VA
af= ; aa ,
Oo' = f\ cul
> 4 Süf-‘ <*i* ;
vg:.... v..5i ■
Dès lors les droites fd et a,d sont parallèles.
La similitude de ces deux triangles donne la proportion suivante :
da,: o'f:: ad: n'a on da, '.V' a' b’ :: 2a : a d’où: do, = 2l/ a‘+A' = FF
projections orthogonales d'une ellipse donnée E , sur les divers plans passant par la tangente V menée en l'extrémité n du petit axe de cette ellipse E.
Dans ce cas les foyers de toutes les ellipses projections orthogonales seront situés sur des droites parai-
les au plan M . qui, passant par le grand axe de I ellipse donnée E , est perpendiculaire au plan do celte i J-' - i l
leles
courbe E.
Dés lors tous ces foyers seront sur un cylindre de révolution avant la tangente V pour une de ses génératrices droites , étayant pour section droite un cercle P dont le diamètre sera égal au demi petit axe b de l’ellipse E.
En outre tous ces foyers scroot sur une sphère dont le centre sera en lo point n et dont le rayon sera égal su demi grand axe a de l'ellipse E.
Ainsi lorsque les plans sur lesquels l’on projette orthogonalement une ellipse E passent tous par la tangente t menée au sommet a, qui est l'extrémité du grand axo de celte courbe B , les foyers des ellipses projections orthogonales sont situés sur deux courbes , l'une est plane , c'est un cercio , l’autre est à double courbure.
Lorsque les plans sur lesquels l'on projelle orthogonalement une ellipse E passent tous parla langent* V menée au sommet qui est l'extrémité du petit axe de cette courbe E , les foyers des ellipses projections orthogonales sont situés sur une seule courbe qui est à double courbure.
Celle courbe à double courbure est , dans le premier car , l'intersection de la sphère S avant son raya*
"Ife- , ül
■J *>'■ <dj|
r .Vj>
• r s JJf ,
v£va
égal au demi petit axe de l'ellipse E et d'un cylindre £ de révolution dont l'une des génératrices droites
. . n » > ..Ma Ia ..Ah I AA Ja A A * * AA Anl. X AA A* .IaaS Ia .1 . A. .. * * — — « I I r. AaaI.AA . I —A. S a., 1 jC — 1 a- - - - 1 " .. . I ^ J
mm
" .. V -«.•iUB
passe par lo centre de cette sphère , ot dont le diamètre do la seclion droite est égal au demi grand axe de la mémo courbe E ; et dans ce premier cas la coorbe intersection do la sphère S et du cylindre £ est une courbe il'arrachemenl.
Dans le recoud cas la sphère S u pour rayon le demi grand axo do l'ellipse E , et lo cylindre £ a pour diamètre lo demi petit axe de la mémo courbe E ; dans ce second cas la courbe intersection de la sphère S et du cylindre £ est composée de deux branches ou courbes fermées , branche tl'enlrée et branche de Mortie.
Enfin si au lieu de prendre une ellipse E on prenait un cercle E et qu'on le projetât orthogonalement sur une suite de pians P, P’, P",... qui passeraient tons par une droite < tangente en un point a de ce cercle E, on obtiendrait une suite d'ellipees projections orthogonales dont les foyers seraient sur la courbe intersection i doue sphère SayaDt le point a pour centre et pour rayon le rayon , du cercle donne E, et sia- un cylindre £ de révolution dont les génératrices droites seraient parallèles à la tangente i ( laquelle tangente '■+'£ - '
S serait une de ses génératrices droite»), et dont la section droite aurait pour diamètre le rayon/. SJ ‘ ». *
En sorte que celle conrbe d'intersection ■ mirait un point multiple qui ne serait autre quo le point en s ,
•. ’■ V > av ' -
gà v 1 •• ‘&c * ■■ ïi && m ia WSÊU
passent par l’hyperbole E est une ellipse E ayant pour sommet s les foyers F et F' de cette hyperbole E , et pour foyers les sommets a et d de cette même courbe E.
De plus , comme la droite fs divise en deux parties égales l’angle oui, , la droite/* sera une tangente à l’ellipse E. Démontrons maintenant que l’ellipse £ est la focale de
iV - l’hyperbole E.
Ayant l’hyperbole A, projection orthogonale sur le plan P de l’hyperbole E, les foyers /et/' de l’hyperbole A étant déterminés et situés , comme nous le savons ,
‘ t ççf7
sur le cercle 6 , nous mènerons par ces points/ et/' et dans le plan M des perpen- ’
diculaircs à la corde ad ou V', en un mot à l’axe transverse de l’hyperbole A , el jV ■ ••
ces perpendiculaires couperont l’ellipse E en les points * et jJjKô •' -
