DÉMONSTRATION DIRECTE DE L’HEXAGRJUHE DANS LE CERCLE

Concevons une sphère S; menons par son centre 0 un plan P, ce plan coupera la sphère suivant un grand cercle C ; inscrivons dans le cercle ( 1 , un hexagone quelconque ; unissons deux à deux par des cordes S , 0, u ’ les sommets ojtposcs de cet

hexagone: CCS trois cordes se coiqieront doux*' à deux en trois points , qui -.TOnl toujours situés dans l'intérieur du cercle , c'est évident.

M enônspaf les cordes i, 3’, J", des plans X, .V, X’Vperpendieulaires au plan P; ces plans coupèrent la sphère S suivant des petit;- cercles A, A', A" qui se couperont deux à deux et en deux |K)inls symétriquement* placés par rapport au plan P; l’un de ces points étant en dessus, l’autre en dessous du plan P, et étant J’nn et l’autre egalement distants de ce plan P.

Cela posé :

Désignons (fitj. III) para et u.' les points en lesquels lo cercle C est coupé par la corde 3.

— par b et h' les extrémités de la corde i\

— , par d et <f les extrémités de la corde J".

Chacune de ces cordes à , 3', 3", sci a sur le plan P la projection orthogonale des cercles A , A', A". • .

En vertu de ce qui a été démontré $ II, ces cercles pourront être enveloppes deux à deux par deux cônes ; on uura donc en (ont six cônes enveloppant deux à deux res trois cercles (*). >

En vertu rie cc que le plan P est symétrique par rap|>orl à la sphère S et aux trois cercles A, A', A", il est évident que les sommets de ces six cônes seront situés sur ce plan P; par conséquent l’hexagone inscrit (a bd, n'b'it ) sera tel que :

1° Ses côtés opposés ab et a b' étant prolongés, seront les génératrices droites •«l’un eône 2 enveloppant les cercles A et A';

2° Ses côtés opposés ad et ad! seront les génératrices droites d’un cône 2' enveloppant les cercles A et A" ;

3“ Scs côtés opposés db' et brt seront les génératrices droites d’un cône 2" enveloppant les cercles a' et A".

(Et cela a lieu en vertu de ce qui a été dit ci-dessus § II).

Les sommets des cônes 2, 2', 2" seront donc situés sur le plan P (plan du cercle C) en les points p , q , r, en lesquels concourent chaque couple de côtés opposés de l’hexagone.

Je dis que les trois points p, q, r sont en ligne droite. Et en effet :

Considérons les deux cônes 2 et 2*; puisque le premier 2 ayant son sommet au point p enveloppe les cercles A et A', puisque le second 2' ayant son sommet au point r, envelop|>c les cercles A et A”, il s’ensuit que ces deux lônes ont une base com-

(•) Voyez les Complément» de géométrie descriptive, page tî.

mune qui est le cercle A ; si ilonc ou unit leurs sommets p et r par une droite, elle viendra cou|H‘r le plan X du cercle A (et . par conséquent, elle viendra couper la corde 6' en un certain point ni, et si de ce point m on mène deux, tangentes au cercle A, on aura deux points de contact x et x,.

Or il est évident que les plans (x , ;>, r ) et (x, , p , r) seront tangents à la fois aux deux cônes £ et £', et chacun d’eux sera tangent suivant la génératrice px ou p* pour le cône £ et suivant la génératrice rx ou rx, pour le cône £'.

Or, le cercle A" étant situé suc le cône £', il s’ensuit que la génératrice px coupera le cSrde A" en un point x" et que la génératrice rx, coupera ce même cercle A" en un point x",; orlecercle A' étant situé sur le cône £, il s’ensuit que la génératrice px coupera le cercle A’ en un point x , et que la génératrice px, coupera ce même cercle en nn point x,'.

Et il est évident que les tangentes 0 en x au cercle A, 4' en x au cercle A 1 , 9" en x" au cercle A", seront situées dans le plan (x, p, r),el qne de même les tangentes 8, en x, nu cercle A, 9,' en x.'uu cercle A', 9,'' en x," ail cercle A", seront situées daus le plan (x,, p/r); par conséquent le plan (x, p, r) coupera la sphère S suivant un cercle C langent respectivement aux cercles A, A' } A' 1 en les points x, x', x"; et le plan (x„ p, r) coupera la sphère S suivant un cercle C,, tangent respectivement aux cercles A, A', A", en les points x,, x,".

Cela posé: , .

On arrivera au même résultat, soit qne l’on considère les cônes £, £’ ou £, £" ou £*, £". Par conséquent le plan du cercle C, ainsi que le plan du rcrrle C, est langent à la fois aux trois cônes £, £', i' , chacun des plans des cercles C et C, contient demies sommets «les trois cônes £, £’,-£'’ ; or ces sommets p, q, r sont sur le plan P , donc ils sont en ligne droite.

Ainsi se trouve démontre d’une manière rigoureuse, et, pour le cercle, le théorème connu sous le nom d’hexagramme de Pascal.

8 vi.

L’hexagramme de Pascal étant démontré pour le cercle, il est facile de le démontrer pour les sections planes d’un cylindre droit ou d’un cône droit.

Et en effet :

Désignant par Cia section droite d'un cylindre droit £, et parC' la section droite d’un cône droit £’, (les «leux eourlies C et C’ seront des cercles) en inscrivant dans chacun des cercles C et C' un hexagone , les trois points do concours des côtés opposés de cet hexagone seront, en vertu do ce qui a été démontré ri-dessus, distribués sur une droite Ü pour le cercle C et sur une droite D’ pour le cercle C'.

tï

Cola posé :

Cghnant t* le cylindre 5 par un plan quelconque?, nous obtiendrons une courbe Tannée (elliptique) E , sur laquelle nous ferons passer toutes les droites (le la ligure située dans Je plan du cercle Ç au moyen de droites parallèles à l'axe du cylindre I; et ainsi par «ne projection cylindrique.

' l.'hcxapramme de P\scal se trouvera donc démontré ponr la courbe* K.

Coupant i" le cène £' par nn plan quelconque P', nous obtiendrons l’une des trois sériions coniques E' et nous ferons passer sur le plan P' lu figure située dans le plan du cercle (", au moyen de droites concourant au sommet du ctW et ainsi par une projection centrale ou conique.

’ Vhe\ agramme de Pascal se trouvera donc démontré pour la conrlie Ë'. ‘

Et comme au moyen du l’hexagrainmo, on peut, étant donné cinq points de la courbe E ou E', construire autant de sixièmes points qu’on voudra, on voit que cette construction de la courbe équivaut on géométrique graphique, h l'équation de la coorbe en géométrie analytique.

Par conséquent les trois sections coniques E' sont de même nature géométriques soit entre elles, soit avec la Section cylindrique Ë.

Cola posé. : t

Si l’on imagine un cône quelconque 2, ayant pour base une section conique E' (qui ne sera aulro que Tune dos (rois sections planes d’un cône droit), et si l’on coupe ce côno 2, par un plan quelconque P, , suivant une courbe E, , je dis que la courbe E, sera toujours une section conique.

Et en oiïot : 1 7

1,’iiexa gramme de Pasc al existant pour la coarbe E', on pourra le faire passer sur la courbe E, au moyen d’une projection centrale ou conique, le sommet du cône 1. étant le centre de cette projection , donc, etc. Ce qui précède nous permet donc d’énoncer les théorèmes suivants :

Théorème 1". Tout cône qui a pour hase une section conique est coupé par un plan suivant une autre section conique.

Théorème 2. Lue section conique est toujours projetée orthogouaUmeut ou obliquement sur un plan , suivant une section conique de même forme quelle.

g VII.

Imaginons un cône £ ayant pour base une section conique A située dans un plan P; coupons ce côno par un second plan P'; les deux plans P et P' se couperont suivant une droite I et le plan P’ coupera le cône £ suivant une seconde section conique A'.

•• Jk

.« if

— lo-

ft

... Cela pose : ■ a , « a •

Menons par le sommet du cône inné droite arbitraire R, mais telle, qu’elle soit extérieure au cône i ; prenons sur cette droite R deux points arbitraires a et a', et regardons chacun de ces points comme le sommet d’un cône ayant la courbe A ou A’ pour base j nous aurons deux cônes (A, a) et (A', a ) qui auront (leux plans tangents communs.

Si nous cherchons la courbe, iuterseetiou de ces deux cônes [a, A), (a. A',, nons verrons qne cette courbe est divisée eu deux brandies, dont l’une est plane, parce que ses tangentes s’appuient toutes sur la droite I.

Cette brancln', que uous désignerons par a, étant plane ne sera autre qu’une section conique. ' ,

Dès lors les deux cônes («, A), (n’, A ) peuvent être considérés comme ayant môme base a (*). "

-éfktA fi .* •■'Çî s * Vr.f * ' J L f' «tfvSKa'di .

g VIH. • * ^

Démontrons maintenant le théorème suivant:

Théorème. Deux cônes S el S' qui oui pour base commune une section conique R , s' entrecoupent suicnni une seconde section conique B'.

Démonstration. Unissons les sommets s et s' des cônes S et S' par une droite K qui viendra crmper le plan de la liase R en un point k; menons parle point le une

série de sécantes X, à la sectiou conique li ; ces droites X, seront sur le plan

de la courbeB, les traces d'une série de plans auxiliaires (tassant tous par la droite K, et coupant dès lors les deux cônes Sel S’ suivant des génératrices droites, lesquelles s'entrecouperont en des points qui appartiendront à la courbe B’ dierdiéc. Or, si l’on veut construire la tangente en un point de la courbe R’, il faudra faire la jçoustrqcrion suivante:

Mener aux points x et x , en lesquels la courbe B est coupée par la divergente X de» tangentes 0 el 0 , à cette courbe B , ces deux tangentes se couperont en un point i qui sera la trace sur le plan de la courbe B dis deux tangentes à la ronrbe B' et poulies points en lesquels se coupent les génératrices droite sx , s'x situées dans le-plan auxiliaire ayant la droite X pour trace.

Or Ions les points f... sont sur une droiteLqui coupe-la courbe B (cette droite I. cal la polaire de. la courbe B , le pôle étant le point k ).

(• tu n'entre pas dons plus de détails , |wrco qu'on peut liro la démonstration complète dans les Compléments de gêumétrie descriptive, pages 3 et suivantes.

Donc toutes les tangentes à laeourbe B' s’appuient sur une droite L; donc la courbe B' est plane; donc elle est une Motion conique. Ce qu’il fallait démontrer *).