VIII

L’on peut tracer une série de cercles D, D’, D",... tangents entre eux et à l'hyperbole A et en son sommet a.

On pourra envelopper l’hyperbole E et chacun de ces cercles par un seul cône, et l’on aura ainsi une série de cônes S, S', S",.-- qui seront tous obliques , excepté deux qui seront de révolution ; ce seront ceux dont les sommets se projettent orthogonalement en les foyers /et f de l’hyperbole A.

Les rayons des cercles D, D', I)",... iront en grandissant , enfin on aura un cercle de rayon infini , et ci? cercle ne sera autre que la droite 9 ; dés lors le cône enveloppant l’hyperbole E et le cercle 9 de rayon infini ne sera autre que le plan P de l’hyperbole E. Mais sur ce plan , qui va jouer ici non-seulement le rôle de surface conique, mais celui encore d’une surface conique appartenant à la série des cônes S, S’, S",... il devra exister un point tout particulier qui sera appelé à jouer le rôle de sommet de cône.

Cherchons ce point;

• Si nous déterminons la projection horizontale de ce point sommet , en employant un certain point de l’hyperbole A , elle sera toujours la môme pour tout autre point pris sur cette hyperbole.

Or si l’on considère le point situé à l’infini sur l’une des branches de l’hyperbole A , la tangente en ce point sera l’asymptote l', laquelle coupera la droite 9 , considérée comme tangente au sommet a de l’hyperbole, en un point p ( fig. 20).

Et si nous décrivons du point p comme centre et avec pa pour rayon , un cercle 3, il coupera la droite 9, considérée comme un cercle de rayon infini et appartenant à la série des cercles D, D', D",... en le point r. .

Or si l’on unit le point r avec le point situé à l’infini sur l'hyperbole, il faudra mener par ce point r une parallèle à l’asymptote I’, et cette parallèle coupera évidemment l’axe transverse aa en le point a', second sommet de l’hyperbole A; ce point a sera donc la projection horizontale et orthogonale du sommet a, de l’hyperbole E située dans l’espace sur le plan P; ce sommet a, sera donc le point

qui , sur le plan P, doit joner le réle de sommet do la surface conique que.ee plan P t

’ est appelé à jouer dans la série des cônes S, S', S”... • .

Cela posé :

Il est évident que si l’on prend un point x* quelconque sur l'hyperbole A , si l’on mène en ce point x* une tangente à la courbe , elle coupera la droite 9 en un point m (fig. 20); et si du point m comme centre et avec ma pour rayon on décrit un cercle 6, lequel coupera la droite 9 en un point u, la droite qui unira les points x* et y ira passer par le point a, second sommet del’hyperbole donnée A.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

TmtoRfeMK. Etant dormes une hyperbole et ses deux sommets a et a' ; ayant mené au „

premier sommet a «ne droite 0 perpendiculaire à l'axe transverse aa’; ii l'on unit pur une droite le second sommet a' avec tut point quelconque de l'hyperbole, cette droite » , r

coupera la droite 3 en un point y et la tangente à l'hyperbole en x* divisera en deux parties égales la droite ay. . .

§ix. . •• •

Diverses manières de construire la tangente en un point tC une hyperbole. •

Première construction. Étant donnés une hyperbole et ses asymptotes, son axe transversc et son centre, ainsi que ses foyers f et/', pour construire la tangente ou 1 un point x de cette courbe , il sullira (fig. 21 ) de mener les deux rayons vecteurs •

fx et fx et de diviser en deux parties égales l’angle /r/'; la bissectrice sera la tangente - ' demandée. -,

Deuxième construction. Étant donnés une hyperbole , son axe transverse et ainsi ses deux sommets a et a, et aussi ses deux foyers / et f , pour construire ht tangente en un point x de cette courbe , on décrira d’un des foyers f comme centre et avec fa pour rayon un cercle I) [fig. 22) ; on unira les points x cl f par une droite qui coupera le cercle D en un point g, et l’on mènera en ce point g une tangente au cercle D, laquelle coupera la tangente 9 (menée au sommet a tle l’hyperbole) en uu point m ; la droite mx sera la tangente demandée.

Troisième construction. Étant donnés une hyperbole et son axe transversc, et ainsi ses deux sommets tt et a, |>our construire la tangente en un point x de la tourbe ( fig. 23), on mènera d’abord la tangente 9 au premier sommet a (la droite 9 est perpendiculaire à l’axe transverse), ensuite on unira le point x et le second sommet a par une droite qui Coupera la droite 0 en un point tj ; divisant la droite m/ .

en deux parties égales par un point m, la droite mx sera la tangente demandée.

Étant donnés sur le plan horizontal de projection une hype.rbole A, ses sommets a et a, ses foyers / et f et ses asymptotes I et 1' (fig. 24), décrivant d’un des foyers / comme centre , avec fa pour rayon, un cercle D, et décrivant avec fa pour rayon nu cercle C, si l’on mène par le foyer/ une per|«mdiculaire à l’axe transverse aa', cette |>erpendienlaire coupera le cercle D au point y et le cercle C au point y'.

El si l’on mène en les points y et y' des tangentes aux cercles D et C, on aura deux droites parallèles entre elles et à l’axe transverse aa', lesquelles couperont respectivement les tangentes 9 et 3' menées à l’hyperbole donnée A en ses sommets a et a', en les points ni et m; d’après tout ce qui précède il est évident que la droite mm' sera tangente à l'hyperbole A en le point a: projetée orthogonalemenl en le foyer/.

Désignant ma par r et ma' par r, on voit de suite que comme ma — af et que mV = a'f, on aura : r + r — aa.

Désignons aa par ia et désignons par 26 le double de la portion de la tangente 9 comprise entre le sommet a et l'asymptote 1.

- On aura dès lors : aa' —ia et ad— b.

Or 6 peut avoir trois valeurs différentes comparativement à u; on |>eut avoir: 1* 6>o, 2*6=n, 3*6<o.

Quel que soit le rapport entre 6 et a , lorsque l’on considérera sur l’hyperbole A ,Je point x qui se projette orthogonalemenl en son foyer f, on aura toujours :

Lorsque l’on considérera le point de l'hyperbole situé à l’infini , alors la tangente en ce point ne sera autre que l’asymptote I , et l'on aura :

r—ad—b et r 1 = ali — b et r 1 — r=0

Lorsque l'on considérera le point a sommet de l’hyperbole, alors la tangente en ce point ne sera autre que la droite 9 , et l’on aura évidemment :

r = 0 et r' = ~ donc r 1 — r=|(*)

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

. {•) On voit qitu pour l'ellipse la sommt (r-f-r* ) va en augmentant depuis une quantité linéaire égale au petit axe jiiAqu’n l'infini, et que p"ur l'hyperbole c'est lo différence (r’— r)qui va en augmentant depuis zéro jusqu ïi l'infini.

Théorème. Si en un point quelconque d'une hyperbole on mène une tangente coupant les tangentes 9 et 9' menées aux sommets a et a' de la courbe en deux points ni • et m, on aura toujours ! 1* (ma-*- m'a ) plus petit que l’axe transverse pour tous les points situés entre le point qui est à l’infini et celui qui se projette orthogonalemeut en le foyer ; 2* ( ma — m'a' ) égale à f axe transverse pour le point qui se projette orthogonalement en le foyer; 3* (ma — m'a') plus grand que l'axe transverse pour tout point situé entre le sommet et celui qui se projette orthogonalemeut en U foyer.