XVI

Directrices de f ellipse et de la parabole.

La propriété dont jouit la parabole d’avoir un foyer et une directrice , doit conduire h penser que les deux autres sections coniques possèdent des directrices.

Et en effet , en suivant la même marche que pour la parabole , on arrive de suite à.dâmonlrer l’existence de ces droites directrices pour l’ellipse et l’hyperbole.

Pour f ellipse :

Étant donnée une ellipse A sur le plan horizontal de projection ( fig. 32 ) , a\ ant

construit .les foyers / et f et les deut cènes de révolution S et S' qiu enveloppent l'ellipse E «lç l’espace , et chacun des cercles I) et C', en menant par les-somniets s et »' des cènes S et S' des plans R et R horizontaux , ces plans couperont le plan P de l'ellipse E suivant les droites K et K', dont les projections K* et K * seront les directrices de l’ellipse A ou E*.

Pour le démontrer, prenons un point x arbitraire sur l’ellipse E ; menons par ce point x et dans le plan P une perpendiculaire à la droite K' et coupant cette droite ' en un point q'; comme la droite xif est parallèle an plan vertical de projection, elle se projettera en véritable grandeur on a r </'\ - '

• On aura donc : • .

De plus, en prenant un point quelconque x sur l'ellipse E, on voit que toutes les droites tollés que x// seront des lignes de plus grande pente du plan P et feront donc avec le plan horizontal un angle constant qui sera égal à celui que le plan P ■

fait avec le plan horizontal , et qui sera dis lors égal à l’angle s'q’x*, que nous désignerons par X.

En projetant la droite xq' sur te plan horizontal , on aura : xty* , et dès lors on aura : . * ~ ‘ •

x t ÿ t =xij l . cosl = xY"- cos »

Cela posé : .

Menant par le point x un plan horizontal , il coupera la génératrice extrême du cène S' en un point i', et l’on aura : s'ï = s’i puisque la droite *'i' est parallèle ail plan vertical de projection ; de plus , l’on sait que les droites s'x ctYi' sont égales, on a donc :

• ïx=Pr

Toutes les droites s'x , quel que soit le point x gur Pelbpsi^ E , font le môme angle . avec le plan horizontal , angle qui est égal à l’angle q't’i", que nous désignerons par a ; en sorte que projetant la droite s'x sur le plan horizontal , on aura : t

77 = s'x. COS z =1 V. COS a ,

Or en vertu des triangles semblables <i'*x r T r et t’q'"a’, on aura , qnel que soit le point x sur l’ellipse E :

= constante = B

De plus, il est évident, par la figure, que l’on a : \ < a; par conséquent l’oira

D après ce qui précède, on voit que l’on aura :

: constante = B .

Et l’on aura de plus*'*** < x\/'*, car si l’on prolonge la verticale passant par le

, point «'"jusqu’en / sur la droite s‘q", on a évidemment : s'U < Uf’. en vertu de ce AA *

que I on a : X <a. .

Ainsi , l’on aura toujours pour l’ellipee E , B < 1 , et pour l’ellipse A l’on aura :

COS i • .

O qne l’on a fait en considérant le cône S’, on peut le répéter pour le cône S , et l’Ou démontre ainsi que l’ellipse A a deux directrices K'* et K*, perpendiculaires à «son grand axe, situées en dehors de la courbe et équidistantes des foyers/ et/' de la eonrhe.

•Pour ï hyperbole :

Plaçons l'hy|ierbole E (fig. 33) (située dans un plan P et projetée horizontalement on l’hyperbole A ayant ses foyers en /et/), et chacun des cercles U et C’ (décrits des foyers /et/' comme centre et avec fa cl fa pour rayon) sur deux cônes de révolution S et S' ayant pour sommets les points s et s'. ' •

Cela fait : * , * * - ' .

Menons par les sommets * cl *' des plans horizontaux R et R 1 coupant le plan P ••n les droites K -et. K'.

Si nous prenons un point x sur l’hyperbole E , en menant par ce point x un plan horizontal , lequel coupera la génératrice extrême du cône S en un point j, on aura

• . , En menant du même point x , et dans le plan P, une perpendiculaire à la droite K et la coupant en un point q, on aura :

• xq — x'q’

' , ' ; Les deux triangles s'a’q x et a”x'f étant semblables , on aura , quel que soit le

point x:

' *' .!*.' = constante = L -

cl L sera plus grand que l’unité , çar il est évident que dans le triangle s'a'q", l’angle en * où * est plus petit que l’angle qn q* ou «•, ainsi on a : L> I .

Toutes les droites $x font avec le plan horizontal le même angle «; en projetant sx sur le plan horizontal , on aura :

*x. cos o =77

Tontes les perpendiculaires xq font avec le plan horizontal le même angle A ; en projetant xq sur le plan horizontal , on aura :

xq. cos \

On aura donc, quelle que soit la position du point x sur l’hyperbole E :

77 cos A

7?”~ * COS a

et l’on voit de suite sur la figure que : L . , sera plus grand que l’unité.

Au lieu de considérer le foyer / et le cène S , on pourra considérer le foyer f et le cène S' et par suite la droite K’, et l’on aura des résultats identiques.

Ainsi , il se trouve démontré que l’hyperbole A a deux directrices K* et K* perpendiculaires à son axe transverse, équidistantes do ses foyers /et f et situées entre ses sommets a et a (*).

(•) Étant donnés une section conique A ( ollipse , hyperbole , parabole ) , son axe X ( cet axo X étant le grand axe do Vellipee, ou l’axe transverse de Vhyperbole , ou l’axe infini de la parabole) et l’un de ses sommets a situé sur l’axe X et le foyer f le plus proche de ce sommet , on peut très-facilement construire la directrice de celte conique A , qui correspond au foyer f.

En effet :

Nous avons vu que la conique A pouvait être regardée comme la projection orthogonalo d’une conique E, et qu’en traçant un cercle C ayant lo point f pour centre et ayant fa pour rayon, on pouvait envelopper les deux courbes C et E par un cône droit S dont le sommet s se projetait horizontalement en le foyer f.

Nous avons vu que si par le sommet t du cône S on menait un plan horizontal , il coupait le plan de la courbe E suivant une droite K qui , projetée orthogonolament sur le plan horizontal ( qui n'est autre que le plan de la courbe A ) , donnait la directrice de la conique A.

Or, en vertu de ce qui a été dit dans la première partie ( $ V ), si l’on inscrit dans le cercle C un hexagone dont les trois couples de côtés opposés soient composées de lignes parallèles , le pôle sera le centre f de ce cercle, et sa polaire sera à l'infini.

Le plan de la courbe E sera donc coupé par le plan horizontal mené par le sommet t du cône $ suivant une droite K qui, étant considérée comme polaire , aura pour pôle , par rapport à la courbe E, le point en lequel l'axe tf de ce cône S sera coupé par le plan de cette courbe E.

Or la projection K* de la droite K est la directrice do la conique A ; donc le foyer f sera le pôle de la courbe A , K* étant la polaire.

Pour construire la directrice K*, il suffira donc de mener par le foyer f une perpendiculaire à l’axe X et coupant la conique A en un point x. Menant en x une tangente t à celte conique A, cette tangente viendra couper l'axe X en un point p, et menant par ce point p une perpendiculaire K h à l'axe X , on aura la directrice de la conique donnée