VT

y ,.ev* -, \

EîV -*Jt <- -o-

!^9g5>Js

•; ' VjT. -

; 5.- /'j&KK

,\’ 4 £yv

par une ellipse . projection ortliugonalo qui est telle, que ses oses sont égaux, c'est-à-dire par une ellipse A, qui n'est autre qu’un cercle.

On voit donc que pour l'ellipse E les toyers de ses projections orthogonales sur les divers plans P, P', P",... doivent être distribués sur deux courbes, l’une qui ne sera nuire que le cercle C, et l’outre qui sera une courbe à double courbure/» , que nous allons déterminer.

Prenons ( fig. 39 bis) pour plan vertical de projection le pion Al , et ne traçons sur le plan horizontal que la demi-ellipse E, qui se trouve en avant du plan M.

Désignons par a lo demi grand axe et par 6 le demi petit oxe do la courbe donnée E.

Le demi petit axe b sera perpendiculaire à la ligne de lève I.T.

Les points f et /''étant les foyers rie l’ellipse donnée E, le cercloC aura |iour diamètre //'.

Menant par le sommet a de l’ellipse E une série de droites V’, V*', V'”,... on aura les traces verticales rie- plans P, P', P",... sur lesquels on doit projeter orthogonalemenl l’ellipse donnée E.

Décrivant sur aa’, grand axe de l'ellipse E, et comme diamèlre un cerclez, ce cercle placé dans le pian vertical de projection (ou dans lo plan M) interceptera sur los droites V',... des cordes, qui seront les grands axes des ellipses projections orthogonales de l'ellipse E.

Menant par le sommet a une corde qai soit égale a 26 (petit axo de l’ellipse E), on anrn une tangente au cerrlc C.

A partir de celle cordo , toutes les demi-cordes menées par lo point a dans lo cercle s, seront plus petites que 6, et dès lors on aura pour projections orthogonales de l'ellipse E , des ellipses dont le grand axe sera constant et égal à 26, et qui sera perpendiculaire au plan vertical de projection (ou perpendiculaire au plan M ) , en sorte que les foyers de ces ellipses seront situés hors du plan vertical de projection M.

Il est évident que tous ces foyers sont distants du point a d’une quantité égale à 6 ( demi petit nxe de l'ellipse donnée B ).

Il est encore évident que tous ces foyers so projettent verticalement sur lo cercle ï , qui passe par le* milieux des cordes qui sont menées dans le cercle f par le point a , point qui est situé sur ce cercle ». Il est nus--i évident que les cercles C et X sont tangents au point a.

On poul donc énoncer le théorème suivant :

. .js-’.’i- 7

THéoaèiiE. La courbe u (a double courbure), lieu des foyere dee projections orthogonales d une ellipse donnée E , sur les dicers plans passant par la tangents S en son sommet a ( extrémité du grand axs ) , est, lorsque les ellipses projections orthogonales ont leur tjrand axe dirigé perpendiculairement au grand axe de l'ellipse E, une courbe à double courbure qui n'eet autre que l'intersection d une sfkérc S décrite du sommet n eoeeeme centre et avec un rayon égal au demi p elil axe b de l'ellipse Ë . et sur un cylindre i de révolution ayant pour section droite le cercle décrit sur le demi grand axe de rellipse E comme diamètre, ce cylindre ayant ses génératrices droites parallèles au plan de l'ellipse E.

Ainsi la cylindre x n une de ses génératrices droites qui passe par le centre de la sphère S, et son rayon est plus grand que celui de cette sphère.

Ce qui précède nous conduit tout naturellement à examiner quel est le lieu des foyers des ellipses

point U, y V» M V-*»* t|WV • WM «*•»« • f JfWI^jMV su wyuo OJ W UHVi - - ■ ^ ' , '1

perpendiculaire sor «a*. ** - ' v i

Pour démontrer le théorème énoncé, il suftit donc de prouver que la droite ad, . £*43!

est constante de longueur.

Les deux triangles afd et aa,d sont semblables , puisque l’on a :