S III

Étant donnés une ellipse A [fig. !) ) et son grand axe ad et ses deux foyers / et /, nous pouvons décrire quatre cercles, dont, t * deux auront pour centre commun le point / et pour rayon l'un af et l'autre af (je désignerai le premier cercle par I) et le second par C); dont, 2* deux auront pour centre commun le foyer f et pour rayon l’un df et l'autre af (je désignerai le premier par I)' et le second par C).

Ainsi on a deux cercles D et D' enveloppés par l’ellipse A, et deux cercles C et (.' qui enveloppent cette courbe A.

Cela posé :

Regardant l’ellipse A fi g. 1 0 ) comme la section droite d’un cylindre vertical 1 , nous pourrons couper ce cylindre par deux plans P et P', dont les traces horizontales seront H" et H" respectivement tangentes aux sommets a et d de l’ellipse A.

(•) Plus loin nous montrerons comment l'on doit employer celte construction pour tracer sur le terrain et par points , une ellipse dont on connaît la position des sommets et des foyers au moyen de piquet* ou jalon.

Nous aurons donc pour sections dans le cylindre 1 deux ellipses E et E', qui se projetteront orlhogonaleraent sur lo plan horizontal en la même ellipse A.

Nous pouvons toujours supposer que les plans P et P' font des angles égaux avec le plan horizontal ; alors les deux courbes E et E' seront deux ellipses de même grandeur.

Cela posé :

Nous pouvons envelopper l'ellipse E et le cercle D par un cône de révolution S . dont l’axe sera vertical et dont le sommet s sera projeté en / ou s* et en s*.

Nous pourrons envelopper l'ellipse E et le cercle C par un cône de révolution S’ dont l’axe sera vertical , et dont le sommet s sera projeté en / ou «'* et en s''.

Nous pourrons envelopper l’ellipse E' et chacun des cercles D' et C par deux cônes de révolution, ayant chacun leur axe vertical et leurs sommets; s, et s,' seront horizontalement projetés pour le premier, s, appartenant au cône (E', IV en f , et pour le second, »' appartenant au cône (E', C) en /.

Deux des quatre sommets de ces cônes seront au-dessous et deux seront au-dessus du plan horizontal; les deux premiers, ainsi que les deux seconds, seront équidistants du plan horizontal, mais la distance au plan horizontal des sommets situes en dessous ne sera pas égale à celle des sommets situés en dessus. Yov. l’J?pure Jij. 10 ).

Cela posé :

Faisons passer un plan vertical M par le grand axe ««' de l’ellipse donné*» A. Ce 1 plan M contiendra les sommets s , s', , g' des quatre cônes dont nous avons parle

ci-dessus. De plus, ce plan M coupera chacun des quatre cercles I), C, D', C' tracés sur le plan de l’ellipse A , et dès lors situés sur le plan horizontal de projwtion en deux points ; ainsi ce plan M coupera les cercles D en les points a et il, C en les points a et c, D' en les points a' et d', C en les points a' et c’.

Et il est évident que l’on aura, fetf étant les foyers de l'ellipse A et les centres de ces cercles ,