SIX

Tout ce qui précède étant bien compris, arrivons maintenant à la démonstration du théorème qui sert de base à la nouvelle manière de démontrer les propriétés principales des sections coniques.

Ce théorème s’énonce ainsi :

Théorème. Lorsqu’un cercle et une section conique , situés dans des plans différents , ont un point de contact , ces courbes sont toujours enveloppées par un cône et par un seul cône.

Démonstration. Imaginons sur le plan horizontal un cercle C ; menons en un point in de ce cercle une tangente 9 ; faisons passer par la droite 9 un plan P, et traçons dans ce plan une conique K tangente en m au cercle C.

Cela posé:

Cinq conditions déterminent une section conique; par conséquent, si je prends sur la conique E trois points arbitraires a , b, d , la conique E sera complètement déterminée , en ajoutant les deux conditions de passer par le point ni et d’ètre tangente e nce point m à lu droite 9.

Je puis donc , dans tout ce qui va suivre , oublier la conique E el n’eiuployer que les )>oints m , a , b , d et la tangente 9.

Considérons trois cônes A, B, D, ayant respectivement pour sommet les points a, b, d et pour base commune le cercle C.

l,es deux cônes A et B se couperont suivant une conique S.

Les deux cônes A et I) se couperont suivant une conique y.

Les deux coniques S et y seront donc situées tontes deux sur le cône A.

Or deux coniques tracées sur un cône ne peuvent avoir entre elles que quatre positions distinctes :

1" Elles peuvent n’avoir aucun poiut commun ;

Elles peuvent être tangentes l’une à l’autre en un point;

y Elles |>euvent se couper eu deux points ;

4* Elles peuvent se couper en un seul point , alors elles sont composées de branches iafiuits. , ,

Or, il est évident , en faisant l'épure de l’intersection tles deux cônes A el B, que

(•) Jo n'enire pas dans plus de détail* , parce qu’on peut lire la démonstration complète dnns le Court rie géométrie descriptire, popes 444 et suivantes.

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la conrbc 6 passe par le point m ; de même l’intcrsèetioti y des deux cônes A et D passe par le point m.

Ainsi les deux coniques 6 et y ont en m un point commun.

Voyons maintenant si ce point m peut c'tre un point de contact entre les courbes 5 et v r ? v

. . , . La tangente en m à la courbe 6 sera située sur le plan (a, 9) langent au cône A

' . suivant sa génératrice droite dm. » •JA.

La tangente en m à la courbe y sera aussi située sur le même plan tangent «, 9). Si donc les deux courbes £ et y sont tangentes en m, ces deux tangentes se confondront en une seule et même droite.

Si au contraire les deux courbes 6 et y qui se coupent déjà au point m , se coupent en un second point m,, alors ces deux tangentes seront distinctes.

Cela posé :

Admettons que les deux courbes £ et y sont tangentes l’une à l’autre au point m , et voyons ce qui doit en advenir.

Lorsque l’on a sur un cône A deux coniques £ et y tangentes l'une à l'autre en un point m, il est impossible de faire mouvoir tin plan tangent à ces deux coniques, de telle manière qu’il leur soit intérieur. Par conséquent , ces deux coniques ne peuvent ( être enveloppées que par le seul cône A.

Mais par hypothèse, les coniques 5 et y sont les intersections, savoir : 6 des cônes A et B , et y des cônes A et D ; ces deux coniques S et y ne peuvent donc être tangentes en m , dès lors elles doivent impérieusement se croiser au point m et se couper en un second point m, , lequel sera le sommet du cône £ qui enveloppe les deux mûrîtes données , savoir : le cercle C et la conique E.

I-e point m est bien le sommet d’un second cône enveloppant les courbes C et E, mais il est évident que ce second cône est formé des plans de ces courbes C et E.

Ainsi , il se trouve démontré que le cercle C et la panique E qui ont un point de contact m sont toujours enveloppés pur un cône et par un seul cône.

Bans le paragraphe suivant , nous allons démontrer que dans le cas où l’on considère un cercle C et une section couique E , les deux courbes S ely ne peuvent pas se rouperen le soûl point n{.

' -Vv

J'ai dit ci-dessus que les coniques 6 et y se coupaient impérieusement en deux

points m et m, ; il faut justifier cette assertion.

Deux coniques X et Y tracées sur un cône 1, peuvent ne se couper qu’en un seul point’.

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