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Soit donnée sur le plan horizontal de projection une ellipse A ( en d'autres termes prenous pour plan horizontal le plan coupunt.un cène droit ou de révolution suivant une courbe fermée A).
Supposons que l’on connaisse les deux axes de cette courbe, et ainsi sou grand axe aa et son petit axe W et son centre o.
Menons aux extrémités a et a', b et b' des axes, des tangentes à la courbe A, nous savons que nous aurons construit un rectangle circonscrit à cette courbe A.
Désignons par 0 , 6', $, 3', les tangentes menées respectivement à cette courbe A et en les sommets a, a, b, b' (fig. 1).
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(*) Los principaux résultats contenus dans cette deuxième partie ont été communiqués à la Société philomatique de Paris , dans sa séance du 43 mars < 847.
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Cela posé : •
Prenons une ligne de terre LT parallèle au grand axe aa de la courbe A; concevons un cylindre 2 vertical ayant celte courbe A pour section droite j coupons ce . cylindre 2 par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection et ayant la tangente 9 pour trace horizontale IP fig. 1); ce plan coupera le cylindre 2 suivant une ellipse E dont la projection E* ne sera autre que la courbe donnée A.
Prenons sur le grand axe au (ou sur son prolongement) de la courbe donnée A un point arbitraire d; et de ce point comme centre et avec un rayon égal à ad, décrivons un cercle D.
Ce cercle D sera tangent à la courbe donnée A en son sommet a.
Cela posé:
Les deux courbes, ellipse E et cercle I), auront au point a une tangente commune 9; ces deux courbes E et D pourront donc être placées ou enveloppées par un cène S, et no pourront être placées ou enveloppées que par un seul cône S.
Déterminons le sommet s de ce cône S.
Il est évident que les courbes E et D sont symétriques par rapport au plan vertical M passant par le grand axe aa (ce plan M sera parallèle au plan vertical de projection ) ; dès lors le sommet s du cône S sera située sur le plan M ; dès lors le l>oint s* sera situé sur le grand axe an ou sur son prolongement.
Pour déterminer le point »*, il est évident qu’il sullira de prendre sur la tangente S un point m arbitraire et de mener par ce point m deux tangentes , l’une à l’ellipse A ou E" et la touchant au point a? et l’autre au cercle D et la touchant au point y. En unissant les deux points afi et y par une droite G*, on aura la projection horizontale d’une génératrice droite G du cône S , et celte droite G* coupera le grand axe on' ou son prolongement en un point ** qui sera la projection horizontale du sommet 5 du cône S.
En vertu de ce que nous savons en géométrie descriptive , il sera facile de construire le point s* (les constructions sont exécutées sur l’épure , fi g. 1).
Cela posé :
En faisant varier la position du point d sur le grand axe an', on fera varier la grandeur du rayon dn cercle D; on aura donc une série de cercles D, D', D", ... avant respectivement pour centres les points rf, d', d"... ; tous ces cercles seront tangents entre eux et à la courhe A en le point a.
La courbe E sera successivement enveloppée et respectivement avec les cercles D, I)', D", ... par des cônes S, S', S”, ... dont les sommets* , s', s",... seront situés sur le plan M , et détermineront une certaine courbe y dont nous reconnaîtrons plus tard la nature géométrique.
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Mais remarquons que pour déterminer les points **,*'*, *"*,.. . nous devrons mener du point m des tangentes aux divers cercles II, IV, D", ... dont les points de contact seront respectivement y, y', y",... ür il est évident que l’on aura :
Dès lois tous les points y, y', y”,... seront situés sur un cercle S ayant le pointai
pour centre et ayant ma pour rayon.
Cela posé :
Démontrons que les points d et d' et*'*,... seront en général des points distincts,
séparés l’un de l’autre et que dès lors les cônes S, S',... seront des cônes obliques à base circulaire; ot démontrons en même temps que parmi tous ces cônes obliques , il en existera denx et qu’il n’en existera que deux , qui seront de révolution ; et déinonlrons dès lors qu’il existera denx cercles dans la série D, D',... tels que pour chacun d’eux le centre se confondra avec la projection horizontale du sommet d'un
cône de la série S, S', Ft qu’ainsi, on pourra faire passer par l'ellipse F deux
cônes de révolution distincts et ayant chacun son axe de rotation perpendiculaire au plan horizontal sur lequel est tracée la courbe donnée A.
11 est évident que le point *‘ étant l'intersection de la droite G* ou i/.r* avec le grand axe an' de l’ellipse A ou F* et que le point d, centre du cercle D, étant l’intersection du même grand axe an et d’une droite menée par le point y perpendiculairement au rayon my du cercle S , il est évident , dis-je , que ces deux points ** et cl ne se confondront en un seul et même point , qu’autanl que les droites i/x* et yd se supposeront ; et il est évident que , pour que cette supposition ait lieu, il faut que la droite yx* soit tangente au cercle S.
Dès lors, supposant que le point x* est extérieur au cercle 6 (plus loin nous démontrerons que cela a toujours lieu), il est évident que l'on pourra mener par ce point x* deux tangentes au cercle 6.
Ainsi (fiy. 2), menant par le point x* deux tangentes nu oercle 6, l’nne de ces tangentes touchera le cercles au point p, et coupa le grand axe on' en un point *,*, et l’autre tangente touchera le même oercle S au point p, et coupera le même grand axe aa en un point *,*. *
Les points s,* et s * seront donc les project ions horizontales des sommets *, et » de deux cônes S, et S, do révolution passant l’un et l’autre par l’ellipse F et ayant l’utt et l’autre leur axe de rotation ppemlirulairc au plan horizontal de projection , ou, en d’autres termes, perpendiculaire au plan de l'ellipse donnée A.
