S IV

Considérons un cylindre de révolution S ayant pour section droite un cercle D , et un cône de révolution S' ayant pour section droite un cercle D*. •

Coupons la surface cylindrique 1 par un plan P, nous obtiendrons une courbe E qui sera toujours fermé* (de forme dite elliptique).

Coupons la surface conique 1‘ par un plan P', nous savons que l’on peut obtenir |iour sections trois courbes de formes très-différentes , et que parmi ces formes la forme fermée existe ; la section de forme elliptique est donnée lorsque P* coupe toutes les génératrices droites du cône. Désignons cette section (de forme elliptique) par E'.

Les deux courbes E et E’ ont la mémo forme; voyons si l’on peut , géométrique-

(*! Jo n’ai pas besoin disposer en délail la théorie des polaires, jeine borne aux lliéorimcs nécessaires à la démonstration de la question qui fait le sujet de cette première partie.

ment parlant , les considérer comme des courbes identiques et jouissant dès lors des mêmes propriétés géométriques.

Rappelons-nous la distinction que nous ax ons faite entre les deux genres de propriétés géométriques qui peuvent exister pour une courbe , savoir : propriétés de relation de position et propriétés de relation métrique.

Si les lieux courbes E et E' jouissent des mêmes propriétés de relation de position, nous pourrons les dire identiques, lorsqu'il s'agira des propriétés do ce genre; mais nous ne pourrons rien affirmer touchant leur identité au sujet des propriétés de relation métrique (*).

Car conséquent, nous dev rons avoir graud soin de ne pas confondre et mélanger dans nos démonstrations , ces deux genres (bien distincts) de propriété* géométriques.

Démontrons maintenant que les deux sections elliptiques, cylindrique E et conique E’ sont identiques par rapport aux relations géométriques, dites de position.

Il est évident que par une projection cylindrique, c’est-à-dire au moyen de droites parallèles entre elles et à l’axe du cylindre de révolution 2, nous ferons passer sur le plan P et par suite sur la section E, toutes les propriétés de relation de position qui existent pour le cercle D, oes relations de position étant du genre de celles dites des transversales , ou des points de concours.

Il est évident que, par une projection conique, c’est-à-dire au moyen de droites passant par le sommet du cône 1' nous ferons passer sur le plan P' et par suite sur la section E', toutes les propriétés dites des transversales, ou des points de concours qui existent pour le cercle 1)'.

Cela posé ;

Si dans le cercle D on D' on mène deux i-ordes M et N se coupant en un point » intérieur au cercle, et dont nous désignerons les extrémités par m, m et n , n ; si . l’on détermine, ainsi qu’il a été dit ci-dessus, la polaire O, le point octant le pôle; prenant sur le cercle D ou D’ un cinquième |>oint x arbitraire , on déterminera le sixième point x conjiujuc du pointa;, par la construction suivante:

Ou unira les points x et m par une droite coupant la polaire O en un point do l unissant lus points d et ni’ par une droite ; elle coupera la corde xo ( prolongée) en un point x qui sera le sixième point demandé.

On voit donc qu’en faisant chemina* le cinquième point x sur le cercle Don D', on construira une série de sixièmes points x, qui appartiendront tous ait cercle D on ü'.

Même chose aura lieu pour la section E ou E', en vertu de ce qui a été dit ci-

(*) Ainsi le rercle, [ellipse . la parabole et l’ hyperbole sont identiques pour les relations dû position , mai ces courbe» ne sont pas identiques pour les relation» métriques.

• „ — to — ' • • . *

dessus, touehunt l'emploi des projections cylindrique ou conique, pour faire passer le système qui esl lié au cercle I) ou D', sur les courbes E on E'.

Par consequcnl, lous les points conjugués x, et x' de la courbe E ou E' sont liés entre eux étaux quatre points n„ n.', arbitrairement choisis sur les courbes

E et E', par une mémo construction graphique.

.Ces lieux courbes E et E' sont donc , géométriquement parlant, des courbes identiques. liée Ion si une certaine propriété de relation déposition existe pour la courbe E, elle existera pour la courbe E'. (Ceci est dit comme induction ou déduction philosophique.) Par conséquent , sachant que si l'on inscrit à la section cylindrique E un hexagone tel que deux couples de côtés opposés soient parallèles entre eux , le troisième couple de côtés opposés est formé par des droites qui sont aussi parallèles entre elles (•)} propriété que l’on démontre directement par la projection cylindrique. Cette propriété dont jouit la section cylindrique E existera , sans aucun doute , pour la section conique E 1 , quoique nous ne démontrions pas directement l’existence de cette propriété pour la courbe E’; et en vertu de celte propriété dont jouit ( par induction ) la section conique E’, nous pourrons démontrer Vhexagramme de Pascal ainsi qu'il suit.

Trayons un cercle C dans un plan P; inscrivons dans ce cercle un hexagone quelconque ; élevons par le centre o du cercle C une perpendiculaire au plan de ce cercle et prenons sur cette droite un point arbitraire s; le cône (*, C) sera de révolution ; on aura ainsi le cône droit des anciens géomètres.

Cela posé ~ ^

Prolongeons les côtes opposés de l'hexagone inscrit (fig. 111 ). *

Les côtés ab et a b' se couperont en un point p ;

Les côtes ud, a d se couperont en un point r ; * .

l.es côtés db', d'b se cou(teronl en un point g.

11 faut démontrer que les trois points p, q, r, sont en ligne, droite.

Pour cela faire : '*• ^ ' Jtvvéf" •

Unissons par une droite 1» deux des trois points p,q,r et ainsi les poinls p et q.

Menons par le sommet * et la droite 1) un plan R et coupons le cône (*, C) par un plan ü parallèle au plan R.

Ce plau Q coufiera le cône suivant une section elliptique E 1 , car la droite- Il ctaut extérieiu-e au cercle C, ce plan Q coupera toutes lesgénéralrices droites du cône.

Or il est évident que les génératrices «a, sa, sb, tb\ stl, stt du cône(«, C) seronl coupés par le plan y en des points o„ a', b ,, b,\ d„ d,' qui seront les sommets d'un hexagone inscrit à la courbe E'. < v V

Voyez le Court de géométrie descriptive , î* partie, page 7fi , att. 320.

Et comme la pyramide hexagonale inscrite an r<\ne (.«, C) a deux couples de faces opposées se coupant suivant les droites sp et sq. qui sont parallèles au plan Q, il s'ensuit que l'Iiexagone inscrit dans la courbe E' a m cessai rrmeni doux couples de eûtes opposés qui sont parallèles.

Or, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, le troisième couple de côtés opposés doit être forme de droites parallèles , donc la droite sr doit être dans le plan R. Donc les trois plans pi q, r sont en liane droite, (le qu'il fallait démontrer.

Mais supposons que les géomètres éprouvent des scrupules (assez légitimes) et ne puissent admettre V exactitude géométrique de la démonstration de Vhexagramme poulie cercle, ainsi que nous l’avons donnée ci-dessus , attendu que cette démonstration s’appuie sur ce que la section elliptique du cène droit jouit d’une propriété qui appartient à la section elliptique du cylindre droit, savoir :

Que si l’on inscrit dans l’une ou l’autre section un hexagone, tel (pie deux couples de côtés opposés forment un faisceau composé de deux droites parallèles, le troisième couple de côtés opposés est nécessairement composé de deux droites parallèles entre elles.

Et qu’ainsi les géomètres ne puissent admettre' ce mode de démonstration, attendu que si la propriété énoncée et qui sert de point de départ se trouvant, en effet, démon- -trée d’une manière rigoureuse pour la section elliptique du cylindre droit, et cela au moyen des projections cylindriques , elle n’est démontrée que par induction et d’une manière purement philosophique pour la section elliptique du cône droit.

Supposant donc que les géomètres soient conduits à désirer une démonstration directe de la propriété de l'hexagramroe dans lo cercle, nous donnerons la démonstration suivante qui a l’avantage d’étre dans un même esprit géométrique avec celles données pur Moncf. sur les propriétés des polaires ri des tangentes conjuguées exposées ci-dessus (Jg I et II), et celte uniformité de méthode doit être remarquée par les géomètres, car c’est précisément cette uniformité dans les méthodes qui donne un si grand charme à la géométrie des anciens et qui la rend surtout d’une étudefacile.