VI. Formes diverses des résultats
 D. SAINT-BLANCAT.
ù L. —— Foncrion PERTURBATRICE RELATIVE A L ACTION DIRECTE.
1. Soient, parallèlement à trois axes rectangulaires de directions invariables, z, y, 3 et E,n, € les coordonnées géocentriques de la Lune et de la planète perturbatrice, x',y/, 3! et x”, y”, z! les coordonnées héliocentriques de la Terre et de la planète. Soient, en outre, r le rayon vecteur de la Lune rapportée à la Terre, r' etr" ceux de la Terre et de la planète rapportées au Soleil.
Nous désignons par f le coefficient d’attraction, par 77" la masse de la planète,
et nous posons A (Ex) En y)'EU Ci D En RC.
On a alors, pour la fonction perturbatrice du mouvement de la Lune relative à
l’action de la planète, l’expression suivante
D dm er) Hat de Le D: )
En posant TO—=XE+YNn+SË,
nous avons NN) EE 720 7 0
et, par suite,
we
HET T2—97o\ SN à.
Il nous suffit de développer le crochet du second membre jusqu’au quatrième terme, en négligeant les termes en 7. Il vient
: 1 : MP Nous pouvons supprimer dans R le terme —, qui est indépendant des coor-
données de la Lune. Nous écrirons
R = fm" (Ri+ R),
en posant
(1) Ie
r? Tr à n R, est de l’ordre de ns et R:, de l’ordre de TS Cette dernière partie de la fonc-
tion perturbatrice à en facteur la parallaxe solaire. Les termes qui lui corres: pondent, dits termes parallactiques, peuvent être considérés comme du second ordre. Par conséquent nous n'avons pas à développer R; ‘par rapport aux inclinaisons et aux excentricités, puisque nous nous proposons d'obtenir le
développement de R jusqu’au second ordre seulement.
a ; ; : D 7 Considérons l'expression ci-dessus de R,. En ajoutant et retranchant + — et
4 D° désignant 26?— D? par P, nous pouvons écrire R I 3 :
Up °Ppp-. LAON n
Nous avons à développer cette quantité par rapport aux inclinaisons et aux
excentricités, en négligeant le troisième ordre.
2. Désignons par H, H', H” les angles des couples de rayons vecteurs r’ et r”, r'etr,retr, respectivement.
Soient # la longitude vraie de la Lune, rapportée à la Terre, +! et v” celles de la Terre et de la planète, rapportées au Soleil; s,s',s" les latitudes correspondantes; À, N, À" les longitudes dans l’orbite, en prenant pour plan fondamental des coordonnées l’écliptique à une certaine date.
Soient, en outre, E le pôle de cet écliptique, M, M', M" les points où les
rayons 7, 7”, r” percent la sphère céleste. Alors le triangle sphérique EM'M”
donne cos H — sins'sins”+ coss’ coss” cos (vo! — v”),
Or, en désignant par £, #’, 1” les inclinaisons des trois orbites sur l” échptiqne et par À, h', k" les longitudes des nœuds, on a
SNS SIN SIA en), sins” — sin£”sin(À"— h"), coss’ cos (o'— h') — cos(}'— h'), coss”cos(e"— }") — cos(?"— Ah"), coss'sin (p/— k') — cosisin(À'— '), coss” sin (6"— h") — cosé" sin (À”— L").
"l 1/1 ; A ut ru : : , Par suite, en désignant sin) sin— par y et y”, on obtient, toutes réductions
faites,
cos H = cos(À'— 2") —2y?sin(} — h')sin(\"—}')—27y"?sin(X"— k")sin(x'— h") + 4y y" Vi — VEVi— y" sin(À'—h')sin(}"— k") + 4y2y" sin (A — #!) sin(N— A") cos(k'— h").
Cette formule est rigoureuse. En ne conservant que les termes du second ordre
; : AU et en remplaçant les produits de sinus par des sommes de cosinus, d’après les
D. SAINT-BLANCAT.
formules connues, 1l vient (2) cosH — cos(À’— 2") + y?[cos(\'+ '— 2h) — cos(à'—2”)] + y?[cos(à + %"— 2h")— cos(X—?")] — 2y y"[cos(à + 2" — L'— h") — cos(X — À — A+ A].
On aura les expressions analogues de cos H’, cos H” en accentuant convena-
blement les lettres dans la formule précédente. Retenons seulement pour l'instant que, 4, 2, &’ désignant des quantités du
second ordre par rapport aux inclinaisons, nous pouvons écrire
Cos (À — À") + æ,
cosH — cosH' — cos(À”— À ) + x, cos H”=— cos(À — À") + &”.
