VA
Ml
1* ma ■+■ m'a' < aa', ni le point x se projette sur If tjrand axe entre le centre de C ellipse et f un de ses foyers ; 2 ' ma 4- m'a' = aa si le point x se projette sur l' un des foyers ; 3* ma + iu'a' > aa' si le point x se projette sur le grand axe entre P un des foyers et le
E.V . ”i sommet adjacent à ce foyer
v.Vi .£u':
§ Vil.
Propriétés principales de l'hyperbole.
fc.-v.vvvi; Fi . .v
sS** y , Nous n’aurons pas besoin , en nous occupant de l'hyperbole, d’entrer dans tous ,y les détails de construction, ainsi que nous l’avons fait lorsque nous nous sommes v *V occupé de l’ellipse; car il est évident que nous devons retomber sur les mêmes rai-
.- 'v > * t îr*x - *
sonnements géométriipies , et dès lors il est permis d'abréger, tout ce cpti a été dit au sujet de l’ellipse étant bien compris.
K tant donnés une hyperbole A, ses deux asymptotes I et I' ( f g. 18) et son axe transverse aa' supposé prolongé indéfiniment à droite et à gauche des deux sommets a et a'; ayant mené en chacun des sommets a et a' des tangentes à l’hyperbole, oir aura deux droites 9 et 0' perpendiculaire à l’axe aa'.
Cela posé :
Si l’on considère l’hyperbole A comme la base ou section droite d’un cylindre vertical 1, nous pourrons couper ce cylindre 1 par un plan P ayant la tangente G . pour trace horizontale II’, et l’on obtiendra pour section une hyperbole E ayant la courbe A pour projection horizontale E*.
Nous pouvons prendre sur la droite au' un point il, et le considérer comme le contre d’un cercle D, tangent à la courbe A en son sommet a, et les deux courbes D. et E seront enveloppées par un cône S, qui sera en général oblique et dont le sommet s, se projettera horizontalement en un point *,* distinct du centre d,.
Il sera toujours possible de placer la courbe E sur deux cônes de révolution , ayant chacun pour axe de rotation une droite verticale; et en effet , prenant un point x* sur l’hyperbole A ou E*, et menant une tangente en ce point, elle coupera la droite 0 ou H’ en un point ni ; décrivant de ce point m comme centre et avec tua pour rayon , un cercle S , il suffira de mener du point x* deux tangentes au cercle S , et ces tangentes couperont l’axe aa en deux points / et f qui seront équidistants des sommets a et a'. en sorte que l'on aura : fa = fa.
En effet (Jig. 10 ) :
Quel que soit le point x* pris sur l'hyperbole A , une construction analogue nous conduira toujours à déterminer les mêmes points f et f. Si donc nous considérons le point situé à l’inûni sur l'une des brandit» de la courbe. In tangente en ce point ne
. ir *
’ Jv. :
Ci. ♦
vaut ilu point p comme centre et avec pa |>our rayon un cercle 3 , les deux tangentes menées à ce cercle 3 et du point situé à l'infini , et par conséquent menées à ce cercle ô „■-* •. . parallèlement a l'asymptote I', couperont l’axe trausverse na en les foyers/ et/’; et
il est évident par la fig. 1 9 que l'on a : fa —fa (*) .
Cela posé
Ces deux points ou foyers /et f seront tels que si l’on décrit ( fig. 18):
1* Du point / comme centre et avec fa pour rayon un cercle D;
2* Du point/' comme centre et avec fa pour rayon un cercle C', les courbes I) et E seront enveloppées par un cône S dont le sommet s se projettera orthogona- ■
tentent en /et les courbes C’ et E seront enveloppées par un cône S' dont le sommet ' . -»^ 2
*' se projettera orthogona lement en/ ( voy. In fuj. 18). , - ’ O.*
On lit de suite sur Ÿépuré (18) : f que les deux cônes S et S' ont leurs sonmiel.s " 1 taHÉjjàr 9
situés au-dessus du plan horizontal ; 2* que ces deux cônes ont même angle au sommet ; par conséquent tontes les génératrices droites de ces deux cônes feront le même angle a avec le plan horizontal et le même angle >, avec une droite verticale.
Par conséquent, si l’on prend un point a: sur l’hyperbole E , et si l’on projette sur l’axe vertical du cône S', I* le sommet s du cône S en p, et 2” le pointa: de l’hyperbole E en x, , on voit de suite que l’on aura :
*• Vi
,ix
k . Zf* » * *
F.- e*. *sS-ir
(*) Ayant construit les foy ers f et f de l’hyperbole , cherchons la valeur de In distance de l’on de ce. foyers au centre de la courbe.
Je dis que l’on aura : of — op ( fis . 4 9 Ut ).
Désignons ou par a et ap par b.
Menons par lo foyer f une parallèle à çp cl coupant In droite mo en un point m.
Si l’on joint lesjmintsn et m par une droite, je disque celte droite est parallèle à çp.
En effet, on a : fç= fa comme tangentes menées d’un même point extérieur f au cercle J.
Et comme les droites fm et pç sont parallèles par construction , ainsi que leCdroites fq et po, il s’ensuit
que l’on a :
«P — ff— f«
do plus, on a:
p/O - pfç
Tv<
et pfq — fpo * t * .* •** : ?
quent le triangle fo f est iâocèfc ; et Ton u : - , / . - *» \ *’ * • •
Donc les ongles pfo et fpo aont égaux , par conséquent
ôf—op
Et puisque :
af — »ip , on n : ao «■ om
donc les droites arn et fp sont parallèles, ce qu’il fallait démontrer.
Or op‘— oo’-pop’— n’-f- 6 1 donc of—Va'-f*'
Btt i -i; À*-M -- >• 'ï T. .
et comme l’on a :
il s’ensuit que :
et comme l'on a :
on aura :
j'x, — par, — constante — K.
ix coa « = » x, et tx.c n*« = px,
(*’! — «)= — cos*
«a . cos i = l'x 1 ' et sx.cotz — J?
—, —, K . cos >
fx — fi = = constante.
cos 1
Et comme cela a lieu , quel que soit le point x*, on voit que pour le sommet u on aura :
— j K co s j
aa = —
ros 1
Ainsi , l’on peut énouccr le théorème suivant :
Théorème Dans l'hyperbole, ta différence des rayons vecteurs est constante et elle est égale ci t’axe transverse.
Et comme pour un autre point x'* de l’hyperbole E* ou A, on aurait un autre cercle 6' qui conduirait aux mêmes foyers / et f, on voit de suite sur la fig. 1 8 que l’on a : /x*m = /'x*m.
On ))eul donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. Pour une hyperbole, la tangente en un de ses points divise en deux parties égales C angle des deux rayons vecteurs se croisant en ce point.
Ce qui précède nous permet de construire par points une hyperbole.
Construction par points de t'hyperbolc.
Étant donnés l’axe transverse aa et les foyers f et f d’une hyperbole (fig. 1 9 ter , ' on mènera par l’un des sommets a une droite 9 perpendiculaire à l’axe transverse «a ; de divers points ni , m’,... pris sur la droite 9, et avec les rayons nia , m'a,... on décrira unesnitede cercles 3, 3',... tous tangents entre eux et au pointa; des foyers /et on mènera des tangentes à ces cercles 3,... lesquelles se couperont respectivement en les points x, x',... qui appartiendront à l’une des branches de l’hyperbole, et les droites mx, m'x',... seront des tangentes à cette branche en le* points x,x,...
Los points x, x,... que. nous obtiendrons appartiendront à la demi-branche de * gauche de l'hyperbole , ainsi qu’à la |Kirlie de cette branche qui est située au-dessous de l'axe transverse aa'; cependant on doit remarquer qu’en faisant croître les rayons des cercles 3,... depuis zéro, il arrivera que pour un certain rayon*, le cercle 3. sera . . tel, que les tangentes qui lui seront menées des foyers /et Jf, seront parallèles et donneront la direction de l’asymptote à l’axe inférieur de la branche de gauche de l’hyperbole; en prenant un cercle 9,' d’un rayon »■/> r,, les tangentes à ce cercle - iront se coujier à droite de la tangente 5 et détermineront par leur intersection un point de l’arc supérieur de la branche de droite de l’hyperbole ; pour obtenir les arcs suj)érieurs'de la branche de gauche ol inférieur de la branche de droite de l’hvperbole, il faudrait tracer des cercles 3,... ayant leurs centres situés sur la partie de la . droite 5 qui est au-dessus de l’axe transverse aa'.
Déterminons maintenant la longueur r, du rayon du cercle 3, pour lequel les tangentes qui lui sont menées des foyers /et f se trouvent parallèles entre elles.
Supposons le problème résolu [fig. 19 quater), les tangentes fij et fy au cercle 3, seront parallèles ; dès lors la corde yy sera un diamètre de ce cercle et ce diamètre yy coupera la droites en m, , centre du cercle 3,.
Joignant les points /et m., f et m,, on aura deux triangles fam, et / «m. , tous deux rectangles en a. • •
Les triangles fam, et fym, seront égaux et su|>crposablos, on aura donc :
ym/= fm, a
De même les triangles af m, et fym, seront égaux et superposables, on aura donc : -
Or pour que les tangentes fy et f y soient parallèles, il faut que les quatre angles yfm,, finfl, amf, /mj,
valent en somme deux angles droits , il faut donc que les deux angles fm,a et amf valent en somme un angle droit-, en d’autres termes', il faut que l’angle fin,) soit droit.
Pour déterminer le centre m, du cercle 3, , on devra donc décrire sur ff, comme diamètre, un cercle \ qui coupera la droite 9 ait point m,, centre demandé, et ma sera la longueur du rayon r,. La tangente au point x . , intersection des rayons vecteurs parallèles fx, et fx, (ce point x, étant dès lors à l’infini), passe par le centre m, du cercle 3,; et il est évident que cette tangente ou asymptote passe par le point o , milieu de l’axe transverse aa’. •
Ainsi l'on vérifie les résultats déjà connus , savoir :
1* Que l'hyperbole a deux asymptotes passant par le centre o de cette courbe;
2* Que ces asymptotes font îles angles égaux avec l’axe transverse aa de la courbe ;
3" Que désignant par a le demi-axe transverse aa et par b la longueur du rayon * r, , on a : .
of — V a -)- V
