XX

Des focales des sections coniques.

Lorsque nous avons étudié les propriétés d’une section conique A (ellipse, hyperbole ou parabole), nous avons vu qu’en considérant cette courbe A comme étant la section droite d’uu cylindre vertical 2 , et qu’en coupant ce cylindre par un plan P suivant une section conique E(qui était une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole , suivant que la courbe donnée A était une ellipse , ou une hyperbole ou une parabole ) , nous avons vu , dis-je , que l’on pouvait envelopper la courbe E

(•) Voyez la note A A la fin do la seconde partie de ce mémoire.

et les cercles ü et C' décrits des foyers / et /' de la courbe A comme centres , avec fa et fa pour rayons (les ^points a et a' étant les sommets de la courbe A, ellipse ou hyperbole), par deux cônes de révolution et ayant chacun son axe de rotation perpendiculaire au plan horizontal, c’est-à-dire au plan sur lequel se trouvait tracée la courbe A.

Nous avons vu de plus que lorsque la courbe A était une parabole (ce qui établissait que la courbe E était une parabole ) , nous avons vu , dis-je , qu’en vertu de ce que la courbe A n’avait qu’un seul foyer /(l’autre étant situé à l’infini ) , on n’avait que le cercle D décrit du foyer / comme centre et avec fa pour rayon ( le point a étant le sommet de la parabole A), et que ce cercle I) et la parabole E étaient toujours enveloppés par un cône de révolution dont l’axe de révolution était vertical , c'est-à-dire perpendiculaire au plan de la parabole A.

Nous avons vu de plus que les sommets de ces cônes de révolution se projetaient orthogonalement sur le plan de la courbe A , en les foyers de cette courbe A.

Cela étant rappelé :

Si nous nous en rapportons à la construction des sommets » et *' des cônes de révolution Set S '(fig. 1, 1 Set 27), nous devons remarquer que nous avons démontré, en prenant un point arbitraire sur la courbe E , que l’on avait toujours : 1 ° sx + sx = constante , lorsque la conrbe E était une ellipse ; 2“ ai — s'x = constante, lorsque la courbe E était une hyperbole; et 3* sx — xq, lorsque la courbe E était une parabole (sx étant la distance du sommet du cône de révolution S au point x de la parabole E, et xtj étant la distance de ce même point x à la droite Q perpendiculaire à l’axe infini de la courbe E).

En sorte que les sections coniques n’ont pas toujours leurs foyers situés sur leur plan , puisque tout en démontrant l’existence des foyers /et/' pour l’ellipse ou l’hyperbole A et la propriété dont jouissent les foyers , savoir : que la somme ou la différence des rayons vecteurs est constante, on trouve que pour la section conique E (ellipse ou hyperbole), les sommets set s' des cônes de révolution ( sommets qui sont situés hors du plan P de la courbe E) jouissent, par rapport à la courbe E , des mômes propriétés dont jouissent les points /et/' ( situés sur le plan de la courbe A) par rapport aux divers points de cette courbe A.

Nous sommes donc tout naturellement conduit à penser qu’il doit exister une suite de points hors du plan de la courrbe E qui jouissent des mêmes propriétés dont jouissent les foyers F et F' situés sur le plan de cette courbe E.

Examinons donc si, en effet, il existe une courbe dont les points puissent être considérés comme foyers d’une section conique E ; et si cette courbe existe en effet , nous lui donnerons le nom de focale de la section conique E.