I : < = 5 2 D cos(ig + 4) (etit — 2 Bet + Brei
Pia “ k DA DE cos(to + d), gl — eti+1) — 26 et) + ÉrCEL ge) pete pren,
Comme on le voit, 2 et 917 sont généralement différents; ils ne sont égaux que pour — 0.
Il vient alors
Nous poserons
de même que
Les termes du second membre de (6) sont de la forme
I PE m cosM,
où m désigne soit cÜ), soit 2% et M l’un des angles lo et ip + Y. Le coefficient m est une fonction de £.
Proposons-nous de développer cette fonction F par la formule de Taylor, jusqu’au second ordre. C’est une fonction des quatre variables r, r', r”, M.
Les dérivées du premier ordre sont
OF 21 OF 37? ir 7
dr port cosM, malo CONS PE m' cos M, 0F Fe, 0F 74 :
dr = re 4 cosM, DM = 7" m sin M
en désignant par 72’ la dérivée de m par rapport à f.
Soit de même nm” la dérivée seconde; nous poserons aussi
dm gs dm Tr — Mm= D —-—e Do Le On a alors pour les dérivées secondes de F P 02F 2 EF 127? Sr?r" ; r?r"2 À Je = nn cosM, Je = em COS M + En COM + —5 m cosM, EF LA dF 2 TEE cosM, SN a" cos M, FE ï IF = 7 m COSsM — —— m’ cos M, r'or dF , dF == m! cosM = m sin M dr or” de É or 0M Æ ; 0?F 2 DT Re De m' cosM Fm" cosM, Jia 1 F O7 : TS RAM dF Re EE m'sin 6 SU le dr 0M r'* msinM + r'5 M, or" 0M r'#
12 D. SAINT-BLANCAT.
Soient ro, r'p!, r' 0" les accroissements de r, r', r”, p celui de M. Il vient alors,
pour le développement cherché,
(7) PP | c0$M (m + agm—3gtm — p' + pm +pm+6p?m+hpm Tr T re Lee bol + pm pme =pm—6ppÎm
— 2pp ra +2pp" ma p'e"ma— pm) + sinM(— um — 2oum+3ppm +pp'm ppm) | >
; k r> 3 Nous allons appliquer cette formule au développement de — ch) coszo el r
TRE $ ; ; de — 9% cos(io + L) successivement, en donnant aux accroissements p, DRE Ste
les valeurs convenables.
5. Occupons-nous d’abord de la première de ces deux expressions. On a, e dési-
gnant l’excentricité, / l’anomalie moyenne,
p——ecosi+—— cos2l DEN ee Eee
et les quantités analogues p/, p”, ..., en accentuant les lettres.
On en déduit, jusqu'aux termes du second ordre,
CAES Ace
RTE ne ARE EN LS ee’ .
Pau ; COS 24, Ve cos(l + d') + à cos({— 7),
à : . o ; 6) 2 PRÈS i(ze sin /'— 2e” sinl”+ —e’?sin2l! — 2 e sin),
est
(8) p? —=i[2e + 2e"— 2e"? cos2l— 2e"?cos 2l"+ 4e'e" cos(l'+ l}—4e'e” cos(l'—[")],
up —=—iee [sin(l+7)+ sin(l—{)] + iee’[sin({"+ 1) + sin(27 — 7)], pp =—ie® sin2l'+ie'e"[sin({" +) +sin(#— 7), | pp iele'[sin( + l") + sin(l — l)] + ie"? sin l.
Il vient alors, en remplaçant M par &à et en ne conservant que les termes prin-
cipaux dans chaque coefficient, s’il en existe de plusieurs ordres,
=> cos iÔ (; ct) + ecos(i8 + D (— reti)
. d I È 1 €. cos (20 + /!) cu + ef)
+e”. cos(id + l') (- soie se)
3 Hoi ee DU ji 22 +e* cos(id+2l) (ÉEIEE cn + 28 4 Lot
DITES ; Pa:
6. Passons au développement de S ro cos(£o + d). Nous avons les mêmes
x , Q ® s/ 5 5/ [2 expressions de p, p', p". Quant à n, c’est l'accroissement de £(À—N")+2i—N—V. On a alors
ù ; p=#4esinl + 2 es sin2/+(i— (2e sin l' + re sin2l) — G+n (ae sin l"+ gesinal),
p?=8e — 8e cos2l+o2(i—1) e?— 2(i—1)e? cos2l + 2(i+1)’e"? — 2{i+r) e"?cos2/"— 8(i—1)ee'[cos({ + l)— cos({— /)] + 8(1+1)ee"[cos({ + !") — cos({ — l”)] + 4(@— r1)e'e"[cos(l'+ l7) — cos(Z— 7")],
14 D. SAINT-BLANCAT.
et pp —=—2esin2{—{(i—1r)ee[sin(/ +/)+sin(/ — 4]
+ (+1) ee”[sin(2"+ {) + sin( #7 — 2)],
pp =—2ee[sin({+l)+sin({—)]—(i—1)e?sin2/
+ (i+ijele’[sin(/"+#)+sin({— 7)],
pp"—— 2ee"[sin({+ l')+ sin({— l')]
— (i—i)e'e"[sin(Z+ #7) + sin({—/")]+(i+r)e”?sin2/.
[ne faut pas oublier, pour opérer les réductions de termes semblables, que 2(T# est différent de 2.
Par suite des relations (5), io + 4 devient à + 0,. On n’a conservé dans le coefficient de cos(iù + à,) que les termes principaux. oË)
Ici m, m,, m, doivent être remplacés par g(), g%, 9%, dans l'application de la
formule (9). Il vient
(CO) SR z cos(io +4)
=>] Cos(i0 +0) (8%) +ecos(id + d,+1)(g)
+e cos(id+d—7/) (—3gt))
+e! Ccos(ido + d,+ l') | (+ r)en+ set |
: I ; | - “ à ADR | +e” cos(id + d,+ /") ) [ci go — se |
+e! cos(ido+d,—[')
+e” cos(id + d,— l”) (é+1) go — 8
He? Cos(iô ++ 21) (g() + e?cos(i0 + à — 20) (sv)
A LC +oi+5 , +e”? DA go + na St +ger
+e? cos(id+d—2l) LL EE: HIER
+e"? cos(id +d,+ 20")
+ ee"? COS(10+ 0— 20") 4e? ETS
) ne ) I en tant Do 1) 1 )
se ee = ACTION D UNE MASSE INTRAMERCURIELLE SUR LA LONGITUDE DE LA LUNE.
or.
— —— o(i) 1 8 75 À 6 MERS 3 Sn ! à Ô 1 2+I : I 3 8 a Der. COs(£ ae 1 +lEl ) à go + seit) : Gi—15 ÉNE + € e! COS(i0 + 03— 7 — l' )( ; gt — et) + e e' COS (id + à, + [ =)( Pot G) + 710 2 2 + € € Cos(d+ à — 1 + )(— ES get) 2 2 +e e”cos (id + d,+l +") |- (TEDeUE Lg
+ e e"Cos(id + 9,—{—(") + e e"cos(id + d,+ 0 —[")
+ e e"cos(iù + à, — 7 +1")
+ ele" cos (id + 0,+l'+ 0") | — = gO— (it) + ele" cos(iù + d,—l'— 1") ee GE (x ele" cos(io + d,+0—4)| ?° = L pt ele" cos (0 + 0,—l+ 0") Mind Des
Fo
7. Il nous reste à trouver les termes parallactiques, qui sont donnés par la
partie de la fonction perturbatrice que nous avons appelée R;, formules (1).
On a
En posant
on peut écrire PAR aie 3°) ST 5 QT,
Rappelons que nous avons posé
os = 1" cos H' — 7’ cos H”, Dre 2} lcosH;
10 D. SAINT-BLANCAT.
On peut faire 1c1 = 0 RG), Fed cos H — cos(À'— À’), >
en négligeant les excentricités et les inclinaisons, les termes parallactiques ayant (#2 . TS Ces en facteur —;, considéré comme une quantité du second ordre. Alors og = a” cos(}”— À) — a! cos(À — À), D?= a°?+ a"?— 2a'a" cos(}— X”); par suite = a"3 cos (À — À) — a'8 cos (À — À’) — 3a'a"? cos? (X}" — À) cos(À — À) + 3a°?a" cos(}”"— À) cos (À — À}, et, en Lenant compte des relations trigonométriques
COST cos3 «,
