DU — DA

te

Remarquons en passant que DE est également ’ fois la longueur AD; les triangles A A’D, EUD étant semblables, EU est parallèle à AA’.

L’échelle métrique AA peut occuper une situation quelconque : A' peut ètre sur AB; on peut aussi reporter cette échelle sur la hauteur AH issue du point À (/ig. 6); le rayon A’D devient alors le côté BC; le point U se trouve

A 2 # \ Q : . ee à une distance de D égal à : fois la longueur HD ; or, le point D divise BC

dans le rapport

DCE DEV Li Pr DH DCE DA = Ê (65) 5 (DE —DB)= ET BC; La longueur (66) Uu= UD + DH = (14 #) pu = ÉETRc.

On pourra donc construire le point U (fig. 6) dans l’un ou l’autre des cas particuliers, la formule (64) permettant, en outre, de le déterminer avec facilité dans tous les autres cas (/ig. 5).

Détermination des courbes par points. — Plusieurs méthodes s'offrent à nous. Elles utilisent des droites cotées parallèles ou convergentes vers les sommets du triangle et choisies de manière que la cote de leurs points d'intersection se déduise facilement de leur cote propre.

La première méthode, toute intuitive, fait appel à la forme même de l'équation

xs ?

dont on cherche à décomposer le second membre en deux facteurs, chacun de ces facteurs représentant un élément géométrique facile à déterminer. Si l’un des nombres $ ou y est égal à «, la décomposition sera

(67) Ja K (en supposant « —£).

Le premier facteur représente des droites issues de C, la graduation située sur AB est donnée par

Là (68) D A OR

(4 étant le rapport des deux coordonnées y et æ du point 7»! d’intersection de AB et de la droite issue de C). Le second facteur représente des parallèles à AB. Les points d’une courbe cotée K seront obtenus par l’intersection de

couples de droites issues de C et de parallèles à AB, dont les cotes n et © données par les équations

1% (69) ken et st

= sont telles que MC NW.

Une semblable décomposition en deux facteurs ne peut se produire que si l’un des nombres 6 ou y est égal à «, ou si la variation n est nulle puisque la somme 6 + y est alors égale à x (auquel cas les deux facteurs représentent des droites issues de B et de C).

Cette méthode simple permet de situer les points des courbes sur des droites issues d’un des sommets B ou C, chaque droite portant un seul point appartenant à une courbe donnée. Mais elle ne s'applique que dans un nombre de cas relativement restreint.

Nous l’avons employée dans la construction de trois de nos graphiques, ceux des types (1, 1, — 1}, (1,1, —2)et(2, 1, — 2). Il semble donc, au contraire, que ce procédé s'applique à la majorité des cas, puisque nous avons construit en tout cinq graphiques du deuxième ordre; la petitesse du coefficient «, 6, y suffit à expliquer cette contradiction. C’est ainsi que, parmi les 105 diagrammes possibles réparties sur le Tableau IT, (page 31) 59, soit un peu plus de la moitié, sont susceptibles d’être construits par ce procédé. Mais si nous considérions les En diagrammes possibles d’un des groupes du Tableau IT, dont le coefficient « soit égal à p et les coefficients 6 ou y inférieurs ou au plus égaux à m(m > p), il est facile de montrer que le nombre de types calculables par ce procédé est la partie entière du nombre 277 + >. la proportion de diagrammes calculables par cette méthode tend bien vers zéro quand on considère des coefficients x ou $ de plus en plus grands.

L'application de ce procédé exige le calcul de deux graduations pouvant toutes deux être celles de deux systèmes de droites issues de B et de Csin—o, ou celles d’un premier système de droites convergentes issues d’un des sommets B ou C et d'un second système de droites parallèles au côté opposé à ce sommet sin n'est pas nul. La fréquence de la première hypothèse est représentée

par le nombre d’entiers contenu dans E—, celle de la seconde par le

nombre 2m—1.

La généralisation de cette méthode se fait de la manière suivante : Projetons, au moyen d’une droite passant, par exemple, par le point C, le