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gitudinales. Ces deux modes de mouvement vibratoire doivent être étudiés à part.

VibraUoos transversales ^page liôj.

Euler (I), le premier, a donné l'expression générale des lois du mouvement vibratoire transversal des vei-ges. Les résultats de l'expérience directe confirment Texaclitude des inductions de la formule suivante, trouvée par ce grand géomètre :

Dans cette formule, n représente le nombre des vibrations exécutées dans Tunilé de temps, e, /, e, d, j, l'épaisseur, la longueur, le coefficient d'élasticité, la densité de la verge et l'accélération due à la pesanteur; K est une constante qui dépend de la manière dont la verge est soutenue ou encastrée et du nombre de nœuds qu'elle présente.

L'épaisseur e de la verge est la dimension transversaleparallèle à la direction du mouvement; la longueur i est la dimension perpendiculaire à la direction du mouvement.

Si nous comparons des verges de même nature dont le mode d'encastrement soit le même et qui présentent un môme nombre de nœuds, la formule précédente se met sous la forme :

(I) Actes de racadémiede Sainl-Pétersbourg pour l'année 1779.

G est une constante dont la valeur dépend du mode d'encastrement, de la nature de la verge et du nombre des nœuds.

Cette formule démontre que le nombre des vibrations exécutées dans l'unité de temps est :

1" Indépendante de la largeur des verges;

2" Directement proportionnelle à leur épaisseur;

3" Inversement proportionnelle au carré de leur longueur.

Quel que soit le mode d'encastrement adopté, la verge peut rendre plusieurs sons dont la hauteur varie avec le nombre des nœuds ; le son fondamental est toujours celui qui correspond au mode de division le plus simple de la verge. Des six modes d'encastrement auxquels les verges peuvent être assujetties, nous étudierons seulement les trois qui peuvent être et ont été utilisés dans les instruments de musique.

!• Verge libre par ses deux bouts, — Dans ce cas, la verge cd (fig. 99) est simplement appuyée sur deux

Figure 99.

supports triangulaires de bois a, b. La division la plus simple correspondante au son le plus grave, au son fondamental, est représentée dans cette figure 99 ; deux nœuds n, n' sont placés aux points de contact des deux supports; nous avons indiqué par une ligne ponctuée la lormequela verge affecte pour vibrer. Elle se partage en trois parties d'inégale longueur; les extrêmes vibrent

autour des nœuds n, n'; la partie médiane exécute un mouvement de totalité comme ferait une corde fixée en N etN'. La verge peut affecter d'autres modes de division, à chacun desquels correspond un son partiel plus élevé; il peut y avoir 3, 4, 5, 6, 7, etc., nœuds.

Chladni(1)a déterminé expérimentalement les rapports musicaux des sons partiels correspondant aux aux divers modes de division de la verge. Le tableau suivant donne les résultats de ses recherches.

Nombre de nœuds 2 3 4 5 6 7

Valeurs des sons (3)^ (5)^ {ly (9f (li)^ (13)«.

Les sons partiels de la verge ne sont donc pas des harmoniques du son fondamental qui correspond à la formation de deux nœuds.

2** Verge encastrée par ses deux extrémités. — Le mouvement vibratoire le plus simple que puisse exécuter une verge cd encastrée par ses deux extrémités est représenté dans la figure 400; il y a un nœud à chaque

Figure 100.

'extrémité, un ventre de vibration au milieu et la verge rend le son le plus grave, le son fondamental. La verge peut se diviser en un certain nombre de parties vibrant à l'unisson ; elle présente alors 3, 4, 5, 6, etc., nœuds; à chacun de ces modes de division correspond un son partiel dont la hauteur dépend du nombre des nœuds. Le tableau suivant donne les rapports musicaux des

(1) Traité d'acomtiquBy Paris, 1809, p. 94

sons partiels correspondants à ces divers modes de division, tels qu'ils ont été expérimentalement déterminés par Chladni (1) :

Nombre de nœuds t2 3 4 5 6

Valeurs des sons (3)^ (5)'^ (7)^ (9)^ (H)^

La loi des sons partiels est la même pour les verges encastrées par les deux extrémités et pour les verges libres par les deux extrémités. Ces sons partiels ne sont pas des harmoniques du son fondamental correspondant à deux nœuds, un à chaque extrémité fixée.

3** Verges encastrées par une extrémité et libres par Vautre, — La figure 101 représente le mode de vibration le plus simple que puisse exécuter une verge cd dont une extrémité est encastrée et l'autre libre. Il n'y a qu'un nœud \ situé à l'extrémité encastrée, et la verge \ rend le son le plus grave, le son fondamental. La verge peut se diviser et présenter 2, 3, 4, 5, 6, etc., nœuds; à chacun de ces modes de division correspond un son par- • fk tiel dont la hauteur dépend du nombre de ^

nœuds. — Chladni (2) a déterminé expéri- *''«• ^^*mentalement les rapports .des hauteurs musicales de ces sons partiels.

Laissons de côté le son fondamental correspondant à l'existence d'un seul nœud au point d'encastrement, et comparons les sons partiels correspondants aux autres modes de division, en commençant par le cas îe plus simple, où il existe deux nœuds. Les expériences de

(i) Loco citatOy p. 97.

(2) Loco citato, p. 91 .