PREMIERE PARTIE

tin cercle et une section conique qui ont un ; mini de contact sont toujours enveloppés )Hir un cône et un seul cône.

Pour arriver à démontrer ce théorème, il faut établir, au préalable, plusieurs propositions, ainsi qu’il suit.

Étant donnés un cercle C et une droite I) , cette droite peut avoir trois positions par rapport au cercle : t* elle peut être extérieure au cercle; 2' elle peut couper le cercle ; 3® elle peut être tangente au cercle.

Quelle que soit la position de la droite D par rapport au cercle C, je dis que si l'on prend un point m snr cette droite et si de ce point on mène deux tangentes au cercle, en unissant les points de contact du cercle et des deux tangentes, on aura une corde qui passera par un point fixe situé : 1* dans l’intérieur du cercle dans le premier cas, et 2* par le point de contact de la droite I) et du cercle C dans le troisième cas , ce qui est évident et n’a pas besoin de démonstration , et 3“ par un point qui sera situé hors du cercle dans le deuxième cas, et dès lors ce sera le prolongement de la corde qu'il faudra considérer.

Nous allons démontrer le théorème pour le premier et le deuxième cas.

Premier cas. La droite D étant extérieure au cercle C.

Nous pourrons considérer le plan du cercle C et de la droite D comme étant un plan diamétral P d’uue sphère S, coupée par ce plan P suivant un grand cercle C, cette sphère S ayant pour centre le centre o du cercle C (fig. I). Nous pourrons mener par le centre o un plan R perpendiculaire à la droite D et la coupant en un ]>oint d, et coupant de plus la sphère S suivant lin grand cercle C' ( prenons ce * plan R pour plan vertical de projection); menant du point rf, qui sera évidemment

extérieur au cercle C', deux tangentes 9 et 9' à ce cercle C', ces droites toucheront le cercle C' en les points x et x'.

Les plans (x, D) et (x', D) seront tangents à la sphère S en les points x et x; car l’on pourra mener, dans le plan ( x , D) et par le point x, une droite B parallèle à D , et dans le plan ( x, I) ) et par le point x une droite B’, parallèle à D ; et il est facile de démontrer que le rayon ox est perpendiculaire aux droites fl et B, et que le rayon ox est perpendiculaire aux droites 9' et B'; par conséquent les plans (x, D) et (x', D) sont respectivement perpendiculaires aux extrémités du rayon qui leur correspond; donc, etc.

La droite xx' fera un angle droit avec la droite D , et elle sera coupée par le plan P, auquel elle est perpendiculaire, en un point p qui évidemment sera situé dans l'intérieur du cercle C.

Cela posé:

Nous savons que si nous prenons un point m sur la droite D, et qu’on le considère comme le sommet d’un cône 2 tangent à la sphère S , ce cône touchera la sphèro suivant un petit cercle A qui contiendra les points x et x', et dont le plan 0 passera dès lors par la droite xx'.

Or le plan Q sera coupé par le plan P, auquel il est perpendiculaire , suivant une droite passant par le point pet qui sera sur le plan P la projection orthogonale du cercle A ; et le cône 2 sera coupé par le plan P suivant deux génératrices droites qui seront tangentes au cercle C ; en faisant varier la position du point m sur la droite I) , on aurait les mêmes résultats.

Le théorème est donc démontré (*).

Decxièmb cas. La droite D coupe le cercle C.

Prenons un point n sur la droite xx' précédente ( fi g. I), et considérons- le comme le sommet d’un cône 2' tangent à la sphère S , on aura un petit cercle de contact a’, et il suffit de démontrer que le plan Q' de ce cerclé A' passe par la droite D ( même fig. I ) pour que le théorème se trouve démontré.

Car en considérant le plan R (qui n’est autre que le plan vertical de projection) , ce plan contiendra la droite xx 1 et le cercle C', lequel sera cou[>é par la droite xx en les points x et x'; ce plan R coupera le cône 2' suivant deux tangentes 3 et X au cercle C, lequel sera touché en les points i et i' par ces tangentes 3 et 3', et la corde ii' prolongée passera par le point d, en lequel la droite D est coupée par le plan R , puisque cette corde ii' sera l’intersection du plan R et du plan Q' du cercle A'.

* (•) Colle démonstration est de Monge , ainsi que la suivante.

Ainsi, en désignant ia droite xx' par I)“, on aura bien démontré qu'étant donnée une droite D r coupant un cercle C', si d’un point n de L»' ou mène deux tangentes au cercle C', le prolongement de la corde it' Üe contact passe par un point fixe <1 situe hors du cercle C.

Démontrons donc que le plan Q' passe par la droite D; et d’abord énonçons le corollaire suivant , qui est évident en vertu de ce qui a été dit ci-dessus.

Si par la droite xx' ou I)' on fait passer un plan quelconque coupant la sphère S suivant un petit cercle A , le cène A' , qui sera tangent à la sphère S suivant ce |ielit cercle A, aura son sommet m situé sur la droite D.

Cela posé:

Si nous prenons un point y sur le cercle A', qui est le cercle de contact de la sphère S et dn cône 2' (ayant le point n situé sur la droite xx ou D' pour sommet), le plan tangent T en y à la sphère S contiendra la génératrice droite ny du cône 2', et contiendra la tangente X en y au cercle A', et cette tangente X sera située dans le plan Q' (plan du cercle A’) et sera perpendiculaire à la génératrice ny.

Si par le point ij et la droite xx' ou D' on fait passer un plan Q', il coupera la sphère S suivant un petit cercle A, qui sera le cercle de contact d’un cône 2 et de la sphère S , et ce cône 2 aura son sommet situé en un point m de la droite I) (ainsi que nous l’apprend le corollaire ci-dessus).' De plus, il est évident que la génératrice ny sera tangente en y au cercle A; et comme le cône 2 est de révolution , il s'ensuit que la génératrice ny du cône. 2' sera perpendiculaire à la génératrice ni y du cône 2.

Or le plan T, tangent en ij à la sphère S, se trouve à la fois être tangent et au cône 2' suivant ny et au cône 2 suivant my ; de plus, ce plan T contient la tangente X en y au cercleA'.

Les trois droites my, ny, X sont donc dans le plan T. La tangente X au cercle A' est perpendiculaire à la génératrice ny, la génératrice ny est tangente en y au cercle A et dès lors perpendiculaire à la droite my, donc les droites my et X se confondent.

Donc les cercles A et A' se coupent à angle droilnu point y, puisque les droites my et X se confondent ; il s’ensuit que X passe par le point m ; il s’ensuit que X étant dans te plan Q', ce plan plan passe par le point m , c’est-à-dire passe par un point de la droite D.

Et comme ce qui vient d’étre dit pour un point y du cercle A' peut être dit rte tout autre point, on voit que le plan Q' (ou le plan du cercle A') passe par la droite D.

Le théorème énoncé est donc démontré.

Les théorèmes précédents sont les théorèmes fondamentaux de la théorie des polaires ; nous les devons à Monge.