V = /V, /NT=/Ÿ, /£= /F

De plus, le plan M coupera : I" chacun des quatre cônes suivant deux génératrices droites, et 2* les plans Pet P’ des ellipses E et E' suivant les grands axes de ces courbes, savoir suivant le grand axe aa, de l'ellipse E et n'a', de l'ellipse E\

Toutes les lignes droit** composant cette section faite par le plan M sont tracées sur la fit/. 10; et d'après ce qui précède, on voit de suite que les génératrices droites sa et sd du cône S, enveloppant les courbes E et D, sont respectivement parallèles aux génératrices droites ic et t a du cône S' enveloppant les courbes E et C'.

On > oit aussi que même chose aura lieu pour les cènes qui enveloppenl : I* les courbes E et D’, E cl C; 2' les courbes E'etD, E' etC'; 3" les courbes E'el I)', E' et C.

Nous pourrons donc conclure de ce qui précède : 1° que les quatre 0001*8 ont le même angle au sommet (nous désignerons ce deiui-anglc au sommet par a); 2 que chaque génératrice droite do ces cènes fait avec le plan horizontal de projection tin angle constant que nous désignerons par

Cela posé:

Si l’on prend fitj. 1 1) sur l’ellipse E un point x arbitraire, ce point se projettera en x k sur l’ellipse A , et les portions sx de la génératrice droite du cène S et tx de la génératrice droite du eène S' se projetteront respectivement sur le plan horizontal en les rayons vecteurs fx 1 ' et/** de l’ellipse A.

D’après ee qui a été dit ci-dessus , on aura :

^?=.«X.C05> et /"** = tix . cosi

Si par le point x et le sommet s on mène deux plans parallèles entre eux et horizontaux , ils couperont l’axe vertical du cène S' en deux points x, et q, qui seront respectivement les projections des points * et s sur cet axe, et s'a, sera la projection de la génératrice «' æ, et qx, sera la projection de la génératrice sx sur cet axe.

On aura donc :

s'x,=dr . cosi cl qx, — sx . cos *

Or, quelle que soit la position du point x sur l’ellipse E, on aura toujours s'x, -4- qx, = constante = K.

K sera égal à la distance existant entre les deux plans horizontaux menés par les sommets s et *' des cènes S et S'.

On aura donc :

Et par suite :

K . cos V CO S 3

=rs+r*'

.Ainsi l’on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. Dans toute ellipse, la somme des rayons vecteurs menés des foyers ù un point quelconque de la courbe est constante.

El comme si le point x* n’était autre que l'un des sommets a de l’ellipse A, on aurait af + af = aa', puisque l’on sait que af ’= af ; on voit que l’on peut dire que,

dans toute ellipse , la somme des rayons vecteurs est constante et c’gale au grand axe de la courbe.

Les angles * et X sont des angles complémentaires ; par conséquent on a :

cos i = sin S

Dès lors on aura :

tut =

tangl

On peut démontrer le théorème précèdent en se servant de deux cènes ayant leurs sommets situés d’un même côté par rapportai! plan horizontal, et ainsi fig. 12 en employant les cônes S,' et S' qui enveloppent , le premier l’ellipse E' et le cercle C , et le second l’ellipse E et le cercle C'.

On sait que les sommets et s de ces deux cônes sont équidistante du plan horizontal.

Si du point x* on élève une verticale, elle coupera l’ellipse E' au point x et l’ellipse E au point x.

En sorte que la génératrice s'x se projettera suivant le rayon vecteur fx k , et la génératrice s'x se projettera suivant le rayon vecteur /x*.

Or les angles au sommet des deux cônes S,’ et S' sont égaux et les axes de ces cônes sont verticaux ; on aura donc :

(j?= «.'x'. cosX et fx k = $x . cos 1

Menons par les points x et x deux plans horizontaux coupant l’axe du cône S' en les points x, et x,' ; on voit de suite que *'x, sera la projection sur l’axe de la génératrice s'x du cône S', et que s'x,' sera la projection sur le même axe de la génératrice s,'x du cône S',. On aura donc :

(s'x -f- s.'x' ) cos 1 = (»'x, -f- s'x ’ )

Or si l’on mène par les sommets n, et a,' des ellipses E et E' un plan perpendicutaire au plan M , nous savons que ce plan sera horizontal, puisque les ellipses E et E’ ont même grandeur, leurs plans P et P' étant également incliné (mais en sens contraire) sur le plan horizontal; ce plan coupera l’axe du cône S' en un point g, et le plan horizontal de projection qui passe par les sommets a et a des mêmes ellipses E et E' coupera le même axe en un point p, qui ne sera autre que le foyer/' de l’ellipse A.

Or l’on voit de suite sur la fig. 1 2 que l’on a : qx, — px,', et que cela a lieu quelle que soit la position du point x* sur l’ellipse A.

On aura donc:

d’où :

ïx,=fq-f-qz, et i,'x,’zxs'q + qx; («'t, + «V,)= 2 .Jq + qx, + qx, = 2.îq+ qp

ou bien :

( *'.r, -f *’x', ) = t'q -f- ’P = constante = H . par conséquent , on a :

7?+/^ = ÏL£2L\ = ïï'

Ce qui vérifie le théorème énoncé ci-dessus

Et l’on voit aussi que l’on a K = H ; et on lit en effet ce résultat sur la figure située dans le plan M i fig. 10, 1 1 et 12).