoniques du son fondamentaL Les mêmes faits s'observent avec des tuyaux bouchés par une extrémité.

Les lois théoriques de D. Bernouilli sont donc des limites vers lesquelles convergent les résultats de l'expérience, à mesure que la section transver-

(i; Annales de chimie et de physique, 2* série, 1823, t. XXIV, p. 56.

tu VIBRATIO:(S us CAZ.

sale des tuyaux est plus faille par rapport à leur longueur.

La dimension transvei'sale du tuyau exerce donc une influence incontestable sur la hauteur du son fondamental. Si cette dimension n'est pas trèsfaible par rapport à la longueur, le son fondamental est plus grave que le son indiqué par la théorie, et l'écart augmente en même temps que les dimensions de la section. Pour rendre un même son fondamental, les tuyaux doivent donc être d'autant plus courts que leurs dimensions transvei-sales sont plus considérables. Mais, quand des tuyaux de dimensions différentes sont accoi'dés pour un même son fonda-

mental, la longueur de l'onde correspondante h ce son est constanie et indépendante de la section des tuyaux. — Soient, en effet. A, B, G (fig. 34) des tuyaux ouverts qui rendent le même son fonda-

mental; les longueurs a, i, c qu'on peut leur superposer sans altérer la hauteur du son rendu sont exactement les mêmes. C'est donc sur la première concamération voisine de l'embouchure que porte la perturbation. — Les mêmes faits s'observent avec des tuyaux bouchés par une extrémité.

Nous devons à F. Savart (1) une très-belle étude expérimentale du mode de vibration de l'air dans les tuyaux à embouchure de flûte. Ses recherches ont enrichi la science de notions importantes sur ce sujet si délicat et qui a si souvent exercé la sagacité des géomètres et des expérimentateurs. — Après avoir démontré que le son rendu par un tuyau prismatique carré, embcmché dans toute la largeur de Vun des côtés de sa base, conserve exactement la même hauteur lorsqu'on diminue ou que l'on augmente sa largeur parallèlement à la bouche, en rapprochant ou en éloignant ses parois latérales perpendiculaires à la bouche (2), cet habile physicien posa ce principe fondamental :

Dans un tuyau prismatique carré, embouché -dans toute la longueur d'un des côtés de sa base, les mouvements vibratoires de la masse d'air sont ceux qui se passeraient dans une simple lame d'air rectangulaire, infiniment mince, perpendiculaire à la bouche du tuyau et ébranlée par un de ses angles.

{i y Annales de chim. et de phys.y^' série, i92^, t. XXIX,p. iOA. (2) Loc, cit.

1^6 VIBRATIONS DES GÂZ.

La hauteur du son rendu par une telle lame d*air dépend évidemment des dimensions en longueur et en largeur de la couche gazeuse. — Le son baisse lorsque Ton augmente Tune ou Tautre de ses dimensions ou les deux à la fois ; il s'élève dans le cas contraire. Mais, tant que la largeur de la lame d'air reste supérieure au sixième de sa longueur, la hauteur du son rendu reste hidépendante des variations de ces dimensions, à la condition que ces variations soient telles que la surface de l-a lame gazeuse reste invariable. — Dans le cas, au contraire, où la largeur est inférieure au sixième de sa longueur, bien que la surface de la lame d'air soit maintenue invariable, le son baisse à mesure que la longueur augmente. — C'est seulement lorsque la largeur de la lame d'air est inférieure au dauzième de sa longueur que son influence est k peu près insetisible. Dans ce dernier cas, la hauteur du son est exclusivement réglée par la longueur; le nombre des vibrations exécutées est à très-peu près inversement proportionnel à la longueur de la lame d'air.

Comparons une série de lames d'air de même surface, rendant un même son, à une série d'autres lames dont la surface est aussi la même et rendant aussi un même son ; l'étendue de la surface et la hauteur du son rendu varient d'une série à l'autre. L'expérience montre que les nombres de vibrations correspondants aux sons caractéristiques de ces deux

VIBRATIONS DES GAZ. itl

séries sont sensiblement inversement proportionnels aux racines carrées des surfaces des lames vibrantes. Ainsi le son rendu par des lames d'air rectangulaires dont la surface est de 256 centimètres carrés (racine carrée 16) est à Toclave aigtië du son rendu par des lames d'air rectangulaires dont la surface est de 1024 centimètres caiTés (racine carrée 32).

D'où il résulte que, pour les tuyaux prismatiques carrés, ouverts ou bouchés, dont l'embouchure occupe tout un côté de la base, et dont le côté de la base est supérieur au sixième de la hauteur, le nombre de vibrations correspondant au son fondamental est inversement proportionnel à la racine carrée de la surface de la lame d'air perpendiculaire à la ligne de l'embouchure.

Dans tout ce qui précède, il s'agit seulement du cas où l'embouchure occupe toute la longueur d'un côté de la base d'un tube prismatique carré. F. Savart a étudié l'influence de la longueur de cette embouchure sur la hauteur du son rendu. Il a constaté que, toutes choses égales d'ailleurs, le ton baisse à mesure que la longueur de la bouche diminue; on peut ainsi baisser d'une sixte et même d'une sep-^ tième le son fondamental du tuyau. — Le Ion baisse aussi à mesure que la distance du biseau à la lumière augmente.

Enfin F. Savart a démontré expérimentalement

128 V[BRATI0!4S DES GAZ.

rexaclitude d*un principe général déjà entrevu par le Père Mersenne. — Il a comparé les sons rendus par des tuyaux de formes semblables et de dimensions linéaires différentes, ajustés d'ailleui*s, de manière que la longue^ir de V embouchure^ V ouverture de la lumière^ en un mot toutes les circonstances influentes conservent entre elles les mêmes rapports que les dimensions des tuyaux. Les expériences ont toujours fourni les mêmes résultats résumés dans la proposition suivante :

« Lorsque des masses d'air sont renfermées dans » des tuyaux de forme semblable, les nombres » de vibrations qu'elles exécutent sont entre eux i> réciproquement proportionnels aux dimensions » linéaires de ces masses d'air. ï>

Ainsi, par exemple, le son fondamental d'un tuyau prismatique carré de 34 centimètres, de hauteur et 10 centimètres de côté, est à Voctave grave du son fondamental d'un tuyau prismatique carré de 17 centimètres de hauteur et de 5 centimètres de côté.

Ce principe est général ; il s'applique aux tuyaux ouverts et aux tuyaux bouches ; aux tuyaux prismatiques carrés, prismatiques triangulaires, cylindriques, et môme aux sphères armées d'une embouchure de flûte.

Dans le cas des tuyaux cylindriques et des sphères, la longueur de la bouche doit toujours comprendre

un même nombre de degrés de la circonférence de la section transversale du cylindre ou de la circonférence d'un grand cejrcle de la sphère.

La question des perturbations qui se produisent aux extrémités des tuyaux sonores à embouchure de flûte, ainsi que les moyens de corriger les erreurs qui en résultent dans la détermination de la véritable longueur de Tonde aérienne correspondant au son fondamental du tuyau, sont étudiés, avec tous les détails nécessaires, dans une note spéciale (1).

Article II.

Vibrations des corps solides.

Les corps solides peuvent vibrer traïisversalementj longitudinalementy ou par torsion. Pour déterminer expérimentalement les lois de ces divers mouvements vibratoires, il faut considérer à part les diverses formes que les corps solides peuvent affecter.

Vibrations des cordes.

Une corde tendue par ses deux extrémités peut, suivant la manière dont elle est attaquée, exécuter des vibrations transversales ou des vibrations longi-

(f } Voir note A, article 1*% à la fin du § 3, consacré à la détermination de la vitesse du sou dans les gaz autres que Tair.

GAVAKRET. 9

130 ViBRATIO^lS DES CORPS SOUDES.

tudinales. Toutes choses égales d'ailleui^, la hauteur et le timbre du son rendu varient beaucoup suivant qu'elle obéit à l'un ou à l'autre de ces deux mouvements vibratoires.

vitoationft transTersale». — Lorsqu'elle est attaquée perpendiculairement à sa longueur, une corde tendue exécute un mouvement vibratoire de totalité en vertu duquel tous ses points se déplacent simultanément dans le même sens et perpendiculairement à sa position primitive d'équilibre. Ces vibrations transversales sont isochrones; mais leur amplitude diminue graduellement à cause de la résistance de l'air auquel le mouvement est communiqué. La corde paraît renflée dans toute sa longueur; ce renflement apparent , résultat de la pei^istance des impressions sur la rétine, est d'autant plus faible que le point considéré est plus rapproché des extrémités fixes. L'amplitude des vibrations de la corde est donc plus considérable en son milieu que partout ailleurs. — Pour cette raison, le milieu de la corde prend le nom de ventre de vibration. — Quand la corde obéit ainsi à un mouvement vibratoire de totalité, elle rend le son \^ plus grave (\vCt\\e puisse donner ; ce son est désigné sous le nom de jjon fondamentaL

11 résulte de la formule de Lagrange (1) que le

(1) Voir la note B, arti ), §1.

nombre des vibrations transversales simples exécutées par une corde qui rend le son fondamental dépend à la fois de la longueur, du rayon, du poids spécifique et du poids tenseur de la corde. Ce nombre de vibrations est :

!• Invereement proportionnel à la longueur de la corde ;

2* Invei^ement proportionnel au rayon de la corde ;

S*' Inversement proportionnel à la racine carrée du poids spécifique de la corde ;

4" Directement proportionnel à la racine carrée du poids tenseur de la corde.

Le sonofïiètre fournit un moyen très-simple de vérifier l'exactitude de ces lois. — Il se compose (fig. 35) de deux cordes métalliques tendues sur une

Figure 35.

caisse de bois de sapin qui, par résonnance, renforce les sons rendus. — La première corde ad est fixée à deux chevilles et tendue avec une clef jo,comme dans un piano. — La seconde corde b R passe sur une poulie de renvoi ; elle est tendue par un poids P

que l'on peut faire varier à volonté. — Tout près de leurs extrémités, ces cordes appuient sur des chevalets fixes B, B'; des chevalets mobiles, tels que C, peuvent glisser sous les cordes et permettent de faire varier les longueurs de leui^ parties vibrantes. — Une échelle, divisée en millimètres, fixée sur la paroi supérieure de la caisse, donne la distance du chevalet mobile à chacun des deux chevalets fixes.

Sur la corde ad on vérifie facilement la loi des longueurs. — On fait d'abord vibrer la corde dans toute sa longueur et l'on prend pour ut le son rendu ; puis on fait varier, à l'aide d'un chevalet mobile, la longueur de la partie vibrante, et l'on cherche la position des sons rendus dans l'échelle musicale. Le tableau suivant donne les résultats d'une expérience de ce genre :

Longueur vibrante.

Son rendu.

Nombre de vibrations.

uti

mil

soli

ut.

sol.

ut.

Toutes choses égales d'ailleurs, les nombres de vibrations simples sont donc inversement proportionnels aux longueurs de la partie vibrante de la corde.

La corde b R sert à vérifier l'exactitude des autres lois théoriques. — En faisant varier le poids P, on constate facilement que les sons rendus par une même corde soumise à la traction de poids divers correspondent à des nombres de vibrations directement proportionnels aux racines carrées des poids tenseurs. — En soumettant successivement à la tractioij d'un même poids P des cordes de même nature et de rayons différents, et des cordes de même rayon et de poids spécifiques différents, on obtient des sons correspondants à des nombres de vibrations invereement proportionnels aux rayons et aux racines carrées des poids spécifiques de ces cordes.

Les cordes tendues peuvent obéir à des modes de vibration différents de celui dont nous nous sommes occupé jusqu'ici et qui correspond au son fondamental.

Soit (fig. 36, 1) une corde tendue entre les points A et B ; plaçons un chevalet C au tiers de sa longueur et attaquons AC avec un archet. — Les vibrations de AC se communiquent à GB qui se pailage spontanément en deux segments d'égale longueur, vibrant en sens contraires et à l'unisson de AC. Dans ce cas, il s'établit, en D milieu dejCB, un nœud com-

I3i VIBRATIONS DES CORPS SOLIDES.

pris entre deu\ve7itres de vibration E,E'. — Les deux segments d'égale longueur, CD, DB, vibrent séparément et indépendamment l'un de l'autre. Le son

I A f-. i£ Ut^ 4»

I JE* b"

Figure 36.

rendu par chacun de ces segments est, comme celui de AC, à l'octave aigm du son fondamental de CB dont la longueur est double.

Fixons (fig. 36, II) le chevalet C au qtuirt de la longueur AB. — Au moment où AC est attaqué avec un archet, CB se partage spontanément en trois segments d'égale longueur, vibrant en sens contraires, indépendamment les uns des autres et à l'unisson de AC. Dans ce cas il y a sur CB deux nœuds, D,D', et trois ventres de vibration, E, E',E". La hauteur musicale du son rendu, mesurée par le nombre de vibrations correspondant, est trois fois celle du son fondamental de CB.

Les résultats obtenus sont de même nature, quelle que soit la position du chevalet C, pourvu que AC soit une partie aliquote de la longueur totale AB de la corde vibrante.

Sauveur a imaginé un moyen très-élégant, et souvent employé dans les cours de physique, de rendre évidente cette division spontanée .de la corde mise en vibration par communication. — Il plaçait des chevalets de papier sur les points correspondants aux ventres et aux nœuds de vibration ; au premier coup d'archet appliqué sur AC, les chevalets correspondants aux ventres s'agitaient, sautaient, tombaient à terre, tandis que les chevalets correspondants aux nœuds restaient immobiles.

Les musiciens déterminent le partage des cordes du violon et du violoncelle en parties aliquotes, vibrant à l'unisson, en posant légèrement le doigt à la moitié, au tiers, au quart, etc., etc., de leur longueur. — Un nœud se forme au point touché; les autres nœuds se distribuent spontanément et régulièrement à des distances égales sur le reste de la corde. On obtient ainsi des sons très-aigus, trèspui^ et d'un timbre spécial. — Pour déterminer le partage spontané d'une corde vibrante en un nombre détenniné de parties aliquotes vibmnt à l'unisson, il suffit de la toucher, avec une barbe de plume ou l'extrémité fine d'un pinceau, en un point de sa longueur correspondant à l'un des nœuds que l'on veut produire.

Suivant le mode de division réalisé, suivant qu'une corde de longueur / exécute un mouvement vibratoire de totalité ou se divise en parties aliquotes,

r intervalle compris entre deux nœuds successifs est :

Puisque chaque segment vibre comme si les nœuds qui le terminent étaient des points fixes, les divers sons qu'une même corde de tension invariable peut rendre correspondent à des nombres de vibrations représentés par la série naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5, ..., ...; c'est la série complète des sons harmoniques (page 87) , dont le premier est le son fondamental de la corde entière et dont chaque son partiel correspond à un multiple, par un nombre entier, du nombre de vibrations du son fondamental. Les résultats des expériences sur le sonomètre ne vérifient pas exactement les indications delà théorie. Quand on procède avec soin, on constate des perturbations dont l'origine a beaucoup exercé la sagacité des physiciens. Dans une note spéciale (1), nous étudierons la nature et les causes de ces perturbations.

M. Melde, de Marburg, a imaginé un moyen à la fois très-ingéniotfx et très-élégant de mettre en évidence les vibrations des cordes et leur subdivision en parties aliquoles vibrant à l'unisson. — Un long cordonnet de soie blanche est passé dans la goi^ d'une poulie P (fig. 37) ; l'un de ses bouts est fixé à

(l)VoirnoteB, art. l,§i.

l'extrémité libre de la branche T d'un fort diapason ; l'autre bout porte un plateau D sur lequel on dépose des poids tenseurs. — On attaque avec un archet le

diapason dont les branches \\bv&nlparallèlenienth la longueur du cordonnet; si le poids tenseur est convenable, le coi-donnet vibre d'un mouvement de totalité et s'épanouit en un lat^e et magnifique fuseau gazé remarquable par son lustre perlé. — Il est facile de voir que, dans cette expéiience, le nombre de vibrationsdu diapason, correspondant à un temps donné, est double du nombre de vibrations du cordonnet de soie. — En effet, aux limites 0,0' de ses excursions, le cordonnet de soie est à son maximum de relâchement et l'extrémité libre de la branchcT est aussi rapprochée que possible de la poulie P ; au moment où le cordonnet de soie est ramené à la

ligne droite, sa tension est maximum et l'extrémité libre de la branche T est aussi éloignée que possible de la poulie P ; par conséquent, pendant que le cordonnet de soie passe de 0 en 0', exécute une vibration simpley\e diapason exécute une-vibration eomplète.

En diminuant les poids du plateau D, on-i'amèoe facilement le cordonnet à une tension convenable pour qu'il se divise spontanément en deux parties égales vibrant à l'unisson (fig. 38, 1); en continuant à diminuer le poids tenseur, on détermine la division spontanée du cordonnet en trois parties égales vibrant àl'unisson (fig, 38, II), et ainsi de suite.

Lorsqu'on fait vibrer ainsi des cordons de soie blancbe, le phénomène est d'une extrême beauté; les nœuds apparaissent comme des points absolument fixes, tandis que les ventres s'étalent ea fu-

seaux si délicats qu'on les dirait formés d'une gaze opalescente.

« En réfléchissant, dit M. Tyndall (1), aux meilï leui^ moyens de rendre visibles à un vaste audi-

> toire ces effets enchanteure, j'ai songé à employer

> un fil de platine chauffé au rouge par un courant

> électrique. Le fil de platine part du diapason, » passe sur un chevalet en cuivre et aboutit à une

> cheville. Le chevalet de cuivre d'une part et le » diapason de l'autre, sont les deux pôles d'une pile » voltaïque, dont le courant traverse le fil et le rend

> incandescent. J'attaque le diapason avec l'archet,

> le fil vibre sans divisions : ses deux extrémités » brillent d'un éclat éblouissant ; mais son milieu ^ est obscur, refroidi qu'il est par son passage ra- » pide à travers l'air. L'incandescence va ainsi en

> diminuant graduellement des extrémités au milieu )» du fil. Je diminue la tension, et voici que le fil se » partage en deux moitiés vibrantes ou ventres ; je le

> détends un peu plus, et il se forme trois ventres ; »je détends encore, et vous le voyez partagé en :» quatre ventres séparés par trois nœuds brillants.

> A droite et à gauche de chaque nœud, l'incandesï> cence va diminuant jusqu'à s'éteindre. On re- 1^ marque en outre que, quand le fil se partage en

> segments vibrants permanents, les nœuds brillent

(1) Le San, traduction de Tabbé Moigno. Paris, 1869, p. Iti.

» avec plus d'éclat. La raison de ce fait est que Té-

> lectricité passe plus librement à travei-s un fil froid ï> qu'à travers un fil chaud. D'où il résulte que si les » ventres sont refroidis par leur passage rapide à » travers l'air, il passe plus d'électricité dans le fil en

> vibration que dans le fil au repos, voilà pourquoi

> l'éclat des nœuds est accru. Si, avant d'exciter le i> diapason, on chauffe le fil jusqu'au rouge, la tem- » pérature du nœud , lorsqu'il entrera en vibration , p pourra atteindre le point de fusion. }»

M. Melde a imaginé, pour ces expériences, une autre disposition représentée dans la figure 39. La

Figure 39.

branche A du diapason vibre perpendiculairement à la longueur du cordonnet de soie. En faisant varier le poids tenseur, on obtient des effets de même nature. Seulement, dans ce cas, le diapason et le cordonnet de soie exécutent, dans un temps donné, un même nombre de vibrations.

Vibrations longitudinales. — Au lieu d'obéir à un mouvement vibratoire transversal, les molécules

Ul

d'une corde tendue peuvent se mouvoir parallèlement à l'axe et exécuter des vibrations longitudinales, isochrones. Pour communiquer à une corde ce mouvement vibratoire, il suffit de la frotter, dans le sens de sa longueur, avec un morceau de laine enduit de colophane.

Le cas le plus simple est celui où les molécules d'une corde, tendue (fig. 40) entre les points fixes AB,

Figure 40.

sont toutes simultanément entraînées dans le même sens et alternativement vere A et vers B. La corde exécute alors un mouvement vibratoire de totalité ; elle rend le son fondamental. — Sous l'influence du frottement latéral, plusieurs des tranches perpendiculaires à son axe de figure, en lesquelles la corde se décompose, sont entraînées de B vers A ; ce mouvement se communique de proche en proche, augmente nécessairement les intervalles moléculaires vers l'extrémité B et les diminue vers l'extrémité A; il y a dilatation dans toute la moitié GB, condensation dans toute la moitié G A de la corde. Lorsque le frottement cesse, l'élasticité imprime à toutes

les tranches de la corde un mouvement de sens contraire et les entraîne de A vers B. Les tranches de la corde exécutent ainsi, autour de leurs positions primitives, une série d'oscillations, isochrones et alternativement dirigées de B en A et de A en B. Ces mouvements successifs et de sens contraires constituent les moitiés AC, BC de la corde dans des états alternatifs de condensation et de dilatation d'intensité croissante à mesure qu'on s'éloigne de la tranche médiane C, pour se rapprocher des extrémités fixes A,B. La tranche médiane C, dans ses excursions entre les limites extrêmes C',C", est toujours comprise entre une condensation et une dilatation de même intensité ; par suite, sa densité reste constante. Quant aux autres tranches, leur densité change à chaque instant et éprouve des variations d'autant plus considérables qu'elles sont plus rapprochées des extrémités fixes A,B. De toutes les tranches de la corde, la médiane C est celle dont les déplacements et les vitesses sont le plus considérables ; les autres tranches éprouvent des déplacements et sont animées de vitesses d'autant plus faibles qu'elles sont plus rapprochées des extrémités fixes A, B. — :■ La tranche médiane C, dont la densité est constante et dont les déplacements et les vitesses sont inaxima^ est un ventre de vibration; on appelle nœuds de vibration les tranches extrêmes A,B dont les déplacements et les vitesses

sont nuls et dont les variations de densité sont maxima.

Chladni a démontré expérimentalement que le nombre des vibrations longitudinales exécutées, dans l'unité de temps, par une corde tendue rendant le son fondamental est :

l*" Inversement proportionnel à la longueur de la corde ;

2"* Indépendant des dimensions transversales et de la tension de la corde.

Toutes choses égales d'ailleurs, le son rendu par une corde qui vibre longitudinalement est beaucoup plm aigu que le son dont s'accompagne son mouvement vibratoire transversal.

Nous reprendrons la question de ce mouvement vibratoire longitudinal des cordes dans une note spéciale (1). Cette nouvelle étude nous perçiettra de montrer que les indications de formules mathématiques du mouvement vibratoire longitudinal s'accordent très-bien avec les résultats de rexpérience.

La corde peut se partager en un nombre indéterminé de segments d'égale longueur, dont les vibrations longitudinales, toutes concordantes, suivent les lois du mouvement général que nous venons d'analyser. — La figure 41 montre une corde AB ainsi divisée en quatre parties. Chacune de ceâ

{\) Voir noie B, art. 1, § 11.

t44 VIBRATIONS DES CORPS SOLIDES.

parties aliquotes de la longueur totale constitue une concamération ; deux concamérations successives sont nécessairement séparées par un nœud de vibration et exécutent, à un moment donné, des

Al 1 I I IB

Figure 41.

mouvements de sens contraires. Le milieu de chaque concamération est un ventre de vibration. — Chaque nœud est alternativement le siège de la plus forte condensation et de la plus forte dilatation. Ce partage de la corde en segments d'égale longueur, vibrant à l'unisson, peut se produire spontanément ; on le détermine, à coup sûr, en pressant légèrement, avec le doigt ou avec une barbe de plume, le point où l'on veut faire apparaître un nœud.

Le nombre de vibrations correspondant au son rendu est évidemment proportionnel au nombre de concamérations en lesquelles la corde se partage. — Dans le cas du mouvement vibratoire longitudinal, comme dans le cas du mouvement vibratoire transversal, l'ensemble des sons que la corde peut rendre constitue donc une série complète d'harmoniques 4, 2, 3; 4, 5,..., dont le premier son, le son p/î^^mt?é>, est le son fonda-

mental de la corde. — Seulement le son fondamental est beaucoup pltis aigu dans le cas du mouvement vibratoire longitudinal que dans le cas du mouvement vibratoire transversal.

Vibrations des verges et des lames élastiques.

Une verge élastique est un corps rigide dont deux dimensions sont très-petites, par rapport à la troisième ; le corps se présente sous la forme d'un prisme ou d'un cylindre très-allongé. — Lorsque la différence des deux petites dimensions est considérable, le corps rigide prend le nom de lame. — Ces verges et ces lames diffèrent des cordes en ce qu'elles ont, par elles-mêmes,- une forme déterminée d'équilibre stable des molécules que l'action des forces extérieures peut leur faire perdre et qu'elles tendent à reprendre quand elles sont abandonnées à elles-mêmes. Ces verges et ces lames peuvent exécuter des vibrations transversales ^ Iongiludinales et tournantes ou par torsion,

Tlbrations transireraales. — Nous ne nous occuperons ici que du cas ou la verge est encastrée par Tune de ses extrémités et libre par l'autre, renvoyant à une note spéciale (i) l'étude générale de ^e mouvement vibratoire transversal.

(i ) Voir note B, art. 2, § 1 .

14C VIBRATIONS DES CORPS SOL[t)ES.

Soit AC (fig. 42) une verge élastique fortement pincée en C dans un étau. — Quand, après l'avoir écartée de sa position d'équilibre en entraînant son extrémité libre vers a, on l'abandonne à ellemême, cette vei^e exécute, autour de sa position primitive, une série de vibrations isochrones d'am-

Figuro 43.

plitude graduellement décroissante. Quand la verge est très-longue, ces vibrations sont assez lentes pour qu'on puisse les compter ; dans ce cas il n'y a pas de son rendu. — Mais, si la verge est suffisamment

courte, les vibrations se confondent en une impression visuelle continue et s'accompagnent d'un son musical dont on peut déterminer la hauteur avec une sirène. — L'expérience montre que, dans ce cas, le son rendu s'élève de deux octaves , lorsque la longueur de la verge est réduite à moitié. Lorsque la longueur de la partie vibrante s'abaisse de 4 à y, le nombre de vibrations, correspondant au son rendu, s'élève donc de 1 à 4. — Cette expérience s'accorde avec la théorie pour démontrer que :

Dans le cas où une verge encastrée par une extré^ mité obéit à un mouvement vibratoire de totalité, le nombre des vibrations exécutées en une seconde est inversement proportionnel au carré de la longueur de la partie vibrante.

Ce mode de vibration a été utilisé pour construire un instrument de musique connu sous le nom. de violon de fer. Cet appareil se compose de tiges d'acier libres par une extrémité et encastrées par Tautre dans une caisse de bois destinée à renforcer le son qu'elles rendent quand on les frotte avec un archet. En donnant à ces tiges des longueurs convenables, on les accorde de manière qu'on puisse exécuter un morceau de musique sur cet instru* ment.

Les boîtes à musique sont construites diaprés les mêmes principes. Des lames d'acier de longueurs

déterminées sont implantées, comme les dents d'un peigne, sur une base commune. Un cylindre, armé de dents convenablement disposées, est mis en mouvement par un mécanisme d'horlogerie. Chaque dent soulève une lame d'acier et la met en vibration. L'air exécuté dépend évidemment du mode de distribution des dents à la surface du cylindre. Le diapason (fig. 43) est une verge prismatique

Figure 43.

courbée en son milieu, dont les branches vont se rapprochant vers leurs extrémités libres. Le coude est monté sur une colonne métallique qu'on peut tenir à la main. — On met l'appareil en vibration, soit en frottant une de ses branches sur la tranche avec un archet, soit en faisant passer, de force, un cylindre de bois ou de métal entre les extrémités libres des deux branches. — Il se forme un nœud de chaque côté du coude et les branches vibrent à l'unisson, comme si elles étaient encastrées à la hauteur du nœud. — Ce petit appareil est employé

dans les orchestres pour régler le ton des instruments; le diapason normal^ aujourd'hui adopté, rend le /a„ correspondant à 870 vibrations simples par seconde. — Le diapason tenu à la main rend iln son très-faible ; il donne, au contraire, un son trèspur et d'une grande intensité, quand il est monté sur une caisse de résbnuance ouverte par un bout et contenant une masse d'air capable d'exécuter le même nombre de vibrations.

Yibrations longitiidiiiales. — Les verges élastiques peuvent aussi vibrer longitudinalement, quand on les frotte parallèlement à leur axe avec un morceau de drap enduit de colophane, ou simplement avec un morceau de drap mouillé dans le cas du verre. — Le mode d'encastrement exerce une grande influence sur le nombre des vibrations exécutées, dans un temps donné, par une même verge, et sur les rapports des sons harmoniques que cette verge peut rendre, en se divisant en segments vibrant à Tunisson. — D'ailleure, les tranches transversales obéissent, dans les verges, au même mode de mouvement que dans les cordes vibrant longitudinalement (page 444).

Soit AB (fig. 44) une verge métallique fortement assujettie en son milieu K. On frotte latéralement le segment BK avec un morceau de drap M enduit de colophane ; le mouvement vibratoire longitudinal

imprimé à ce segment se communique au segment AK. Les vibrations de. ÂK sont attestées par les mouvements de va-et-vient de la bille C heurtée par l'extrémité libre A de la verge. On obtient ainsi des sons remarquables par leur douceur et leur pureté.

Lorsque les segments AK^BK obéissent à un mouvement vibratoire de totalité, la verge rend le son fondamental. Il existe évidemment un nœud en K, un ventre à chacune des extrémités libres A,B.

Figure 44.

Chaque segment représente une demi-concaméralion, et la concamération complète^ coiTCspondante au son fondamental, est de même longueur que la vei'ge. — L'expérience, d'accord avec la théorie (4 ), montre que les hauteurs des sons fondamentaux rendus par des verges de même substance et de longueur diffé-

(1) Voir la note B, arl. 2, §11.

VIBRATIONS DES CORPS SOLIDES. 15t

rentes sont indépendantes de leurs dimensions transversales et inversement proportionnelles aux longueurs de ces verges. — Les notabres des vibrations exécutées par ces veines sont donc, comme pour les cordes vibrant longitudinalement, inversement proportionnels aux longueurs des verges.

Si la même verge AB est fixée en N (fig. 45, 1), au quart de sa longueur, et si Ton frotte AN, il se produit spontanément un nœud en N', en un point tel que

AR

N'B = AN ; par suite NN' = AN + N'B = ^ .

— Ces trois segments vibrent à l'unisson et forment deux concamérations complètes : Tune intermédiaire NN', l'autre composée des deux demi-concamérations terminales AN, BN'. Le son rendu dans ce cas est à l'octave aiguë du son fondamental rendu par la barre fixée en son milieu ; le nombre des vibrations exécutées est donc double.

I Al ' ' IB

rr ^' ' ' I nu

^ s ^ N' ^ ît: — >.

Figure 45.

Si la même verge AB est fixée (fig. 45, II) enN, au sixième &^ sa longueur, et si Ton frotte AN, il se produit spontanément deux nœuds en N', N", en des

points tels que N"B = AN, et queNN' = N'N" = AN

AB

+ N"B = -q-. Ces quatre segments vibrent à l'unisson et forment trois concamérations complètes de même longueur : deux intermédiaires NN', N'N'', la troisième composée des deux demi-concamérations terminales AN', N"B. — Le nombre de vibrations, correspondant au son rendu dans ce cas, est triple du nombre de vibrations correspondant au son fondamental de la verge fixée en son milieu.

Dans les verges libres par leurs deux bouts et vibrant longitudinalement, les deux extrémités sont nécessairement des ventres de vibration. — La série des sons que ces verges peuvent* rendre, en se divisant en concamérations vibrant à l'unisson, constitue une série complète de sons harmoniques, représentée par la série naturelle des nombres entfersl , 2, 3, 4, 5, .... Le premier son, le plus grave, est le son fondamental de la verge fixée en son milieu ; les autres sont des multiples, par des nombres entiers, du nombre de vibrations de ce son fondamental. La loi est la même que pour les cordes vibrant longitudinalement et pour les tuyaux d'orgue ouverts par les deux bouts.

Soit AB (fig. 46) une verge fixée par son extrémité A et libre par l'autre extrémité B; elle vibre longitudinalement et rend un son, quand on la frotte latémlement et parallèlement à son axe. Il y a

nécessairement un nœud en A et un ventre en B. — Le mode de vibration le plus simple existe quand, de A en B, toutes les tranches sont, à un moment

Figure 46.

quelconque, animées de vitesses de même sens. Il n'y a alore qu'une denii-concamération de longueur AB et la verge donne le son fondamental. — Les nombres de vibrations correspondants aux sons fondamentaux de verges de même nature et de longueurs différentes sont évidemment inversement proportionnels aux longueurs de ces verges. — L'expérience démontre, en outre, que le son fondamental d'une verge encastrée par une extrémité est à Vunisson du son fondamental d'une verge de même nature, de longueur double et libre par ses deux extrémités, ou, encore, à Voctave grave du son fondamental d'une verge de môme nature, de mêm^ehngueur et libre par ses deux extrémités .

Une verge encastrée par une extrémité peut aussi se partager en segments vibrant à l'unisson, mais le partage doit toujoui's s'effectuer de manière qu'il y ait un ventre de vibration à l'extrémité libre et u n nœud à l'extrémité encastrée.

iU VIBRATIONS DES CORPS SOLIDES.

Lorsqu'il se produit un seul nœud N dans la longueur de la verge (fig. 47, 1), ce nœud est au tiers de AB, à partir de Textrémité libre B ; il y a alors une concamération complète AN et une demi-concamération NB. — Le nombre de vibrations correspondant au son i^ndu dans ce cas est triple du nombre de vibrations correspondant au son fondamental.

Loi^qu'il se produit deux nœuds intermédiaires N, N', (fig. 47, II), lademi-concamération tenninale

N vr" I '

II t>\!j! ' I

Figure 47.

N'B est égale au cinquième de la longueur de la vei*ge ; la longueur commune des deux concamérations complètes AN, NN' est double de la longueur de la demi-concamération terminale N'B. — Le nombre de vibrations, coirespondant au son rendu dans ce cas, est quintuple du nombre de vibrations correspondant au son fondamental de la verge.

Les sons divers que peut rehdi'e une même verge encastrée par une extrémité appartiennent donc à la série des harmoniques du son fondamental de

VIBnATIONS DES CORPS SOLIDES. Iô5

cette vei^e. Mais l'ensemble de ces sons, y compris le fondamental, est représenté par la série des nombres entiers impairs 1 , 3, 5, 7, ... ; les sons partiels de rang pair font complètement défaut. La loi est la même que pour les tuyaux d'orgue bouchés par une extrémité.

Cagnard de Latour (1) a fait de nombreuses expériences sur les vibrations longitudinales de longs tubes de verre remplis d'eau. Il a constaté que les vibrations du verre se communiquent au liquide qui vibre parallèlement à l'axe du tube et devient un véritable corps sonore. Ces phénomènes sont de nature à jeter quelque jour sur le rôle des parties constituantes de l'oreille et en particulier des canaux demi-circulaires.

TlbraU ons toarnantcs. — Ce mode de vibration a été fort peu étudié et n'a reçu aucune espèce d'application ; il doit nous suffire de le mentionner et de le caractériser. — Chladni, qui l'a découvert, l'observa d'abord sur des verges cylindriques ; mais on peut le faire naître sur des verges de toute autre forme. A cet effet, on encastre la verge par une extrémité et on la tient à la main par l'autre bout ; on la frotte ensuite légèrement avec un archet dans un plan peipendiculaire à son axe. Le contact de la

(1) Annales de chimie et de physique y 2« série, 1834, t. LVI, p. 252 et 280.

main rend les vibrations transversales impossibles ; le frottement de Tarchet détermine une véritable torsion qui donne lieu à des mouvements synchrones accompagnés d'un son. D'ailleurs, ce son correspondant aux vibrations tournantes est plus élevé que le son donné par le mouvement vibratoire transversal de la verge. — Poisson a trouvé un rapport constant^ indépendant de la nature du corps, entre les nombres w, rv des vibrations tournantes et des vibrations transversales exécutées par une même verge encastrée par une extrémité. — Ce rapport vérifié par F. Savart est :