XIII

L’existence d’un foyer étant démontrée pour la parabole, nous pourrons: \°{fig . 27) du foyer/ comme centre et avec fa pour rayon décrire un cercle D; 2" couper le cylindre vertical I ayant la parabole A pour section droite par uh pfan P ayant la tangente 9 , menée au sommet a de la courbe, pour trace horizontale B'; nous prendrons le plan vertical de projection parallèle à l’axe infini X de la parabole.

Cela posé:

Nous construirons le cône de révolution S ayant son sommet en », lequel cône S enveloppe le cercle D et la parabole E , section faite dans le cylindre 2 par le plan P (celte parabole E se projettera horizontalement et orthogonalement suivant la parabole donnée A). Voy. l 'épure ( fig . 27).

Cela posé ;

Le cône S ayant son sommet s projeté sur le plan horizontal en le foyer / de la parabole A, nous mènerons par ce sommet s un plan horizontal R qui coupera le plan suivant une droite Q. Dès lors, Q* sera perpendiculaire à Taxe infini X delà parabole donnée A.

De plus, la fig. 27 nous dit que le triangle s'a Y est isocèle, et qu’ainsi l'on a :

*V=oV I .

et que les angles q's"a f et s'g'a' sont égaux , par conséquent l’on a :

af=ad

Cela posé: * v

Prenons un point x arbitraire sur l'ellipse E , menons par ce point x un plan horizontal ; il coupera la génératrice extrême G du cône S en un point i , et l'on aura 1» droite tx de l’espace égale à *V ; on pourra donc poser : *x= «Y.

La distance xq du point x à la droitcQ sera une droite perpendiculaire à Q et parallèle au plan vertical de projection, cette distance sera dès lors égale à x'if.

Cela posé : *

Je dis que l'on aura toujours , quel que soit le point x considéré silr la parabole E :

• sx ou »*i* = x 'g'

En effet : .

Les deux triangles «'«Y (invariable) et x'a'i” (variable) sont isocèles, et l’on a :

i’a’ = a’q’ et x\T — aV donc >V=*xs=xY

Toutes les génératrices du cône S font avec le plan horizontal le même angle.»; on aura donc :

• tx . cos a =7?

Le plan P fait avec le plan horizontal le même angle», la droite xq est une ligne déplus grande pente de ce plan P, elle fait donc avec le plan horizontal un angle x ; , on a donc:’ . . . ...

. xq . cos a = xV

Or

' tx = xq donc. f?— ’ ' *

Et cela aura lieu 'quel que soit lë point x pris sur la parabole E. La droite 0* est dite directrice de la parabole A. •

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. Etant dormes tme parabole A, son axe infini X, non sommet a et son foyer f, ayant mené une droite Q* perpendiculaire <i taxe X et ù une dittauce du sommet a égale à fn, si ton prend un point quelconque x* sur la courbe A, les distances de ce point ‘S 1 ’ «u foyer /et à la owErnuce ty seront égales- '< > .

S XïY.

Ce qui précède nous permet de construire le foyer/ - d’une parabole A fig. 28) dont on connaît l’axe intini X et par suite le sommet n et la tangente 9 en ce sommet.

Kt en effet :

Prenons un point x sur la courlie A et menons la droite xz parallèle à l’axe X et coupant In taogenle 5 au point m.

Du point m comme centre et avec ma pour rayon , décrivons uu cercle ê et menons par le point x une tangente à ce cercle £, elle coupera- l’axe X au point / et elle touchera le cercle S au point y.

Imaginons' la directrice Q , nous aurons par hypothèse :

xf—xb % 2 b = ad —af ( d le point f «I le foyer )

Mais par construction , on a :

xx = xy et i/= fa

On retrouve donc la . propriété x f=zxb.

Ainsi , pour construire le foyer d’une parabole. A , il suffira de décrire d’un point m arbitraire pris sur la tangente 9 menée au sommet a de la courbe et avec un rayon ma un cercle S, lequel coupera lu droite 9 en un point z; on mènera en ce point z une tangente au cercle 6 , laquelle sera parallèle à l’axe intini X et coupera la parabole A en un point x ; menant de ce point x une seconde tangente au cercle S, •elle coupera l'axe X en un point /qui sera le foyer demandé.

De ce qui précède nous pouvons conclure que , pour la parabole , le second foyer i«t toujours situé à l’infini, puisqu’il devrait se trouver a l'intersection de l’axe x et de la tangente xz ; de plus on voit que la tangente au point x passe par le centre m «lu cercle S, l’on peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. Si par un point x d'une parabole A on trace une perpendiculaire à -lu tangente 0 menée en son sommet a, cet deux droites se couperont en un point z, et la tangente au point x de la parabole coupera la droite za en deux parties égales.

(Je «p»i a été dit ci-dessus nous permet de construire par points une parabole.