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II est évident que l’on doit retrouver les mêmes points »,* et »* en effectuant des constructions analogues aux constructions précédentes, quel que soit le point x* choisi sur l'ellipse A ou E‘ ; si donc il est évident que pour un certain point de l’ellipse A la construction dis tangentes au cercle S correspondant à ce point , si" trouve toujours possible, il sera démontré que la construction de ces deux tangentes sera toujours possible quel que soit le point x* choisi sur l’ellipse A.

Or si l'on prend pour le point x*, le point b extrémité du petit axe de l’ellipse A, en menant par ce point b une tangente à l’ellipse A, on aura une droite paraMéle an grand axe aa' (fig. 3) et coupant la tangente 9 en un point r, de telle sorte'que l’on aura ta égale au demi petit axe de l’ellipse A; et si du point t comme centre et avec ta pour rayon on décrit un cercle 6', ce cercle sera toujours tel que le point b lui sera extérieur puisque l’on aura loujours ta < tb , car ta est égale au demi petit axe et tb est égal au demi graud axe de l’ellipse A; ainsi il so trouve démontré qu'il existe toujours sur le grand axe d'une ellipse A , deux points tels qu’ils sont les projections orthogonales des sommets de deux cônes de révolution passant par une clbpse E de l’espace, dont la courbe A est la projection orthogonale.

Les points et «‘seront les centres de deux cercles D, et L), tangents à l’ellipse A en son sommet a, et les deux cônes qui envelopperont respectivement les courbes E et D,, E et L),, seront de révolution et auront chacun leur axe de rotation perpendiculaire au.pluu horizontal.

On |>ourra construire (fitj. 4) les jioints *,* et s ' par les méthodes de la géométrie descriptive, et la construction nous démontre elle-même que l’un de ces points sera situé au-dessus de la ligne de terre LT et que l'autre sera situé en dessous de la môme ligue.

Après avoir démontré qu’il existe toujours sur le grand axe aa' de l'ellipse A deux points tels que «,* et s.‘, démontrons qu’il ne pe.ut pas en exister de semblables sur le petit axe W/ de la môme ellipse A , et ensuite sur aucun diamètre de cette courbe.

Si ( fitj . 5) l’on mène au point b, extrémité du petit axe, uuc tangente à la courbe A coupant la tangente 9 , menée au sommet a de cette courbe, en un point t, on voit de suite que le cercle 6" décrit du point l comme centre , et avec tb pour rayon , enveloppera le sommet a; en sorte que le point a étant intérieur (et il sera toujours intérieur ) au cercle 6", on ne pourra pas mener par ce point a des tangentes à ce cercle 6”. Ainsi il est démontré que l’on ne pourra pas trouver sur le petit axe d'une ellipse, des points analogues aux points j\ et dont nous avons démontré l’existence sur le graud axe de cette courbe.

Lorsque 1 on coupe un cône de révolution 1 par un plan de manière à obtenir une section elliptique B , on ne peut couper ce cône 2 par un plan perpendiculaire à son axe de rotation suivant un cercle tangent à l’ellipse E que de deux manières différentes; les deux plans sécants (évidemment parallèles entre eux) passeront paflR les extrémités du grand axe de l’ellipse E ; il est donc impossible de trouver sur un diamètre de l’ellipse A, des points tels que ceux ** et * t \

tangente conjuguée un angle est autre que le petit ou le grand

D'ailleurs un diamètre de l'ellipse A, faisant avec sa qui ujesl jamais droit (excepté lorsque le diamètre n axe de l’ellipse) , le centre du cercle qui serait tangent à l’ellipse ne pourrait jamais être situé sur le diamètre considéré (fiij. 6).

Ce qui précède nous permet île démontrer que l’on aura toujours pour l’ellipse

««.*— «,V> ou, en d’autres termes, que les points »,* el*.‘ sont équidistants du centre de l’ellipse.

En effet :

Ayant décrit (fi y. 7) du point *,* comme centre et avec â*7 pour rayon un cercle 1), , nous savous que si nous prenons un point x * arbitraire sur l’ellipse A ou h , en menant au point x*une tangente à cette ellipse A, elle coupera la tangente 0 (menée au pointa) en un point m tel que, si par ce point ou mène une tangente

au cercle I),, laquelle le touchera en un |>oinl y t , la droite y,x* passera par le point »,*. .

En prenant un autre point x' k (fig. 7) sur l’ellipse A on obtiendra un second

cercle S', lequel coupera le cercle D, en un point y', et la droite x k y , passera encore par le point t k .

Il est évident sur la figure que les droites x'y , , x k y , , sont tangentes respectivement aux cercles S,, 6',, en les points ij,, y',.

Mais do chacun des points x\ x'*,... de l’ellipse A on peut mener deux tangentes aux cercles 6',,... lesquelles droites passeront respectivement par les points *,*, »*.

Quelle que soit donc la position du point x* sur l’ellipse A , l’on obtiendra toujours, par la même ccmstrucîion , les deux mêmes points x, k et

Si donc on prend pour point x*, le point b extrémité du petit axé de l’ellipse A , on obtiendra aussi les points s, k et s*.

Or pour ce point b, on devra mener en b une tangeute à l'ellipse A, laquelle coupera la tangente 9 en un point n , et décrire do ce point n comme centre, et avec «n pour rayon , un cercle y. (Il est évident que le rayon du cercle y est égal au demi petit axe de l’ellipse A); ensuite on mènera du point b deux tangentes au cercle y, lesquelles couperont le grand axe ad de l’ellipse donnée A eu les deux points s*

et i‘; el il est évident (en lisant sur la figure) que l’on aura sfa — s'a, ce qu’il fallait démontrer (*).

Nous donnerons le nom de foyers aux deux points »,* et et nous nommerons rayon vecteur la droite menée de l’un de ces foyers à un point de l'ellipse, et rayons vecteurs conjuyucs , les rayons vecteurs menés de chacun des foyers à un mémo point de l’ellipse.

Ce qui précède étant bien compris, nous allons démontrer les diverses propriétés principales dont jouit l'ellipse.

Puisqu’on vertu de ce qui précède, étant donnée une ellipse A {Jiy. 8), 1' si Ion mène en un de ses points a? la tangente, laquelle coupe ta droite 0 tangente an sommet a île l'ellipse, en un point m; 3’ si du point m comme centre et avec ma pour rayon on décrit un cercle S; 3“ si du point x* on mène deux tangentes au cercle? et touchant ce cercle en deux points y' et y”, puisque ces tangentes viennent couper le grand axe tin de l’ellipse en deux points s* et s," qui sont les foyers de cette ellipse, il est évident que la tangente inj* n l’ellipse divise en deux parties égales

l’angle sfjfy" de ces deux tangentes au cercle S, et que dès lors la normale menée au poiut x k divise en deux parties égales l’angle des deux rayons verdeurs

menés au point x* de l’ellipse. On peut donc énoncer le théorème suivant :

(*) D'après ce qui précédé, pour construira les loyers d’une ellipse A { fig. 7 bis) dont on connaît le grand aie aa' el le petit me bb’, on devra d’abord mener au sommet a une tangente t à l'ellipse et nu Mjmmet b, une tangente ! qui coupera le droite 9 en un point m; ensuite on décrira , du point m comme centre, et avec ma pour rayon, un cercle C; enfin menant du sommet & (extrémité du petit axe) deux tangentes au cercle C , ces tangentes couperont le grand axe aa' en deux points f el f ' qui seront des foyers demandés.

Dans cette construction, on a deux triangles semblables , savoir : myb cl obf, ces deux triangles font rectangles, l’un en y et l’autre en o ; do plus les angles ofb el mby sont égaux comme angles correspondants, puisque les droites 6m et of sont parallèles.

On aura donc la proportion :