XXI
Reprenons l’ancienne/ÿ. 10 ou 12; nous construirons la Jig. 34, dans laquelle l'ellipse donnée E , située sur un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection , sera projetée horizontalement en l’ellipse A ou E* ; en sorte que la courbe A sera la projection orthogonale de la courbe E.
Nous pouvons déterminer les foyers / et /’ de la courbe A et construire dés lors les cônes de révolution S et S' qui enveloppent la courbe E avec les cercles D et C' (nous n’avons représenté sur la Jig. 34 que le côneS).
Cela posé :
Nous pourrons prendre le plan P pour nouveau plan horizontal de projection, la droite V' devenant une nouvelle ligne de terre LT ; et il est évident que le plan Z perpendiculaire au plan P, et passant par le grand axe ad de l'ellipse E, sera parallèle au plan vertical de projection.
Il est encore évident que ce plan Z coupera l’ellipse E suivant son grand axe ad, l'ellipse A suivant son grand axe au, et que ce plan Z contiendra le sommet * du cône S et coupera ce cône S suivant ses deux génératrices extrêmes sa et sa' ; de plus , ce plan Z coupera le cercle D suivant un diamètre ai.
Cela posé :
Nous pourrons ne considérer que les lignes situées dans ce plan Z et examiner leurs relations de position , parce que si l’on fait passer par une droite perpendiculaire au grand axe de l’ellipse E une suite de plans Q’, Q", Q’",. . . toutes les projections orthogonales A', A”, A'",... de l’ellipse E sur ces divers plans, seront des ellipses ayant leur axe parallèle au petit axe de l’ellipse E qui aura même longueur que ce petit axe. •
En sorte que désignant par a et b le demi grand axe et le demi petit axe de l’ellipse E, para', a", a'",... les demi grands axes des ellipses A', A", A'”,... les demi-axes de ces ellipses seront :
a' = a . cos a.' et b pour la courbe A'
a" = a. cos «"et b A"
a"' = a.cos«'" et b A"'
etc. etc.
«', a", a’”,... étant les angles que les plans Q', Q", Q"',... font respectivement avec le plan P de la courbe E.
Nous pourrons donc construire de la manière suivante la Jig. 35, qui donne toutes les lignes situées dans le plan Z. *
Sur ad (ou 2a) qui est égal au grand axe de l'ellipse E considéré comme diamètre, nous traçons un cercle 3.
Menant du point a une corde aa du cercle 3, cette corde (si elle est plus grande
que 26 qui est la valeur du petit axe de l’ellipse E) sera le grand axe de l’ellipse A ,
projection orthogonale de l’ellipse E sur un plan Q faisant avec le plan de celle
courbe E un angle égal à : a ad ou a.
L’ellipse A ayant un petit axe égal à celui (26) de la courbe E, nous pourrons construire sur «n r les points /et /', qui seront les foyers de la courbe A.
Prenant fr= fa , nous construirons sur la droite aa' le point r, et élevant par le poinf / une perpendiculaire à la droite aa, cette perpendiculaire sera coupée par la droite rd en un point * qui sera le sommet d’un cône de révolution S passant par l’ellipse E.
On pourra donc construire de la même manière autant de points * que l'on voudra j et l’on doit remarquer que si l'on mène par le point a une parallèle à la droite srd, elle coupera la perpendiculaire menée à la droite au par le second foyer f en un point s' qui sera le sommet d’un cène de révolution S' passant aussi par la courbe E.
En sorte que. pour chaque corde aa du cercle 3, on construira deux jwints « et i appartenant à la focale de l’ellipse E ; et ces points s et s' seront des foyers extérieurs et conjugués de la courbe E ( ils seront dits extérieurs , parce qu’ils sont situés hors du plan de la courbe E ; ils sont dits conjugués , parce qu’ils sont les sommets des deux cènes de révolution S et S', qui sont les seuls que l’on puisse construire en considérant séparément chacune des ellipses A, A',... projections orthogonales de l’ellipse E). Parmi toutes les cordes que l’on peut mener du point a dans le cercle 5, il y en aura une al qui sera égale au petit axe 26 de l’ellipse E. Cette corde sera alors le grand axe de l’ellipse A, , projection orthogonale de l’ellipse E ; mais celte ellipse A, ayant son petit axe égal à 26 , il s’ensuit que cette courbe A, ne sera autre qu’un cercle , ou une ellipse dont les axes sont égaux et dont les foyers se confondent en un seul et même point.
Dès lors pour cette courbe A, , les cercles analogues aux cercles I) et C' construits pour chacune des autres ellipses A, A', A",... se confondront avec cette courbe A, en un seul cercle ; et dès lors le cône de révolution S, , qui passera dans ce cas par l’ellipse E , ne sera autre qu’un cylindre de révolution enveloppant à la fois et le cercle A, et l’ellipse E ; et la construction nous dit , en effet, que dans ce cas le sommet s, de ce cône S, est situé à l’infini , car ce |>oint s, n’est autre que le point d’intersection de la droite dl et de la perpendiculaire menée à la corde al en son milieu y ; or cette perpendiculaire n’est autre que la droite yo ( le point o étant le
milieu de ad ) ; par conséquent il est évident que les droites yo et dl sont parallèles. Si l’on menait dans la courbe 3 et par le point a une corde qui fit avec ad un angle
plus grand que lad , on aurait l’axe d’une ellipse A, dont le second axe (perpendiculaire au plan Z) serait égal il 2b, cl dans ce cas le grand axe de l'ellipse A, serait égal à 26 et serait perpendiculaire au plan Z et non situé dans ce plan Z , comme cela avait lieu pour les ellipses A , A’, A",.. . ; dès lors les foyers de cette ellipse ne seraient plus situés sur le plan Z, et les constructions précédentes ne pourraient plus être exécutées.
Si l’on trace le cercle 3 en entier, on pourra mener par le point a une corde qui fasse avec ad, mais en dessous , le même angle a que la corde an fait avec ad, mais en dessus, et il est évident que l’on trouvera deux points », et »„’ qui seront situés par rapport à la droite ad ou xy en ordre inverse , mais symétriquement par rapport à cette droite xy avec les points » et la courbe lieu des points * et t est donc symétrique par rapport à la droite ad ou xy ; elle passe par les foyers F et F’ de l’ellipse; elle est composée de deux branches infinies £ et £’, l'une £ est le lieu des points »... , l'autre £’ est le lieu des points *'... ; cherchons maintenant la nature géométrique de la courbe focale ££'.
Si nous considérons un point quelconque » de la courbe ££', on aura les deux rayons vecteurs sa et sd, et l’on voit do suite qu’en vertu des constructions précédentes, oni:ia=:<r.
Si donc , quelle que soit la position du point » sur la courbe ££', on a :
rd = constante ,
on en conclura que l’on a :
sd — sa — constante ,
et que dès lors la courbe ££' est une hyperbole ayant son axe transverse situé sur la droite indéfinie ad et ayant les points a et d pour foyers.
Cherchons donc si, en effet, rd est constant. Élevons par le point o, milieu de la corde ad, une perpendiculaire à cette corde, et prenons on— b (b étant le demi petit axe et de l’ellipse E et de sa projection orthogonale A).
Joignons les points /et n; joignons les points / et o' (o' étant le milieu de ad). Cela fait , on a :
on = 6 ao'=a
oo=a’=a. cos «
oo'=\/ ao''—ao'=V'a'—d'
df=y/fo’+M’' dF
Ainsi , o'f est constant , quelle que soit la corde aa' que l’on considère dans le cercle 3.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. Si ton projette orlhogonalement une ellipse E sur une suite de plans Q, Q', 0",... passant tous par la tangente en l'un des sommets de celte ellipse E (le sommet considéré étant t extrémité du grand axe de la courbe E), les foyers des diverses ellipses A, A', A",... projections orthogonales de la courbe E, seront tous situés sur un cercle f ayant pour centre te centre de la courbe E et pour rayon la demi-distance existant entre les foyers de cette même courbe E.
Ce cercle 3' sera situé dans un plan Z perpendiculaire au plan de f ellipse E et passent
par le grand axe de celte courbe.
Cela posé :
J -es deux triangles fao et rad étant semblables , on a :
ou:
d'où :
Ainsi , rd est constant et égal à la distance qui existe entre les foyers F et F' de l’ellipse E.
Nous pouvons donc affirmer que l’hyperbole K' a pour sommets le» foyers F et F' de l'ellipse E, et pour foyers les sommets a et <f de la même courbe E;
Remarquons que la droite fs divise , par construction , en deux parties égales l’angle asd; or cette droite fs est l'axe du cône de révolution S ; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. Les axes des divers cènes de révolution qui passent par une ellipse E sont tangents à C hyperbole focale de celte ellipse, et le sommet de chacun de ces cônes est précisément le point en lequel la focale ££' est touchée par l’axe du cône considéré.
Si par les points * et s' sommets des cônes de révolution S et S', points qui sont, ainsi que nous l’avons dit plus haut, des foyers extérieurs et conjugués de l'ellipse E { fig • 35), nous menons des plans I et I' perpendiculaires au plan Z et aux axes sf et s'J' des cônes S et S', ces plans couperont le plan Z suivant les droites «T et si', lesquelles seront parallèles, parce que les axes */ et sf sont parallèles.
Ces plans I et 1' couperont doqc le plan de l’ellipse E suivant des droites 1, et I,’
perpendiculaires au grand axe arfde l’ellipse E, et ces droites I, et I,' passeront respectivement par las points i et i*.
Or, comme les triangles sia et s'i'd sont égaux , puisque : 1“ sa est parallèle à s’d et lui est égale, attendu que nous savons que le quadilatère sas'd est un parallélogramme; et 2’ que si est parallèle à si', puisque les axes*/ et sf sont parallèles, on en conclut que l’on a : ia — id.
• Ainsi , les directrices I, et 1/ de l’ellipse sont équidistantes des foyers F et F' de cette courbe E.
Et l'on pourra dire que les directrices équidistantes des foyers F et F' de l’ellipse E sont des directrices conjuguées , tout comme nous avons dit que les foyers * et s' étaient conjugués-
Or , comme nous savons que pour un point x de l’ellipse E on a toujours , quel que soit ce point * :
*x-f-*'x = constante, (t)
et que si l'on abaisse du point x une perpendiculaire sur les directrices l, et 1/ coupant 1. en q et 1/ en q', on a :
SX
et
xq'
on voit que l’on déduira des équations (2) et (3):
sx — K . xq et t'x = K'.xq' et en vertu de l’équation (1) , on aura :
»x-F»'* : =K.x?-|-K , * ii: î' = cons,anle - (t)
Or il est évident que cette équation (4) ne peut exister qu’autant que l’on a :
Ce résultat a lieu en effet , car les triangles sai et sdi’ étant égaux , on a :
ta s'd
— — — donc en effet: K = K ai di'
Cela dit :
Si l’on prend deux points, l’un s sur la branche { de l’hyperbole focale, et
l’autre a sur la seconde branche £' de la même courbe, nous voyons que l’on aura toujours, quelle que soit la position du point x sur l’ellipse E :
ix -t- t'x = constante ,
lorsque les points s et s seront des foyers extérieurs et conjugués , lorsque dés lors ces points «et s' seront équidistants du plan de la courbe E. Mais si les points* et «'sont arbitrairement pris sur l’hyperbole ££', aura-l-on toujours:
*x -f jx = constante?
C’est ce que nous allons chercher.
En se rappelant les théorèmes de MM. Quetelet et Dandelin , on sait que si l oti inscrit une sphère O à un cône de révolution S et à un plan sécant P, le point de contact / du plan P et de la sphère O est le foyer de la section conique E suivant laquelle le plan P coupe le cône S.
On doit aussi se rap[>eler que la sphère O touche le cène S suivant un cercle 3 , ci que si I on mène du sommet s du cène S une droite à un point x quelconque de la courbe E, cette droite coupera le cercle 3 en un point d , en sorte que la droite"*x -ern composée de deux parties dx et sd-, la partie dx variera de longueur avec la position du point x sur la courbe E , mais la partie"*/ sera constante quel que soit le point x de la courbe E; de plus, joignant le point x avec le foyer /, on sait que l’on a : fx — dx.
Cela dit :
En imaginant I hyperbole focale çç de I ellipse E , si l’on prend deux points arbitraires, l’un s sur l’une des branches £ et l’autre *' sur l’autre branche £', je dis que l’on aura toujours :
*x -)- s'x = constante ,
car désignant par a et il les sommets de la courbe E, nous pourrons inscrire un cercle A dans le triangle sad et un cercle A' dans le triangle s ad, et l’on sait que A louchera ad en un point F et A’ touchera ad en un (joint F’; et ces points F et F' seront les/oi/er* de I ellipse E cl les sommets de l’hyperbole focale ££'.
De plus , le cercle A touchera les cèles sa et sd en les points m et n , et le cercle A louchera les côtés * a cl sd en les points m' et n' ; en sorte que si l’on prend un point x sur l’ellipse E , l’on aura :
ix = xF 4- *m et
i’x = xF'+i'm'
K * > f ç* • . .^F-f j'x = (jI' + :rF')-j- ; = cpixumtc, ■ ' V . ^ "Y V. 6 .
^rronsai^ue: ■:;•
. -"■■ • *F + *F = constantes ad 'M ..
Bp» , v et que: . . -; : V J
m •+- jW — constante ,
C* " * wj< - • . . «jucllo que soit la position du point x sur rdlipse E. ( Voyez le Court de géométrie
» descriptive, 2* partie.
R ’;v.. >■; .». Ainsi, nous sommes assuré que, quelle que soit la position des points * et s'
* . ~.y ’ ’ • “î* • sur l'hyperbole focale , on aura toujours :
m'. ", £ ' ' »< iz+i'i = constante.
. .yj-z V*v . ■».
'-là?**--
Or, pour construire (Jij. 36; la directrice de l'ellipse E correspondant au point * , ' ü faut mener par ce point a une normale à 1 hyperbole focale et venant couper la <;'V-Y- ' k . droitcarfen un point i. On fera la môme chose pour le point s, et l’ou aura le point ï.
- ‘.'aS*
l S/-*! : : Ù - - Dés lors les droites 1 et 1’ perpendiculaires au plan Z et passant par les points i et ï
'* 1 seront les directrices de l’ellipse E par rapport aux foyers extérieurs situés sur la
fnrate ft'-. si du noint x de l'ellipse E on mène des perpendiculaires aux droites 1 et
focale si du point a: de l'ellipse E on mène des perpendiculaires aux droites 1 et
T, on aura: __
xq cl xf Or xq = X?i et xq' = 3?i'
(ÊfcS'.V V : ,6» nous aurons des lors:
= K et -
tomme :
x*i -|-<rV = *«' = constante
JLV3 . \a
k* v’i'.V ou voit qu’en vertu des équations («) et (6) on dev ra avoir : K :
. Aur. '
Ainsi , il est démontré que, quelle que soit la position des foyers* et *' sur l’hy- •
perbole focale, on aura toujours :
■t-.' ■ -i.* - . t + . • • — ~rr
. V • - tx tx
i- rïx
i -'AV-.
St,;-*?-
>Sa v
• 4 < ; ^ , i ‘ - ;• ' # * . TÎ-. \. r ;• ’ % ;
' ■ On |ieut donc énoncer le tliéoréme suivant (yïÿ. 37) :
»tè 1
Throbème. R tant donnés une hyperbole E', son axe transverse FF' et ses foyers a et d, si l'on prend sur la branche c, un point s et sur la branche f un point s, si Cou construit en s et s' les tangentes 0 el 9' n l'hyperbole , si f on mène les droites sa et s'd '
p endiculaires , f une sur la tangente 0 et qu'on la prolonge jusqu'en q sur la droite sa , et
l'autre sur la tangente 0', et qu'on la prolonge jusqu'en q' sur la droite s'il , je dis que - . > ' •*?
l'on aura toujours , pour tout point x (situé sur ad entre les jmints :i et il') : ' - - -i
JL— W.
% &>XÏ*:*7r: JM
On poul encore énoncer le théorème suivant (fig. 38):
VÆ
Théohènk. ÊUinl donnée une lujperbole , «i pnr rfiecr* points s, s', s",... rfc celte courbe, on mène le* nornuiles N, N', N”,... d cette hgperbole, ces normales coupant l'axe transverse en les points n,u', n",... ; si l'on unit le foger F de T hyperbole avec les points â, s', on aura toujours :
ir
= = - = etc. = K P)
Fn Fn' IV
.*vV' • ■
(*) Les diverses normale» tu , s”n" r .. (fig. 38) menées a l'hyperbole sont les enveloppées d’une
courbe Cf symétrique par rapport A l'aie transverse do l’hyperbole ( puisque celte hyperbole est elle-même symétrique par rapport à cet axe), et elle a un point de rebroussement en un certain point / situé sur l'aie transverse.
Chacun des points do la courbe Cf étant déterminé par l’intersection de deux normales successives et infiniment voisines, se trouve être un contre do courbure do l’hyperbole. Le point de rebroussement liera donc le centre de courbure de la branche £' do l’hyperbolo |»ur son sommet a ; et l’on aura d’après le tbéoreme ci-dessus :
'■ <tw
e\T” k '.mt
> v Sv5*> r r'.
■ fry
Fl
La dircctrico do l’ellipse B (dont l’hyperbole ((' est la focale) ayant FF’ pour grand axe et les points a et a' pour foyers , aura pour directrice relative nu foyer a' uno droite L perpendiculaire A l’aie FF' et pu»-anl par le point I , et comme nous savons déjà que pour l’ellipse, K est plus petit que l’unité , on a :
oF < Fl
Nous pouvons donc déjà conclure que pour une hyporboleson centre de courbure l , pour son sommet n,
est situé sur l’axe transverse et au delà du foyer F.
El comme nous savons qu’en traçant tm cercle J inscrit au trlanglo F VF. le point t' étant arbitrairement pris sur l’hyperbolo focale , ce cercle louche FF au point a , foyer de l’ellipse K , et que la droite pq, qui unit les contacts de ce cercle / avec les côtés s’F' et s’F, passe par le point f, c’est-A-dire par le point en lequel la directrice Lde l’ellipse K perce son grand axe prolongé , on voit de suite que celte propriété nous fournira uno construction très-simple du centre de courburo / d’une hvperbole £’ pour son sommet a (fig. 38).
Ayant construit le point f , centre de ronrbure d’une hyperbole donnée par son tracé et dont on connaît
