XI

Propriétés principales de la parabole.

Étant donnés une parabole A ( fig 2 b), son sommet a et son axe infini X, nous '

• mènerons au sommet a une perpendiculaire à Taxe X , et nous aurons la tangente 9

• en le sommet de ta parabole.

Cela posé :

Si l’on prend un point d arbitraire sur l'axe X , et que de ce point d comme centre et avec da pour rnydn, on décrive un cercle D; prenant sur la droite 9 un point m arbitraire, et menant de ce point deux tangentes, l'une au cercle D et le louchaul en y, et l’autre à la parabole A et la touchant en x*, la droite yx* ira couper l’axe X en -un point s* ; et en vertu de tout ce qui a été dit précédemment , il est évident que le point / sera la projection horizontale du sommet s du cône oblique qui enveloppe le cercle D et la parabole E dont A est la projection.

Or si du point m comme centre et avec ma pour rayon on décrit nn cercle 5 , -il passera évidemment par le point y, et en ce point y les deux cercles D et ë se couperont rectangulairemcnt. Pour que les points d et s* se confondent , il faudra que lg droite yx* soit une tangente au cercle ë.

Si donc (fig. 26) on mène d’un point x‘, pris arbitrairement sur la parabole donnée A, deux tangentes au cercle ë, l’one d'elles viendra Couper l’axe X au point f, et l’antre ira couper l’axe X en un point que je dis être situé à l'infini , en sorte que la seconde tangente sera parallèle à l’axe X ; nous démontrerons plus tard l'exactitude de cette assertion.

Mai^ quelle que soit la direction de la seconde tangente, et par conséquent que le ' second foyer soit situé à l'infini ou non , il nous est démontré que la normale x k g divise en deux parties égaies l'angle formé par les deux rayons vecteurs se croisant au point x* considéré sur la parabole.

On [*eut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. Pour les trais sections coniques, ellipse , jtarubole et hyperbole , la norviule et la tangente en un point de la courbe , divisent en deux parties étjates l'angle ou le supplément de l' angle formé par les deux rayons vecteurs qui se * croisent en ce poM(. ‘ . . « - • ' , .

■ . k . . ; s xii.

Remarquons que lorsqu’on avait une cllipscou une hyperbole, on pouvait immédiatement construire les foyers; car puisqu’il suffit d’employer une tangente quelconque à la courbe donnée |K>ur obtenir le cercle S , il suffit de connaître, à priori , une tangente autre que celle qui répond au sommet de la courbe , pour pouvoir résoudre le, problème.

Or, pour l’ellipse, on sait que la,, tangente menée à l’extrémité du petit axe est • parallèle au grand axe de l’ellipse; or pour l’hyperbole, on sait que l’asymptote est la tangente au point situé à l’infini sur la courbe.

Mais pour la parabole, nous ne connaissons pas, à priori , de point autre que le sommet pour lequel la direction de la tangente soit connue ; nous ne pouvons donc, quant à présent , construire le foyer /(yîj. 26) > quoique l’existence de ce foyer.ee trouve démontrée. *• ’

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