VA • W'.'V
F»” : t"f :: IF : Ffl
lit en joignant les points n" et s" on aura la normale au point s" de la branche -'de l’hyperbole donnée.
jü
Conitraction par pointe de f hyperbole.
■ Ar; J.
Vé'-,’
1/. ferras. •
5Ut'-
b . Vy Aï?' ‘ bit' V ■W-’V'
Ce qui précède nous permet île construire par pointe une hyperbole dont on connaît [fig. 36 bis ) l’aie transverse FF' cl les foyers a cl d.
En eflet :
On décrira sur FF’ comme diamètre un cercle C ; du foyer a on mènera une sécante arbitraire coupant le cercle C oui points [ el f ' , on élèvera en f et f deux perpendiculaires -, et ^ ' n la sécanlo af'; on portera sur cette sécante af' les distances (r<= fa et (Y — fa et l'on aura les deux points r et r* i les droites ri et r’d couperont respectivement les perpendiculaires t et >’ en les pointe i cl e' qui appartiendront à l'hyperbole.
Pour obtenir les asymptotes de l'bypertiole on mènera |iar le foyer a deux tangentos au cercle C, ol le touchant l'une au point y et l'uutrc au point y', les droites o'y et o'y' seront les asymptotes demandées.
sV* ?
’tv
■ r ■ •V*'." Vv
En effet: •*, . > jVv ;
Menons par le point a une droite perpendiculaire à la corde au', et prenons sur cette perpendiculaire une longueur «3=6= le demi petit axe de l’hyperbole E. ’ f • *
T Ni 'fit
• - V-X-.JÇjw;
•*Jr
/V«ïfV;
*: : îjr . : .
Nous aurons :
ao’= a az = b ao = a'
F étant le foyer de l’hyperbole E, on aura : *
ÏV’= <»■+&■
Si / est le foyer de l’hyperbole A. on a :
Dans le triangle rectangle aoo, on a :
00'— ao ' — ao'=a'— à'
Dans le triangle rectangle foaî , on a :
[<>'= Jo+ uo''= (<T+6’) + (a — a'*) = a’-j- 6’= ÔT’
Ainsi, il est démontré quo les foyers/,... et /',... des diverses hyperboles A,... >/'•
projections ortliogonak>s de l’hyperbole K surlcs divers plans P,... perpendiculaires *'*•'•>/ \ au plan M et ayant pour trace horizontale la tangente 9 en le sommet a de l’hyper- S ’J
bole E , sont tous distribués sur le cercle g (*)
f*. >*.5TiK.’'>r • Si' KtS
*v. >i.ÆL2 *
• ». rî, . sv •‘A «tV-S*
•* (*) Nous avons vu quo les foyers des projections orthogonales d'une ellipse E ou d'une hyperbole E, . sur les divers plans P, P 1 , P",.. . passant par la tangente en l'un des sommets a , extrémité du grand axe de l'ellipse E ou extrémité de l'axe transverso île l'hyperbole E, , étaient tous placés sur un cercle C situé dans le plan M, qui, passant par lo grand axo de l’ellipse E ou l'axe transverse do l'hyperbole E, , était perpendiculaire au plan sur lequel était tracée celte courbe K ou E, , et que ce cercle C avait pour centre
hyper- >
VOylV -
mmm
...:-vs\ •• 'tç>Vv.. 339
'* V' v2’:»!v, Vj
)OUr tenir? ^ * - k ^
le centre de la courbe E et E, , et pour rayon la distance de ce contre à l’un des foyers de celto rourbe E "i? if ‘ ' „ V *
ou F,. V ~ ■ ' *■»
I/hyperbole donnée E, se projette toujours sur les plans P, P', P",... suivant une hyperbole dont l'axe • v » » - .. '/y J, . ' * transverso est toujours située dans le plan M; mais l'ellipse donnée E se projette sur las plans P, P', P",... > ,■ ' J A
suivant deux séries d’ellipses, les unes ont leurs grands oxes situés dans lo plan M , les autres ont leurs * j • ' y
grands axes perpendiculaires à ce plan U. ., Ij( . 5 " , ÿ
El le passage entre ces deux séries d'ellipses, projections orthogonales de l’ellipse E, est déterminée
te que les sommets s des cônes de révolution qui passent par l’hyperbole E sont tous situés sur une ellipse tracée dans le plan M et ayant FF' pour grand axe et les points a et d pour foyers. ,
Il faut donc démontrer que l’on a :
»<i -{-»</= constante.
Or si l'on prolonge la droite sd jusqu’à sa rencontre avec la cordc au', on aura
ÿâts &
