S IV

D’après ce qui précède, nous savons que si l’on a une ellipse A avant son centre «mi o et va pour demi grand axe et ob pour demi petit axe (fig. 13), menant au sommet a la tangente 9 à celte courbe , et traçant une série de cercles D, D',... tangents entre eux cl à cette ellipse A en ce même sommet a (ces divers cercles ayant chacun, dis lors, son centre situé sur le grand axe an de la courbe donnée A ) : 1" si l’on prend un point arbitraire x k sur l’ellipse A, et si l’on mène en ce point ac* une tangente, à cette cou rite A, laquelle tangente coupera la droite 6 au point ni; 2" si du point ni comme centre et avec ma pour rayon on décrit un cercle S coupant la droite 6 en un point s et les divers cercles D, D', ... en les points y, y,,..., on sait, dis-je, que les droites my, my,,... seront des tangentes aux cercles D, D',... et que les droites x'ij, l'y, ,... iront couper le grand axe aa’ et respectivement en les points «*, . qui seront les projection horizontales des divers sommet

des cènes qui enveloppent l’ellipse E de l'espace (dont l’ellipse donnée A est la projection horizontale et orthogonale) avec chacun des cercles D , IY,...

Le point x 1 ' étant arbitraire , on peut prendre l’extrémité b du petit axe de l’ellipse A , et menant en ce point b une tangente à la courbe A, elle coupera la droite 9 en un point m'; si donc du point in' comme centre et avec ma pour rayon on décrit un cercles', il coupera la droite 9 en un point s’ et les divers cercles D, D’,... en les points ;/',y,',...et les droites x*y',x*y,',... iront couper le grand axe an' en les mêmes points 4*, trouvés ci-dessus.

En sorte qu’étant donné un cercle D, on |X‘ii( déterminer le point s‘ en employant le point b au lieu d’employer un point x* arbitraire.

Cela posé:

Le rayon <le chacun des cercles D, D',... |K>ul avoir toute grandeur; ce rayon peut donc être infini, et alors la droite 9 représentera l’un des cercles de la série I), D',... elle représentera , dans cette série, le cercle ayant un rayon infini.

Dès lors on devra, pour un pointa:* arbitraire prendre le point z en lequel le cercle S coupe le cercle 9, et l’on devra prendre pour le point 6 le point z en lequel le cercle 0 est coup»': par le cercle S'.

De sorte que les droites xx* et zb devront se couper eu un même |>oinl situé sur lt> grand axe aa, et ce point sera la projection horizontale et orthogonale du somme! du cône A qui enveloppe l’ellipse E et le cercle 9 de rayon infini.

Or il est évident que ce cône A n’est autre que le plan de l’ellipse E , et il est é\ ident que la droite zb ira couper l’axe aa' au point a, second sommet de l’ellipse A.

Ainsi , le plan P- de l’ellipse E représente un cône A , et son sommet doit être au sommet a, de l’ellipse E (sommet a, projeté horizontalement en le sommet a' de l’ellipse A) pour que ce plan P ou cône A appartienne à la série des cônes enveloppant l’ellipse E avec chacun dos cercles (à rayon fini ) ü , D’,...

Ainsi , il est démontré que les droites ai*, zb,.. . passent par le secoml sommet a' de l'ellipse donnée A.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

TuéORftNF.. filant donnés une ellipse A el son grand axe aa', si l'on mène au sommet a une tangente 9 d cette courbe; si /’ on unit par une droite le second sommet a' avec un point quelconque x* de cette courbe A , cette droite coupera In tangente 9 en un point z , et le point m , milieu de la droite za , sera le point en lequel lu tangente menée d f ellipse A au meme point x u coupera la droite 9 (*).

{•J En SC servant de l'analyse de Db<cartks, on démontre do suite ce théorème ; en effet (fig. 13 bu ) . soit :

■ + -jj - 1

réi|ualion de l'ellipse A , l'équation do la tangente ! en un point n de cette courbe sera :

xx ’ + M' .

( représentant par x’ el jd les coordonnées du point n ).

Si l’on cherche le point en lequel la tangente i ( avant pour équation l’équation (î) ) coupe la perpendiculaire 5 menée à l'extrémité p du grand axe do l'ellipse , il suffira de faire :

dans l'équation (î) , et l'on aura :

d'où l'on tire :

Diverses manières Je construire la tumjente en un point J une ellipse.

D’après ce qui précédé, nous pouvons construire la tangente en un point d’une ellipse de trois manières différentes.

Première construction. Étant donnés une ellipse A (fiij. H) , ses axes an et bb' et ses foyers / et /', pour construire la tangente en un point quelconque x, on mènera

les rayons vecteurs xf et xf' et l’on divisera l’angle fxf en deux parties égales par la droite xp , cette droite xp étant normale en x à l'ellipse , la droite xg perpendiculaire à xp sera la tangente demandée.

Deuxième construction. Etant donnés une ellipse A , ses axes ad et bb' et ses foyers / et /', construire en un de scs points «la tangente; du foyer/comme centre (fig. 15), et avec le. rayon fa on décrira un cercle 1); on mènera au sommet a une droite S perpendiculaire au grand axe ad (cette droite 9 sera tangente a l’ellipse A en le sommet a) ; on unira le point .r donné avec le foyer / par une droite qui coupera le cercle D au point y; on mènera au point y une tangente au cercle D, laquelle coupera la droite 9 en un point m et en unissant les deux points m et x . on aura la tangente demandée.

Troisième construction. Étant donnés une ellipse A et son grand axe ad, on mè-

(q — aS)t' ÿ oy’

Ainsi l'on aura en (3) el (t) les coordonnées du point m en toquol la tangents ! coupe la droite *.

Unissant le point n avec le point p' second sommet de l'ellipse , on aura une droite qui coupera la droite • en un point q. et si le théorème subsiste on devra avoir :

pp' pq :: «r : rp'

ou en remplaçant pp ' et pq. n r et rp' par leurs valeurs :

d'où :

d'où . après réduction :

îa

ta , *•(« — J*) (a + *•)»' ' * a y'

La proportion (B) est donc exacte , puisqu'elle conduit à l'équation (6) qui est exacte , puisqu'elle n‘e»t autre que l'équation de l’ellipse.

“■J .'rj** ■ ■ i' * . i* 1 1 ♦■■v U is

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riera au point a sommet de l’éllipe, une tangente 9 , laquelle droite G sera perpendiculaire au grand axe oa'; on unira le second sommet a' ( fig . 16) avec le point x 'f

(donné sur l'ellipse) par une droite qui coupera la tangente 9 en un point s; on ’ »!•%'

v V: i • divisera la droite os en deux parties égales par un point m ; en unissant les points . et x par une droite , on aura la tangente demandée.

•\ «A ^ • r § VI.

•• »‘^ * ttanl donnés une ellipse A et son grand axe aa' et ses foyers/et f (fig. 17);

•* .J! *jy * ayant mené en les sommets a et a des droites

ayant tracé du foyer /comme centre et I

le rayon fa' un cercle C; si par le foyer f on mène dans le plan de l’ellipse A une perpendiculaire au grand axe au, cette perpendiculaire coupera le cercle D en un point y, l’ellipse A en un point x et le cercle C en un point s.

Si l’on mène des tangentes aux cercles 0 et C et respectivement aux points y et s, on aura des droites parallèles entre elles et au grand axe aa.

Iji tangente en y au cercle D coupera la droite 9 atf point m , et la tangente en ; au cercle C coupe ra la droite 9' au point m'; et, d’après ce qui a été di sait que la droite mm'- sera tangente enxà l’ellipse A Or il est évident que l’on a :

net axe au et ses foyers/et / (fig. 17); ‘C* \ •» -

IroKes 9 et 9' perpendiculaires l’axe aa' ; , %*• »>*** \ * i

" avec le rayon fa un cercle I), et 2° avec • f ’.

donc Von a :

ma = af et ma’ = àf.

ma -f m'a' = aa‘= If grand axe de l’ellipse A

, 'Vi\ ‘ v 'i

, extrémité du petitaxe del’ollipse A, y. * f • ’-.f

point net la droite fl’ en un point m, \ . ** ' ' ’ .

.tV

'.as,;' •

rMA ••• .>;/

xj. •

Si l’on avait mené une tangente au sommet b cette tangente aurait coupé la droite 9 en un point et l’on aurait évidemment :

na-f n a' = 66' = le petit axe de l'ellipse A.

Si au contraire on considère le point a , extrémité du grand axe ad, la tangente en ce point se confondra avec la droite 9 et coupera la droite 9' à l'infini.

On peut donc énoncer, d’après ce qui précède, le théorème suivant :

1 iihoiiF.MK. Étant donnas une ellipse et son grand axe, ayant mené des tangentes 9 et 9’ aux extrémités de ce grand axe , si f on construit la tangente en un point x de l'ellipse, cette tangente coupera les droites 6 et 9' en les points m et m’ ; et l'on aura :

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