S II

Concevons une sphèreS ayant le point o pour centre; prenons un point y sur la sphère S, on aura le rayon oy ; menons au point y un plan perpendiculaire au rayon oy, nous aurons un plan T tangent en g à la sphère S; menons par le centre o un plan *P parallèle au plan T, ce plan P coupera la sphère S suivant un grand cercle C.

Cela posé :

Menons dans le plan P et par le centre o deux droites A et B perpendiculaires entre elles, et imaginons par la droite A, ainsi que par la droite B, deux plans perpendiculaires au plan P et se coupant dès lors suivant le rayon oy , ces deux plan& • couperont la sphère S suivant deux grands cercles , l’un A, et l'autre B,.

Un cylindre a tangent à la sphère S suivant le grand cercle A., aura lu droite B pour axe.

Un cylindre £ tangent à la sphère S suivant le grand cercle B,, aura la droite A pour axe.

• En sorte que si dans le plan tangent T on mène par le point y deux droites A, et B, respectivement parallèles aux axes A et B, la droite A, sera ime génératrice droite du cylindre 6 et la droite B, sera la génératrice droite du cylindre a.

lx>s deux génératrices A, et B, se coupent à angle droit au point y.

Cela posé :

Si sur la génératrice A, on prend un point arbitraire a et qu’on le regarde comme le sommet d’un cône £ tangent à la sphère S, la courbe de contact sera un petit cercle A , ayant au point ij la génératrice B, pour tangente.

De même , si sur la génénératrice B, on prend un point arbitraire b et qu’on le regarde comme le sommet d'un cône l ' tangent à la sphère S, la courbe de contact sera un petit cercle A', ayant au point y la génératrice A. pour tangente.

En sorte que les cercles A et A' se couperont à angle droit au point y (*).

(*) Au lieu de considérer une sphère S , on pourrait considérer une surface du second ordre E. Alors le plan mené parallèlement au plan T tangent en y à la surface E, par lo centre o de cetto surface E , la couperait suivant une section conique C qui serait ou une ellipse , ou une hyperbole, ou une parabole; alors les droites A et B seraient un système de diamètres conjugués de la conique C; alors les droites À, et B, parallèles aux droites A et B feraient entre elles un angle qui en général ne serait pas droit ; alors les petits cercles a et a' seraient des coniques , etc., etc. C’est là le principe fondamental do la théorie des tangentes conjuguées , et nous lo devons à Monge.

§ in-

stant données une sphère S et une droite R coupant cette sphère en les points x et x', je »

dis que si par la droite R on mène deux plans coupant la sphère S suivant deux petits

cercles C et C', ces cercles seront enveloppés par deux cônes.

Nous savons que si on fait rouler un plan T sur deux courbes C et C’ et tangenlielleinent à ces courbes, l’enveloppe de l’espace parcouru par ce plan est une surface développable 2.

Nous savons que si on unit par une droite G les points de contact des courbes C et C' avec une position du plan T, on aura une génératrice droite de la surface 2.

Nous savons que si les génératrices droites d’une surface développable 2 s’appuient toutes sur une droite D, cette surface 2 ne peut être autre qu’un plan ou qu’une surface conique ayant son sommet sur la droite I) (*).

Cela posé:

Il est évident que si l’on fait mouvoir un plan T tangentiellement aux cercles t. et C' de la sphère S, la surface développable 2 obtenue sera convexe et non plane.

Si donc nous démontrons que toutes h* génératrices droites de cette surface 2 s’appuient sur une mémo droite, nous aurons démontré que cette surface développable 2 n’est autre qu’une surface conique.

Démonstration. Prenons sur la droite R un point r, et considérons ce point r comme le sommet d’un cône ( qui sera droit , qui sera de révolution ) tangent à la sphère S suivant un cercle A, ; ce cercle A, coupera les cercles C et C en quatre points, savoir : m et n sur C et m’ et n sur C'.

Nous aurons donc quatre droites rm, rm' et rn , rn, tangentes aux deux cercles donnés C et C'.

Ces quatre droites seront deux à deux dans six plans; et il est évident que deux de ces six plans ne sont autres que les plans des cercles C et C'.

Les quatre autres plans seront des positions du plan qui , roulant tangenliellement sur les cercles C et C', doit engendrer la surface développable 2.

Cela posé :

Nous savons que ai l’on construit les plans tragenls 0 et 0' en les points x et x, (xiints en lesquels la sphère S est percée par la droite R, ces plans se coupent suivant une droite!) , et que le plan du cercle A, passe par cotte droite D.

Par conséquent, les quatre droites mm', nn, m'n, mn, qui unissent deux à deux les quatre points m , n du cercle Cet m , n du cercle C', s’appuient sur la droite D.

(*) Voyez 1© Court de géométrie descriptive , 2- partie , page <3.

Or ces quatre droites sont des génératrices de la surface dévelopable v, et même chose arrivera en considérant sur la droite R un autre point r,. Par conséquent,

, toutes les génératrices droites de la surface développable 1 s’appuient sur la droite D. Et comme la surface 1 est évidemment convexe et non plane , il s’ensuit qu’elle n’est autre qu'une surface conique.

Mais comme , en considérant la ligure de l’espace, on voit de suite que les quatre points m , n, m\ forment un quadrilatère dont les côtés ne sont autres que les génératrices droites de la surface 1, et qu’il est évident que les deux couples de côtés opposés se coupent en des points distincts , il s’ensuit , que Ton peut affirmer que la surface développable 1 est composée de deux surfaces coniques ayant cha- • eune leur sommet sur la droite D, ce qu’il fallait démontrer.

De ce qui précède, on déduit le théorème suivant :

Théorème. Étant donné un cercle 1), si l’on prend dans l'intérieur de cercle un point a, fi l'on mène par ce point a deux cordes coupant le cercle I) en les points b , b', et b„ b'„ on forme un quadrilatère dont les ailés opposés vont se couper deux <i deux en des points i et i' qui déterminent une droite A. (La droite A est dite polaire et le point a est dit pâle du cercle D).

Si par le point a on mène une troisième corde arbitraire coupant le cercle D en les points b, et b/, on pourra combiner ces deux points avec les points b et b', ou b, et b,' et l'on formera deux nouveaux quadrilatères dont tes côtés opposés iront concourir en des points situés sur la droite A (fig. 11) (*).