S XV

Construction par points de la parabole.

Étant donnés le sommet a et le foyer / d’une parabole (fig. 28 bis), on mènera par le sommet a une droite 9 perpendiculaire à la droite indéfinie fa ; on prendra

sur l.i dnute 0 une suite de points m , ni',... et de chacun d’eux comme centre et avec ma, m'a,... pour rayons , on décrira une suite de cercles S, S*,... tous tangents entre eux et au point a ; ces cercles 6, 6',... couperont la droite 9 en les points s , ] s',...; par le foyer f on mènera une tangente à chacun des cercles 6, ê',... et par chacun des points s, s',... on mèuera des parallèles à l'axe infini /o; lu tangente fie coupera la parallèle zx en un point x qui appartiendra à la pandiole , et la droite.

*r • “ ± wv\

mx sera tangente en x à cette parabole.

8 xvi.

On peut placer la parabole E située dans l'espace et ayant la parabole A puni projection horizontale, sur une infinité de cènes obliques ayant chacun pour trace horizontale un cercle tracé sur le plan horizontal et tangent à la parabole A en son sommet u. *» -

On pourra donc tracer une série de cercles L>, D', D",... tangents outre eux et à la parabole A en son sommet a, et l’on aura une série de cènes S, S', S”,... enveloppant respectivement la parabole E avec les cercles D,.D', D''.-. .

Mais l’on peut concevoir que l’un de ces cercles D, D’,... ait un rayon infini ; des lors ce cercle ne sera autre que la tangente 9 menée au sommet a de la parabole ■donnée A ; dans ce cas le cône qui enveloppe la parabole E et le cercle (do rayon infini ) 8, ne sera autre que le plan P de la courbe E.

Ce plan P jouant le rôle d’une surface conique appartenant à la série des cèoès S, S’, S'',... devra avoir un point particulier qui puisse être considéré coninié sommet .

Pour construire la projection horizontale de ce sommet, il faudrait d’un point- x* de la parabole A mener une tangente à cette courbe ; celte tangente couvrait la tangente 9 en un point m , ut décrivant du point m comme centre et avec ma pour rayon un cercle ê, ce cercle S coopérait la droite 9, jouant le rôle .d’un cercle de rayon infini, en un point z, et unissant les points s et x* par une droite, elle irait couper l’axe X en un point qui serait la projection horizontale du sommet demandé.

Mais toutes les droites telles que x*z sont parallèles à l’axe X , par conséquent le sommet demandé est à l’infini, et le plan P doit être considéré connue uqe surface cylindrique, dans la série des cônes S, S', S"... . *

Üt verset manières -de construire ta tangente en un point d une parabole.

l>e ce qui précède ou peut déduire trois constructions de la tangente en un point donné sur une parabole.

Première construction, Étant donnés une parabole A , son axe infini X et son sommet a , et son foyer /, pour construire la tangente en un point x (Jig. 29), on mènera le rayon vecteur fx, la droite xp parallèle à l’axe X , et )’on divisera l’angle

fxp en deux parties égales par la normale dx\ la droite xi perpendiculaire à la normale xd sera la tangente demandée.

Dettfièmc construction. Etant donnés (fig. 30} une parabole A, son axe X, son sommet o , son foyer /, pour construire la tangente en un de ses points x , on décrira du loyer/ commo centre et avec fa pour rayon un cercle D ; on mènera au sommet a une perpendiculaire 0 à "l’axe X (cette droite 9 sera tangente en le sommet a à (a parabole A); on unira le foyer /qt le point x par une droite coupant le cercle D eu un point y ; en ce point y on mènera une tangente au cercle D, laquelle coupera la 'droite 0 en un point m ; la droite qui unira les points m et x sera la tangente demandée.

* Troisième construction. Étant donnés une parabole A, son axe infini X et son sommet a , pour construire la tangente en un de ses points a: (fig. 31), on mènera la tangente S au sommet a; on mènera par le points une droite parallèle à l’axe X , laquelle coupera la tangente 9 en un point i; on prendra le milieu m de la droite ni, et en unissant les points m et x par une droite , on aura la tangente demandée.