DENSITÉ
id.
0,9990 0,9963 0,9931 0,9893 0,98il 1,0264 1,1920 1,1089 1,1602 1,1828 1,2066 1,4322 0,8362 0,7960 0,8622 0,7529
dans une colonne
ni 1173,4
iai9,9
dans une
niasse illiniitcc
COMPRESSI- BILITÉ
Ces compressibilités absolues des liquides, déduites par M. Wertheim de ses expériences sur la vitesse de propagation du son, ne s'accordent pas avec les compressibililés déterminées directement par M. V. Regnault et ses élèves. Il n'y a pas lieu de s'étonner de ce désaccord; nous avons vu, en effet, précédemment (page 516) que ces dernières déterminations sont entachées d'une cause d'erreur qui ne permet pas de les accepter comme les valeurs réelles de la compressibililé absolue des liquides; elles ne peuvent être admises qu'au titre de limites supérieures.
VIBRATIONS DES CORPS SOLIDES (page 129}
Les orps solides peuvent effectuer des vibrai transvi -«aies et des vibrations longitudinales. Dac instrui ^e musique, les vibrations transversales été exâ '^nt utilisées. Nous croyons cependant
voir in * * les vibrations longitudinales qui ont
mises .*. pour déterminer expérimentalemenl la
tesse Q upagation du son dans les solides. Pour terminer les lois de ces mouvements vibratoires, il fi considérer à part les diverses formes sous lesqueifc^ présentent les corps solides.
Article premier.
Vibrations des cordes (page 129).
Ces vibrations sont transversales ou longitudinales.
Vibrations transversales des cordes (page 130).
Lagrange a déduit de ses calculs l'expression générale suivante du nombre des vibrations simples exécutées dass Tunité de temps par une corde tendue, lorsqu'elle obéit
;n mouvement de totalité et qu'elle rend le son dam entai :
^-V Qj-p
Dans cette formule, n est le nombre des /ibrati mples exécutées en une seconde, g l'accéléra'* la pesanteur, P le poids tenseur de la corde, p la ^ueur et le poids de la corde comprise itre les I «is fixes.
I ^^i nous représentons par tt le rapport ^ ., rconférence au diamètre, par r et d le rayon ds spé-
cifique de la corde, nous avons :
p=nr'ld,
d'où, en substituant :
Il résulte de cette formule que le nombre de vibrations simples correspondant au son fondamental d'une corde est :
V Inversement proportionnel au rayon r, à la longueur i et à la racine carrée du poids spécifique d de la corde ;
2" Directement proportionnel à la racine carrée du poids tenseur P de cette corde.
Nous avons montré (page 131) comment le sonomètre permet de vérifier expérimentalement l'exactitude de ces lois.
Cependant les expériences sur le sonomètre, quand
elles sont conduites avec soin, fournissent des résultais qui ne sont pas en accord parfait avec les indications de la formule théorique. Quand on compai'e deux sons rendus par deux longueurs différentes de la même corde soumise à la même tension, le plus aigu est toujours un peu plus grave que le son théorique. Ainsi le son rendu par la moitié d'une corde est pliis grave, d'un qu^rt de ton, que l'octave aiguë de la corde entière ; l'écart augmente avec le diamètre des cordes. Quelque soin que l'on prenne, d'ailleurs, pour assurer la fixité des extrémités de la corde et empêcher la communication de ses vibrations aux supports, on constate des différences notables entre les résultats de l'expérience et les indications de la théorie.
Le colonel N. Savart (1), dans un mémoire fort intéressant, fait remarquer que la formule générale ne tient aucun compte de Yélasticité de la corde et que, par suite, ses indications se rapportent aux vibrations d'une corde parfaitement flexible et dont le mouvement serait uniquement commandé par la tension. Or, il a montré qu'une corde sans lensiony dont les deux extrémités sont fixées, rend un son. Lorsque la corde est tendue^ le mouvement vibratoire s'exécute donc à la fois sous l'influence de Yélasticité de la corde et sous l'influence de la tension à laquelle elle est soumise. Le colonel N. Savart a mesuré l'influence de l'élasticité, en comptant le nombre des vibrations exécutées par une corde sans tension. Il résulte de son travail que, si nous représentons par N le nombre réel des vibrations exécutées dans l'unité de temps par la corde tendue, par n^ le nombre de
(1) Annales de chimie et de physique, 3* série, 1842, t. VI, p. 5.
vibrations de la corde non tendue et vibrant uniquement par élasticité, par n le nombre de vibrations indiqué par la formule dans laquelle on suppose la corde dépourvue d'élasticité et soumise seulement à Faction de la tension, on a, entre ces quantités, la relation suivante :
n varie avec la tension ; il est directement fourni par la formule de Lagrange.
n' est une quantité constante pour une même corde et fournie par l'expérience ; cette quantité dépend de l'élasticité de la corde et varie nécessairement avec sa nature.
» Il résulte de mes recherches, dit le colonel N. Sa-
* vart, que pour avoir le nombre de vibrations que pro- » duit une corde tendue, il faut considérer cette corde » dans deux élats différents. On la suppose d'abord non ï élastique, mais soumise à la tension; on la suppose » ensuite non tendue, mais élastique, La somme des I carrés des nombres de vibrations pris dans chacune de » ces hypothèses est égale au carré du nombre des vi-
* brations quand elle sera à la fois élastique et tendue, » Il en est de ce dernier nombre comme de la résultante » des deux forces perpendiculaires entre elles.
» Lorsque la charge est très-considérable, l'élasticité » n'ajoute plus qu'un petit nombre de vibrations à celui » que fournit la tension ; elle n'est* plus, relativement, » qu'une force extrêmement faible, et c'est alors seule- » ment que le son acquiert toute sa pureté. On sait, > d'un autre côté, que les verges font entendre des sons » très-purs; et dans ce cas, au contraire, l'élasticité
B seule est en jeu. Ne serait-il donc pas permis de pen- B ser que la nature du son dépend de la combinaison de B deux forces, et qu'elle est d'autant plus parfaite » qu'une de ces deux forces a moins d'influence? S'il » en est ainsi, il faut, pour obtenir des sons purs avec » les cordes, employer celles qui ont le moins d^élasti- » cité possible et qui en môme temps peuvent être for- >) tement tendues. Les cordes à boyau sont dans ce cas, » et produisent en effet des sons d'un timbre beaucoup » plus doux que ceux des fils de métal. »
Dans une note, imprimée à la suite du mémoire du colonel N. Savart M. Duhamel a montré qu'il suffit, en effet, de faire entrer la condition de l'élasticité de la corde vibrante dans le calcul, pour arriver à une relation identique à celle que le colonel N. Savart a déduite de ses expériences directes.
Ainsi se trouve parfaitement déterminée la cause réelle du désaccord que nous avons signalé entre les résultats de l'expérience et les indications de la formule de Lagrange.
Vibrations longitudinales des cordes (page 140).
Nous avons vu (note A, page 509) que la vitesse de propagation v du son dans un corps solide, dont la longueur est très-considérable par rapport à ses dimensions transversales, est fournie par l'équation suivante :
dans laquelle g représente l'accélération due à la pesanteur, E le coefficient d'élasticité et D le poids spécifique
du corps considéré. Cette formule s'applique évidemment à une corde exécutant un mouvement vibratoire longitudinal.
Si la corde exécute un mouvement vibratoire de totalité entre ses extrémités fixes, si elle rend le son fondamental, si d'ailleurs nous appelons l la longueur de la corde, l sera aussi la longueur d'une vibration simple ; donc, en représentant par n le nombre des vibrations exécutées dans l'unité de temps, nous aurons, nécessairement :
v = nl, d'où
d'où enfin, en remplaçant v par sa valeur :
Le nombre des vibrations longitudinales exécutées, dans l'unité de temps, par une corde qui rend le son fondamental est donc :
1» Inversement proportionnel à la longueur { de la corde ;
2* Inversement proportionnel à la racine carrée du poids spécifique D de la corde;
S" Directement proportionnel à la racine carrée du coefficient d'élasticité E de la corde ;
4" Complètement indépendant du diamètre et de la tension de la corde.
Les deux premières lois sont communes aux mouve-* ments vibratoires transversal et longitudinal des cordes.
Du moment où le nombre des vibrations est inversement proportionnel à la longueur de la corde, il est facile de voir que le son fondamental et les sons partiels forment une série complète d'harmoniques, représentée par la série naturelle des nombres entiers :
Nous avons vu (page 523) que le nombre n des vibrations transversales exécutées par une corde rendant le son fondamental est fourni par la formule :
»=K ff-^r
dans laquelle P représente le poids tenseur, p et Me poids et la longueur de la partie vibrante de la corde.
Nous venons d'établir que le nombre n' des vibrations longitudinales exécutées par la même longueur de la même corde rendant le son fondamencal est fourni par lu formule :
Ces deux formules donnent la relation suivante entre les nombres w, n' de vibrations transversales et longitudinales :
n V ^nl . . /PD
Si nous représentons par s la section transversale de la corde nous avons :
d'où, en substituant :
ÎL-/|/PD__ l/P
Si nous appelons i l'allongement que subirait celle corde de longueur l el de section s, sous la traction d'un poids P, nous avons :
^ 1 PJ
d'où
Ce qui donne, en remplaçant E par sa valeur :
Le rapport des nombres n, w'.des vibrations transversales et longitudinales est donc égal à la racine carrée du
rapport -t; et, comme X est toujours très-petit par rapport à î, il en résulte qu'à longueur égale, le son fondaw^ntoi correspondant à la vibration longitudinale est toujours beaucoup plus <iiguy pour une même corde, que le son fondamental correspondant à la vibration transversale.
Article II.
Vibrations des verges élastiques (page 145).
Comme les cordes, les verges élastiques peuvent exécuter des vibrations transversales et des vibrations lon-
GAYARRET. 34
